8.7. Анализ устойчивости импульсных САУ

Условие устойчивости замкнутой импульсной системы

Как и в теории непрерывных систем, для определения устойчивости импульсной системы достаточно исследовать характеристическое уравнение замкнутой системы. Если имеем передаточную функцию замкнутой импульсной системы

то характеристическое уравнение получается приравниванием к нулю его знаменателя:

Рис. 8.37. Примеры расположения корней характеристического уравнения устойчивой (а) и неустойчивой (б) импульсной системы.

Пусть корнями характеристического уравнения являются тогда переходная составляющая решения

Из формулы (8.75) видно, что стремится к нулю при только тогда, когда все корни характеристического уравнения по модулю меньше единицы, т. е. когда Отсюда можно сформулировать следующее условие устойчивости импульсной системы: импульсная система будет устойчивой, если корни характеристического уравнения (8.74) замкнутой системы будут лежать внутри круга единичного радиуса. Система, не удовлетворяющая этому условию, является неустойчивой. Примеры расположения корней устойчивой и неустойчивой импульсных систем в плоскости корней z показаны на рис. 8.37, а, б соответственно.

Если передаточная функция замкнутой импульсной системы задана в виде формулы (8.66)

то характеристическое уравнение можно получить, если знаменатель приравнять нулю:

Условием устойчивости будет расположение корней этого уравнения в левой полуплоскости корней Последнее уравнение является трансцендентным и его исследования представляют собой сложную задачу.

Критерии устойчивости импульсных САУ

Для определения устойчивости импульсной системы на практике обычно не вычисляются корни характеристического уравнения, а применяются косвенные методы исследования устойчивости. Критерии устойчивости, разработанные применительно к непрерывным системам, являются критериями расположения всех корней характеристического уравнения замкнутой системы в левой части плоскости корней

Рис. 8.38. Единичный круг плоскости отображенный в левую половину плоскости посредством билинейного преобразования.

(или Условием устойчивости импульсной системы является расположение всех корней характеристического уравнения замкнутой системы внутри круга единичного радиуса плоскости корней Поэтому, прежде чем пользоваться критериями устойчивости непрерывных систем для исследования устойчивости импульсных систем, необходимо выполнить соответствующее преобразование характеристического уравнения импульсной системы. Как известно из теории функций комплексного переменного, с помощью билинейного преобразования единичный круг в комплексной плоскости отображается в левую часть комплексной плоскости (рис. 8.38). Отсюда для того чтобы отобразить единичный круг в комплексной плоскости z в левую часть комплексной плоскости необходимо в характеристическом уравнении (8.74) вместо z подставить т. е.

После приведения к общему знаменателю и отбрасывания знаменателя получим новое характеристическое уравнение того же порядка:

где — коэффициенты, являющиеся комбинациями сумм и произведений коэффициентов Корням характеристического уравнения (8.74), лежащим внутри единичного круга плоскости корней будут соответствовать корни характеристического уравнения (8.77), лежащие в левой части плоскости корней Отсюда условием устойчивости импульсной системы является расположение всех корней преобразованного характеристического уравнения (8.77) импульсной системы в левой части плоскости

Таким образом, благодаря применению преобразования все критерии устойчивости, разработанные для анализа устойчивости непрерывных систем, могут быть использованы и для анализа импульсных систем.

Аналог критерия устойчивости Гурвица. Как выяснено, условием устойчивости импульсной системы является отрицательность вещественных частей корней преобразованного характеристического уравнения замкнутой системы (8.77). Согласно критерию Гурвица, для того чтобы все корни преобразованного характеристического уравнения степени 1

Рис. 8.39. Область, устойчивости импульсной системы с двумя интеграторами.

имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы при все определителей Гурвица, составленные из коэффициентов этого уравнения, были больше нуля, т. е.

Пример 9. Определить устойчивость импульсной системы автоматического сопровождения цели с двумя интеграторами (рис. 8.36), передаточная функция которой в замкнутом состоянии определяется выражением (8.73)

где

Приняв знаменатель передаточной функции равным нулю, получим характеристическое уравнение замкнутой системы

Для получения преобразованного характеристического уравнения осуществим, подстановку

или

где — Главный определитель Гурвица

а условие устойчивости при запишется следующими неравенствами:

Поскольку коэффициенты системы положительны, то условие устойчивости системы имеет вид Из уравнения определяющего границу устойчивости системы, можно на плоскости параметров найти область устойчивости. Эта область ограничивается прямой т. е. область устойчивости представляет собой прямоугольный треугольник с катетами (рис. 8.39). Если точка с координатами будет находиться внутри треугольника, то система устойчива. Например, точка А, соответствующая находится внутри треугольника. Следовательно, система с такими коэффициентами устойчива.