Логарифмические частотные характеристики систем автоматического управления в разомкнутом состоянии

Методику построения ЛАЧХ систем автоматического управления рассмотрим на примере системы, состоящей из последовательно соединенных двух апериодических и одного интегрирующего звеньев, комплексная передаточная функция которой имеет вид:

Рис. 2.23. Точные логарифмические амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики колебательного звена при различных значениях а - ЛАЧХ; б - ЛФЧХ.

Учитывая, что модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей этих чисел, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей, можем записать:

Выражение для ЛАЧХ системы:

т. е. ЛАЧХ системы равна сумме ЛАЧХ последовательно включенных звеньев.

Для построения ЛАЧХ системы построим сначала ЛАЧХ звеньев, соответствующих слагаемым выражения (2.108), а затем сложим ординаты ЛАЧХ всех звеньев. Указанные построения выполнены на Рис. 2.24.

Первое слагаемое выражения графически изображается, прямой проведенной параллельно оси абсцисс

Рис. 2.24. Пример построения логарифмических частотных характеристик системы в разомкнутом состоянии.

на уровне Второе слагаемое представляющее собой выражение для ЛАЧХ интегрирующего звена, как было показано, на графике изображается прямой с наклоном — пересекающей ось 0 дБ при частоте Третье и четвертое слагаемые представляют собой выражения для ЛАЧХ апериодических звеньев в случае, если их коэффициенты усиления равны единице. Графически изображаются горизонтальными отрезками и отрезками с наклоном сопрягающимися при частотах сопряжения, соответственно равными системы, полученная сложением ординат АЧХ отдельных звеньев, на рис. 2.24 изображена ломаной

При построении ЛАЧХ системы обычно не строят ЛАЧХ отдельных звеньев, а придерживаются следующей методики: 1) определяют сопрягающие частоты (для рассматриваемого примера и откладывают вдоль оси частот (рис. 2.24);

2) на частоте откладывают ординату, равную где — коэффициент усиления разомкнутой системы (точка А); 3) через точку А проводят прямую с наклоном — (где — порядок астатизма системы, для нашего случая до первой частоты сопряжения (точка В). Этот отрезок будет низкочастотной асимптотой ЛАЧХ системы. Если окажется, что первая частота сопряжения то через точку А пройдет продолжение низкочастотной асимптоты; 4) после каждой из частот сопряжения необходимо изменять наклон ЛАЧХ на если частота сопряжения определяется

Рис. 2.25. К определению частоты .

постоянной времени сомножителя знаменателя передаточной функции, и на если эта частота определяется постоянной времени сомножителя числителя. В рассматриваемом примере все сомножители находятся в знаменателе КПФ, поэтому при необходимо изменять наклон ЛАЧХ на При наличии колебательных звеньев наклон ЛАЧХ изменяют на

Найдем частоту при которой низкочастотная асимптота ЛАЧХ системы или ее продолжение пересекает ось 0 дБ (рис. 2.25). Если система имеет астатизм порядка то низкочастотная асимптота и ее продолжение определяются суммой первых двух членов выражения (2.108): . В точке пересечения асимптоты или ее продолжения с осью 0 дБ имеем откуда искомая частота

Это свойство можно использовать при построении низкочастотной асимптоты на оси 0 дБ следует отметить точку, соответствующую частоте и через эту точку провести (пунктирную) прямую с наклоном Низкочастотная ЛАЧХ системы будет совпадать с этой прямой до первой частоты сопряжения Дальнейшее построение ЛАЧХ выполняется в соответствии с изложенной выше методики. Используя свойство можно непосредственно по ЛАЧХ определить коэффициент усиления системы Для этого достаточно определить частоту со в точке пересечения низкочастотной асимптоты ЛАЧХ или ее продолжения с осью 0 дБ.

Если система имеет астатизм второго порядка то уравнение пересечения низкочастотной ЛАЧХ (или продолжения асимптоты) с осью 0 дБ имеет вид: откуда Для построения низкочастотной асимптоты ЛАЧХ в этом случае необходимо через точку на оси 0 дБ, соответствующую частоте , провести прямую с наклоном

Частота , при которой модуль КПФ системы называется частотой среза. Учитывая, что частотой среза будет, частота, при которой ЛАЧХ пересекает ось 0 дБ (рис. 2.25). Выражение для ЛФЧХ системы:

т. е. ЛФЧХ системы может быть получена так же, как и ЛАЧХ системы: простым сложением ординат ЛФЧХ звеньев, входящих в систему. Однако на практике вычисляют значения ЛФЧХ системы аналитически. Для этого удобно составить таблицу следующей формы:

Логарифмические ФЧХ отдельных звеньев и системы изображены на рис. 2.24 кривыми с индексами в соответствии с приведенной выше таблицей.

ЛФЧХ системы в области низких частот начинается со значений где — порядок астатизма системы. Из рис. 2.24 видно, что если в некоторой области частот наклон ЛАЧХ системы сохраняет постоянное значение, то и ЛФЧХ системы в этой области частот остается почти постоянной. В области низких частот, где наклон ЛАЧХ постоянен и равен кривая также неизменна и равна —90°. По мере приближения к первой частоте сопряжения где наклон ЛАЧХ увеличивается до фазовая характеристика начинает изменяться все более быстро, стремясь к новому постоянному значению, равному —180°. Поскольку имеется еще одна частота сопряжения на которой наклон ЛАЧХ становится равным фазовая характеристика снова начинает резко изменяться в области этой частоты сопряжения, стремясь к значению —270°.

Построение логарифмической амплитудно-частотной характеристики по коэффициентам передаточной функции. Часто выражение передаточной функции сложной системы получается не в виде дроби, числитель и знаменатель которой представляют собой произведения передаточных функций элементарных звеньев, а в виде отношения полиномов (см., например, формулу (2.77)). Чтобы построить ЛАЧХ по передаточной функции, представленной в виде отношения полиномов, можно эти полиномы разложить на элементарные множители и для построения характеристики использовать рассмотренный выше метод. Однако при этом необходимо вычислять корни уравнений, получающихся приравниванием нулю полиномов числителя и знаменателя передаточной функции. Это усложняет процесс построения. В рассматриваемом случае построение ЛАЧХ удобнее выполнить непосредственно по коэффициентам полиномов передаточной функции. Убедимся в возможности такого построения на примере системы, состоящей из последовательно включенных двух апериодических и интегрирующего звеньев: Асимптотическая ЛАЧХ такой системы представляет собой ломаную, имеющую изломы при частотах сопряжения Низкочастотная асимптота имеет наклон и проходит через точку с координатами

Раскроем скобки в выражении для передаточной функции

где

Определим отношения коэффициентов с большими индексами к коэффициентам с меньшими индексами:

Если при записи передаточной функции принимаются то можно написать следующие приближенные равенства: Таким образом, значения частот сопряжения ЛАЧХ могут быть приближенно определены как отношения коэффициентов передаточной функции.

Данный метод построения ЛАЧХ может быть распространен также на более общий случай, когда передаточная функция системы имеет вид:

Определяются частоты сопряжения:

числителя

знаменателя

и их значения по мере роста откладываются по оси частот. Наклон ЛАЧХ на частотах сопряжения, принадлежащих знаменателю, изменяется на а на частотах сопряжения, принадлежащих числителю, на Низкочастотная асимптота проводится под наклоном через точку с координатами