2.8. Логарифмические частотные характеристики звеньев и систем автоматического управления
Определение логарифмических частотных характеристик
Построение амплитудно-фазовых частотных характеристик сложных систем связано с большой затратой времени. Исследование САУ значительно упрощается, если пользоваться частотными характеристиками, вычерченными в логарифмическом масштабе, т. е. логарифмическими частотными характеристиками
Простота метода ЛЧХ объясняется простотой построения характеристик:
логарифмическая частотная характеристик системы получается сложением характеристик отдельных звеньев при построении АФЧХ системы необходимо перемножать
отдельных ее звеньев);
точные логарифмические характеристики звеньев заменяются отрезками прямых — асимптотами.
Выясним, что представляют собой
Запишем комплексную передаточную функцию в показательной форме
и прологарифмируем выражение для
Кривая зависимости логарифма модуля
комплексной передаточной функции от частоты, отложенной по оси абсцисс в логарифмическом масштабе, называется логарифмической амплитудно-частотной характеристикой
Обычно на графике по оси ординат принято откладывать не
а пропорциональную ей величину
измеряемую в децибелах. При сравнении двух величин
говорят, что они отличаются на 1 дБ, если
.
Зависимость аргумента
от частоты, отложенной по оси абсцисс в логарифмическом масштабе, называется логарифмической фазо-частотной характеристикой (ЛФЧХ).
Рис. 2.16. Логарифмический масштаб частоты.
При построении логарифмического масштаба частоты по оси абсцисс откладываются отрезки, пропорциональные не самим частотам со, а логарифмам частот
, как показано на рис. 2.16. Для удобства пользования логарифмическим масштабом частот на оси абсцисс обычно наносятся значения самих частот, логарифмы которых отложены по оси.
Рассмотрим понятия об октаве и декаде. Если две частоты и
отличаются друг от друга в два раза, т. е. — 2, то говорят, что эти частоты отличаются друг от друга на одну октаву. Если же частоты
отличаются друг от друга в 10 раз, т. е.
то считают, что эти частоты отличаются на одну декаду. Декада — интервал между частотами, отличающимися друг от друга в 10 раз. Например, интервал частот от
до
содержит 3 декады: 1-я декада — между
и
2-я декада — между
и
и 3-я декада — между
. Отрезок, изображающий декаду (или октаву) в логарифмическом масштабе, имеет одну и ту же длину для любого участка оси частот, равную
(см. рис. 2.16).
Рассмотрим логарифмические амплитудно- и фазо-частотные характеристики динамических звеньев.
Логарифмические частотные характеристики динамических звеньев
Логарифмические частотные характеристики пропорционального звена. Комплексная передаточная функция звена
Выражение для ЛАЧХ
т. е. ЛАЧХ звена не зависит от частоты и поэтому представляет прямую, параллельную оси частот (рис. 2.17). Если
то
проходит выше оси абсцисс, при
— ниже оси.
Выражение для
т. е. логарифмическая фазочастотная характеристика не зависит от частоты и представляет прямую, совпадающую с положительной вещественной осью (прямая
рис. 2.17).
Логарифмические частотные характеристики интегрирующего звена. Комплексная передаточная функция звена:
Рис. 2.17, Логарифмические амплитудно-частотная
и фазо-частотиая
характеристики пропорционального звена.
Рис. 2.18. Логарифмические амплитуд-но-частотная
и фазо-частотная
характеристики интегрирующего звена.
Выражение для ЛАЧХ звена:
Из формулы (2.101) следует, что ЛАЧХ звена представляет сумму из двух слагаемых. Первое слагаемое
не зависит от частоты и поэтому изображается прямой, проведенной параллельно оси частот на уровне
(рис. 2.18). Второе слагаемое —
со зависит от частоты. Для определения вида графика, изображающего это слагаемое, зададимся несколькими частотами и определим ординаты графика при этих частотах:
Отмечаем точки А, В и С и проводим через них график. Из рисунка видно, что слагаемое —
графически изображается прямой, проведенной под некоторым наклоном к оси частот (рис. 2.18). Под наклоном
понимается отношение приращения ординаты характеристики к приращению абсциссы:
. Обычно в качестве
берется отрезок на оси абсцисс, соответствующий октаве или декаде. Учитывая, что частоты, отстоящие друг от друга на 1 декаду, отличаются в 10 раз, наклон прямой
со декада
т. е. при увеличении со на декаду ордината
убывает на 20 дБ.
Для получения ЛАЧХ звена
необходимо сложить ординаты графиков, изображающих слагаемые
. Как видно из рисунка 2.18, где выполнено такое сложение, ЛАЧХ интегрирующего звена
представляет собой прямую с наклоном
имеющую при
ординату, равную
Опуская промежуточные операции, можно рекомендовать следующий порядок построения ЛАЧХ интегрирующего звена: 1) на частоте
отложить
; 2) через точку
провести прямую с наклоном
Для этого от точки
вправо отложить декаду (точка
) и от точки Е отложить вниз 20 дБ (точка F); 3) провести прямую через точки
и
Эта прямая и будет ЛАЧХ интегрирующего звена.
Частоту
при которой ЛАЧХ пересекает ось частот, найдем из уравнения
Используя это, можно рекомендовать еще одно правило построения ЛАЧХ звена: на оси абсцисс (частот) отметить точку, соответствующую частоте
и через эту точку провести прямую с наклоном
При изменении
наклонная прямая перемещается в вертикальном направлении параллельно себе. Если
то
и выражение для ЛАЧХ звена примет вид
, т. е. в этом случае ЛАЧХ пересечет ось 0 дБ при
(наклонная прямая
рис. 2.18).
Выражение для ЛФЧХ интегрирующего звена:
откуда видно, что аргумент комплексной передаточной функции звена не зависит от частоты и поэтому ЛФЧХ звена представляет прямую, параллельную оси частот, проведенную на уровне — 90°.
Логарифмические частотные характеристики идеального дифференцирующего звена. Комплексная передаточная функция звена:
Выражение для ЛАЧХ звена:
Слагаемое
не зависит от частоты и поэтому изображается прямой, параллельной оси абсцисс на уровне
(прямая
рис. 2.19). Слагаемое
изображается прямой с наклоном
Поскольку
при
прямая
пересекает ось 0 дБ в точке, соответствующей частоте
звена
получается сложением ординат слагаемых
Из рис. 2.19 видно, что ЛАЧХ идеального дифференцирующего звена
представляет собой прямую с наклоном
имеющую при
ординату, равную
Частоту
при которой
звена пересекает ось частот, найдем из уравнения
Чтобы построить ЛАЧХ идеального дифференцирующего звена, следует на оси частот отметить точку, соответствующую частоте
и через нее провести прямую под наклоном
Выражение для ЛФЧХ звена
т. е. ЛФЧХ идеального дифференцирующего звена — прямая, параллельная оси абсцисс, проведенная на уровне
(см. рис. 2.19).
Для получения ЛАЧХ звена
в области высоких частот необходимо сложить прямые
. Такое сложение показано на рис. 2.20. Как видно из рисунка, ЛАЧХ апериодического звена в области высоких частот представляет прямую СВ с наклоном
Таким образом, ЛАЧХ апериодического звена представляется горизонтальным (АС) и наклонным с
отрезками прямых, являющимися асимптотами точной ЛАЧХ в области низких и высоких частот.
Найдем частоту
соответствующую точке С сопряжения горизонтальной и наклонной асимптот. Поскольку точка С принадлежит обеим прямым, то на частоте правые части выражений (2.103) и (2.104) будут равны между собой:
Из последнего выражения следует:
или
откуда
т. е. значение частоты, при которой происходит сопряжение низко- и высокочастотной асимптот, равно
Эта частота называется частотой сопряжения.
Можно рекомендовать следующий порядок построения ЛАЧХ апериодического звена: 1) вычислить
и полученное значение отложить по оси ординат (точка А, рис. 2.20); 2) вычислить частоту сопряжения
отложить ее значение на оси частот; 3) на уровне
провести горизонтальный отрезок от оси ординат до частоты сопряжения
(отрезок
из точки сопряжения С провести отрезок прямой под наклоном
(отрезок
Ломаная линия
представляет собой ЛАЧХ апериодического звена. Точная ЛАЧХ звена показана на рис. 2.20 кривой
Как видно из рисунка, она совпадает с приближенной асимптотической
при
Наибольшая погрешность при замене точной ЛАЧХ ее асимптотами имеет место при частоте сопряжения
и равна 3 дБ.
Форма ЛАЧХ звена не зависит от его коэффициента усиления
Изменение
приводит лишь к параллельному перемещению характеристики. Если
то горизонтальный отрезок ЛАЧХ будет совпадать с осью 0 дБ. Для случая
звена на рис. 2.20 изображена ломаной
Выражение для ЛФЧХ апериодического звена:
. Для построения ЛФЧХ звена необходимо задаться различными частотами со и определить значения ординат характеристики на этих частотах. Для выяснения вида ЛФЧХ звена достаточно определить
для следующих трех частот:
ЛФЧХ апериодического звена изображена кривой
на рис.
Обратим внимание на то, что ЛФЧХ звена при частоте сопряжения
имеет ординату, равную —45°.
Из сравнения ЛАЧХ и ЛФЧХ видно, что в области частот, где ЛАЧХ представляет горизонтальную прямую, ЛФЧХ стремится, к 0°, а там, где ЛАЧХ выражена прямой с наклоном -20 дБ/дек, ЛФЧХ стремится к —90°. Резкие изменения ЛФЧХ имеет только около частоты сопряжения, где ЛАЧХ изменяет наклон.
Логарифмические частотные характеристики колебательного звена. КПФ устойчивого колебательного звена:
где
Выражение для ЛАЧХ звена:
Если принять
то
Для области низких частот, где со
и поэтому можно пренебречь членами
по сравнению с единицей, последнее выражение можно написать в приближенном виде:
т. е. в области низких частот ЛАЧХ колебательного звена при
будет совпадать с осью 0 дБ (рис. 2.21, а).
В области высоких частот, а именно при
когда
можно написать следующее приближенное равенство:
а выражение (2.106) для ЛАЧХ примет вид:
При построении ЛАЧХ апериодического звена было показано, что график, изображающий
является прямой с наклоном
Очевидно, что
будет изображаться прямой с наклоном, равным
(рис. 2.21, а).
Таким образом, приближенная асимптотическая ЛАЧХ колебательного звена изображается двумя отрезками прямых: горизонтальным отрезком, при
совпадающим с осью 0 дБ, и отрезком с наклоном —
Горизонтальный отрезок является асимптотой точной ЛАЧХ в области низких, а наклонный — в области высоких частот.
Низкочастотная и высокочастотная асимптоты ЛАЧХ сопрягаются при частоте сопряжения
определяемой из уравнения
т. е. при частоте
Можно рекомендовать следующий порядок построения асимптотической ЛАЧХ колебательного звена для случая
: 1) на уровне
провести горизонтальный отрезок (отрезок А В) до частоты сопряжения
из точки сопряжения В провести отрезок прямой под наклоном
(отрезок
Для этого от частоты сопряжения (точка В) отложить вправо одну декаду и от новой точки (точки С) отложить вниз 40 дБ. Затем провести отрезок прямой через точки В и Д.
Рис. 2.21. Асимптотическая логарифмическая амплитудно-частотная характеристика колебательного звена:
Рис. 2.22. Поправки к ЛАЧХ колебательного звена, соответствующие различным значениям
Ломаная прямая
будет представлять ЛАЧХ колебательного звена. Точные ЛАЧХ колебательного звена отличаются от асимптотической ЛАЧХ. Эти отклонения в сильной степени зависят от коэффициента относительного затухания входящего в выражение передаточной функции.
Добавляя поправки
(рис. 2.22), соответствующие различным значениям к асимптотической ЛАЧХ, можно получать точные ЛАЧХ (рис. 2.23, а). Из рис. 2.22 видно, что при значенияхлежащих в пределах
отклонения не превосходят 3 дБ и поэтому, как и при построении ЛАЧХ апериодического звена, могут не учитываться.
Быражение для ЛФЧХ колебательного звена:
Логарифмические фазо-частотные характеристики при различных значениях
приведены на рис. 2.23, б, из которого видно, что ЛФЧХ звена изменяются от 0° в области низких частот до —180° в области высоких частот. На частоте сопряжения
сдвиг по фазе равен —90°.