Пример вычисления среднеквадратической ошибки

Вычислим СКО системы автоматического сопровождения цели радиолокационной станции (рис. 7.9). На вход системы поступает задающее воздействие (например, азимут цели) с наложенной помехой Входной сигнал системы сравнивается с управляемой величиной (азимутом антенны) следящей системы. Разность поступает на усилитель следящей системы.

Передаточная функция системы в разомкнутом состоянии

Ошибка системы Уравнение ошибки в соответствии с формулой (7.18)

На основании формулы (7.7) запишем

где

Определим спектральную плотность полезного сигнала и помехи Предположим, что угловая координата цели а относительно радиолокатора изменяется по графику, изображенному на рис. 7.10, а. Угловая скорость движения цели в течение некоторого интервала времени остается постоянной (рис. 7.10, б), причем моменты скачков и значения скоростей — случайные величины. Такие изменения скорости могут соответствовать маневрам цели. Из рисунка видно, что кривая а не является стационарным случайным процессом. Поэтому с помощью рассматриваемого статистического метода, справедливого лншь для случая стационарных случайных процессов, нельзя найти преобразования сигнала системой. Однако в данном случае задача упрощается: поскольку а поступает на вход астатической системы с астатизмом первого порядка, то ошибка по положению от равна нулю, Основная ошибка системы вызывается первой производной задающего воздействия, т. е. скоростью цели, поэтому нас будут интересовать статистические характеристики производной Первую производную от а (рис. 7.10, б) можно считать стационарным случайным процессом. Если предположить, что продолжительность промежутков подчиняется распределению Пуассона, то, как показано в [12], спектральная плотность производной

где — среднее значение квадрата скорости; — средняя длина промежутков времени, в течение которых скорость остается постоянной.

Если задающим воздействием считать а не (или в изображениях по Лапласу а не то для получения передаточной функции системы в этом случае надо обе части выражения для передаточной функции

Рис. 7.9. Упрощенная структурная схема системы автосопровождения цели радиолокационной станции.

Рис. 7.10. Графики изменения угловой координаты (а) и скорости (б) цели.

разделить на

В качестве помехи возьмем белый шум, имеющий спектральную плотность

Подставив в выражение (7.27) значения из выражений (7.28) и (7.29) (при учете формулы и значения из выражений (7.30) и (7.32), получим

т. е. среднее значение квадрата ошибки в соответствии с формулой (7.19) можио представить в виде суммы двух составляющих:

где

Найдем сначала значение . Для этого приведем интеграл (7.34) к виду табличного интеграла (7.24): вычислим квадрат модуля числителя

и введем сомножитель в знаменателе под знак модуля

Учитывая формулы (7.36) и (7.37), запишем интеграл (7.34) в форме табличного интеграла

Из сравнения интеграла (7.38) с табличным интегралом (7.24) следует:

— степень знаменателя подынтегрального выражения;

Значение табличного интеграла согласно формулам (7.25)

Подставив в эту формулу значения коэффициентов из (7.39) и умножив в соответствии с выражением (7.38) на получим

Определим значение . Для приведения интеграла (7,35) к виду табличного интеграла (7.24) вычислим квадрат модуля числителя

С учетом формулы (7.41) записываем интеграл (7.35) в форме табличного интеграла

Из сравнении интеграла (7.42) с табличным (7.24) имеем:

Значение табличного интеграла в соответствии с формулой (7.25) Подставив в эту формулу значения коэффициентов из формулы (7.44) и умножив в соответствии с выражением (7.42) на получим