2.7. Частотные характеристики звеньев и систем автоматического управления

Важной динамической характеристикой звеньев и систем автоматического управления являются частотные характеристики. На основе их использования разработаны инженерные частотные методы исследования САУ. Достоинство частотных методов анализа и синтеза САУ состоит в том, что частотные характеристики позволяют просто выявлять влияние того или иного параметра на динамические свойства системы (устойчивость, переходной процесс). Кроме того, частотные характеристики можно определить экспериментально. Это важно в тех случаях, когда трудно составить уравнения динамики (например, для систем с распределенными параметрами). Частотные характеристики звеньев и систем строятся на основании их комплексных передаточных функций.

Комплексная передаточная функция звена (системы)

Для получения наглядного представления о частотных характеристиках и выяснения их физического смысла сначала рассмотрим частотные характеристики на примере апериодического звена. Схема электрической цепи, представляемой апериодическим звеном, изображена на рис. 2.2, а. Уравнение звена в соответствии с формулой (2.1) имеет вид:

Если на вход звена подать синусоидальное напряжение то после окончания переходного процесса на выходе звена также установятся синусоидальные колебания, но иной амплитуды и фазы, чем на входе:

Для анализа звена при синусоидальных колебаниях удобнее пользоваться символическим комплексным методом, который применяется в электротехнике. В соответствии с этим методом синусоидальные функции, входящие в дифференциальное уравнение, заменяются

их изображениями в виде комплексный чисел, а операции дифференцирования и интегрирования соответственно умножением и делением на изображений функции, от которых берется производная или интеграл.

Комплексные изображения входного и выходного напряжений звена имеют вид:

Поскольку для перехода от изображений к функции следует брать мннмую часть изображения и разделить на

Запишем дифференциальное уравнение (2.85) апериодического звена в символической комплексной форме

или

Из уравнения (2.86) можно определить а также найти комплексную передаточную функцию звена.

Комплексная передаточная функция (КПФ) звена (системы) представляет собой отношение изображений в виде комплексных чисел выходной и входной величин звена (системы) в установившемся режиме гармонических колебаний, т. е.

КПФ еще называют комплексным коэффициентом усиления, комплексной частотной функцией или частотной характеристикой.

Комплексная передаточная функция апериодического звена в соответствии с (2.86)

Данная передаточная функция является комплексной, так как представляет отношение комплексных функций. КПФ можно представить в алгебраической и показательной формах.

Алгебраическая форма КПФ:

где вещественная и мнимая части КПФ соответственно.

Показательная форма КПФ:

где

модуль — модули числителя и знаменателя КПФ,

аргумент КПФ апериодического звена

Если имеет комплексное число лишь в знаменателе, как, например, в формуле (2.88), то аргумент проще определять по формуле где — мнимая, — вещественная часть знаменателя

Передаточная функция связывает входную и выходную величины звена в любом (переходном и установившемся) режиме при условии, что входная величина может изменяться по любому закону во времени. Комплексная передаточная функция определяет зависимость выходной величины от входной лишь в установившемся режиме при подаче на вход гармонических колебаний. Оператор в передаточной функции является комплексным числом а в комплексной передаточной функции т. е. является мнимой величиной. Таким образом, КПФ является частным случаем передаточной функции. КПФ можно получить из передаточной функции, если в ней заме-. нить на

Действительно, если имеем передаточную функцию апериодического звена то, заменив на получим КПФ этого звена: