2.8. Логарифмические частотные характеристики звеньев и систем автоматического управления

Определение логарифмических частотных характеристик

Построение амплитудно-фазовых частотных характеристик сложных систем связано с большой затратой времени. Исследование САУ значительно упрощается, если пользоваться частотными характеристиками, вычерченными в логарифмическом масштабе, т. е. логарифмическими частотными характеристиками

Простота метода ЛЧХ объясняется простотой построения характеристик:

логарифмическая частотная характеристик системы получается сложением характеристик отдельных звеньев при построении АФЧХ системы необходимо перемножать отдельных ее звеньев);

точные логарифмические характеристики звеньев заменяются отрезками прямых — асимптотами.

Выясним, что представляют собой Запишем комплексную передаточную функцию в показательной форме и прологарифмируем выражение для

Кривая зависимости логарифма модуля комплексной передаточной функции от частоты, отложенной по оси абсцисс в логарифмическом масштабе, называется логарифмической амплитудно-частотной характеристикой Обычно на графике по оси ординат принято откладывать не а пропорциональную ей величину измеряемую в децибелах. При сравнении двух величин говорят, что они отличаются на 1 дБ, если .

Зависимость аргумента от частоты, отложенной по оси абсцисс в логарифмическом масштабе, называется логарифмической фазо-частотной характеристикой (ЛФЧХ).

Рис. 2.16. Логарифмический масштаб частоты.

При построении логарифмического масштаба частоты по оси абсцисс откладываются отрезки, пропорциональные не самим частотам со, а логарифмам частот , как показано на рис. 2.16. Для удобства пользования логарифмическим масштабом частот на оси абсцисс обычно наносятся значения самих частот, логарифмы которых отложены по оси.

Рассмотрим понятия об октаве и декаде. Если две частоты и отличаются друг от друга в два раза, т. е. — 2, то говорят, что эти частоты отличаются друг от друга на одну октаву. Если же частоты отличаются друг от друга в 10 раз, т. е. то считают, что эти частоты отличаются на одну декаду. Декада — интервал между частотами, отличающимися друг от друга в 10 раз. Например, интервал частот от до содержит 3 декады: 1-я декада — между и 2-я декада — между и и 3-я декада — между . Отрезок, изображающий декаду (или октаву) в логарифмическом масштабе, имеет одну и ту же длину для любого участка оси частот, равную (см. рис. 2.16).

Рассмотрим логарифмические амплитудно- и фазо-частотные характеристики динамических звеньев.

Логарифмические частотные характеристики динамических звеньев

Логарифмические частотные характеристики пропорционального звена. Комплексная передаточная функция звена

Выражение для ЛАЧХ

т. е. ЛАЧХ звена не зависит от частоты и поэтому представляет прямую, параллельную оси частот (рис. 2.17). Если то проходит выше оси абсцисс, при — ниже оси.

Выражение для т. е. логарифмическая фазочастотная характеристика не зависит от частоты и представляет прямую, совпадающую с положительной вещественной осью (прямая рис. 2.17).

Логарифмические частотные характеристики интегрирующего звена. Комплексная передаточная функция звена:

Рис. 2.17, Логарифмические амплитудно-частотная и фазо-частотиая характеристики пропорционального звена.

Рис. 2.18. Логарифмические амплитуд-но-частотная и фазо-частотная характеристики интегрирующего звена.

Выражение для ЛАЧХ звена:

Из формулы (2.101) следует, что ЛАЧХ звена представляет сумму из двух слагаемых. Первое слагаемое не зависит от частоты и поэтому изображается прямой, проведенной параллельно оси частот на уровне (рис. 2.18). Второе слагаемое — со зависит от частоты. Для определения вида графика, изображающего это слагаемое, зададимся несколькими частотами и определим ординаты графика при этих частотах:

Отмечаем точки А, В и С и проводим через них график. Из рисунка видно, что слагаемое — графически изображается прямой, проведенной под некоторым наклоном к оси частот (рис. 2.18). Под наклоном понимается отношение приращения ординаты характеристики к приращению абсциссы: . Обычно в качестве берется отрезок на оси абсцисс, соответствующий октаве или декаде. Учитывая, что частоты, отстоящие друг от друга на 1 декаду, отличаются в 10 раз, наклон прямой

со декада

т. е. при увеличении со на декаду ордината убывает на 20 дБ.

Для получения ЛАЧХ звена необходимо сложить ординаты графиков, изображающих слагаемые . Как видно из рисунка 2.18, где выполнено такое сложение, ЛАЧХ интегрирующего звена представляет собой прямую с наклоном имеющую при ординату, равную

Опуская промежуточные операции, можно рекомендовать следующий порядок построения ЛАЧХ интегрирующего звена: 1) на частоте отложить ; 2) через точку провести прямую с наклоном Для этого от точки вправо отложить декаду (точка ) и от точки Е отложить вниз 20 дБ (точка F); 3) провести прямую через точки и Эта прямая и будет ЛАЧХ интегрирующего звена.

Частоту при которой ЛАЧХ пересекает ось частот, найдем из уравнения Используя это, можно рекомендовать еще одно правило построения ЛАЧХ звена: на оси абсцисс (частот) отметить точку, соответствующую частоте и через эту точку провести прямую с наклоном

При изменении наклонная прямая перемещается в вертикальном направлении параллельно себе. Если то и выражение для ЛАЧХ звена примет вид , т. е. в этом случае ЛАЧХ пересечет ось 0 дБ при (наклонная прямая рис. 2.18).

Выражение для ЛФЧХ интегрирующего звена: откуда видно, что аргумент комплексной передаточной функции звена не зависит от частоты и поэтому ЛФЧХ звена представляет прямую, параллельную оси частот, проведенную на уровне — 90°.

Логарифмические частотные характеристики идеального дифференцирующего звена. Комплексная передаточная функция звена:

Выражение для ЛАЧХ звена:

Слагаемое не зависит от частоты и поэтому изображается прямой, параллельной оси абсцисс на уровне (прямая рис. 2.19). Слагаемое изображается прямой с наклоном Поскольку при прямая пересекает ось 0 дБ в точке, соответствующей частоте звена получается сложением ординат слагаемых Из рис. 2.19 видно, что ЛАЧХ идеального дифференцирующего звена представляет собой прямую с наклоном имеющую при ординату, равную

Частоту при которой звена пересекает ось частот, найдем из уравнения

Чтобы построить ЛАЧХ идеального дифференцирующего звена, следует на оси частот отметить точку, соответствующую частоте и через нее провести прямую под наклоном

Выражение для ЛФЧХ звена т. е. ЛФЧХ идеального дифференцирующего звена — прямая, параллельная оси абсцисс, проведенная на уровне (см. рис. 2.19).

Рис. 2.19. Логарифмические амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики идеального дифференцирующего звена.

Рис. 2.20. Логарифмические амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики апериодического звена.

Логарифмические частотные характеристики апериодического звена. Комплексная передаточная функция звена:

Выражение для ЛАЧХ звена:

Для области низких и высоких частот выражение для может быть упрощено. В области малых где имеем и поэтому Учитывая, что выражение (2.102) для в рассматриваемом диапазоне частот будет иметь вид:

т. е. ЛАЧХ апериодического звена в области низких частот представляет прямую, проведенную на уровне параллельно оси частот (отрезок рис. 2.20).

В области высоких частот, где имеем поэтому и выражение (2.102) будет иметь вид:

Первое слагаемое графически изображается прямой, параллельной оси абсцисс (на рис. 2.20 прямая проведена пунктиром). Для определения вида графика второго слагаемого зададимся несколькими частотами и определим ординаты для этих частот:

Проводим через точки прямую. Как видим, слагаемое изображается прямой с наклоном:

Для получения ЛАЧХ звена в области высоких частот необходимо сложить прямые . Такое сложение показано на рис. 2.20. Как видно из рисунка, ЛАЧХ апериодического звена в области высоких частот представляет прямую СВ с наклоном

Таким образом, ЛАЧХ апериодического звена представляется горизонтальным (АС) и наклонным с отрезками прямых, являющимися асимптотами точной ЛАЧХ в области низких и высоких частот.

Найдем частоту соответствующую точке С сопряжения горизонтальной и наклонной асимптот. Поскольку точка С принадлежит обеим прямым, то на частоте правые части выражений (2.103) и (2.104) будут равны между собой: Из последнего выражения следует: или откуда т. е. значение частоты, при которой происходит сопряжение низко- и высокочастотной асимптот, равно Эта частота называется частотой сопряжения.

Можно рекомендовать следующий порядок построения ЛАЧХ апериодического звена: 1) вычислить и полученное значение отложить по оси ординат (точка А, рис. 2.20); 2) вычислить частоту сопряжения отложить ее значение на оси частот; 3) на уровне провести горизонтальный отрезок от оси ординат до частоты сопряжения (отрезок из точки сопряжения С провести отрезок прямой под наклоном (отрезок Ломаная линия представляет собой ЛАЧХ апериодического звена. Точная ЛАЧХ звена показана на рис. 2.20 кривой Как видно из рисунка, она совпадает с приближенной асимптотической при Наибольшая погрешность при замене точной ЛАЧХ ее асимптотами имеет место при частоте сопряжения и равна 3 дБ.

Форма ЛАЧХ звена не зависит от его коэффициента усиления Изменение приводит лишь к параллельному перемещению характеристики. Если то горизонтальный отрезок ЛАЧХ будет совпадать с осью 0 дБ. Для случая звена на рис. 2.20 изображена ломаной

Выражение для ЛФЧХ апериодического звена: . Для построения ЛФЧХ звена необходимо задаться различными частотами со и определить значения ординат характеристики на этих частотах. Для выяснения вида ЛФЧХ звена достаточно определить для следующих трех частот:

ЛФЧХ апериодического звена изображена кривой на рис. Обратим внимание на то, что ЛФЧХ звена при частоте сопряжения имеет ординату, равную —45°.

Из сравнения ЛАЧХ и ЛФЧХ видно, что в области частот, где ЛАЧХ представляет горизонтальную прямую, ЛФЧХ стремится, к 0°, а там, где ЛАЧХ выражена прямой с наклоном -20 дБ/дек, ЛФЧХ стремится к —90°. Резкие изменения ЛФЧХ имеет только около частоты сопряжения, где ЛАЧХ изменяет наклон.

Логарифмические частотные характеристики колебательного звена. КПФ устойчивого колебательного звена:

где

Выражение для ЛАЧХ звена:

Если принять то

Для области низких частот, где со и поэтому можно пренебречь членами по сравнению с единицей, последнее выражение можно написать в приближенном виде: т. е. в области низких частот ЛАЧХ колебательного звена при будет совпадать с осью 0 дБ (рис. 2.21, а).

В области высоких частот, а именно при когда можно написать следующее приближенное равенство: а выражение (2.106) для ЛАЧХ примет вид:

При построении ЛАЧХ апериодического звена было показано, что график, изображающий является прямой с наклоном Очевидно, что будет изображаться прямой с наклоном, равным (рис. 2.21, а).

Таким образом, приближенная асимптотическая ЛАЧХ колебательного звена изображается двумя отрезками прямых: горизонтальным отрезком, при совпадающим с осью 0 дБ, и отрезком с наклоном — Горизонтальный отрезок является асимптотой точной ЛАЧХ в области низких, а наклонный — в области высоких частот.

Низкочастотная и высокочастотная асимптоты ЛАЧХ сопрягаются при частоте сопряжения определяемой из уравнения т. е. при частоте

Можно рекомендовать следующий порядок построения асимптотической ЛАЧХ колебательного звена для случая : 1) на уровне провести горизонтальный отрезок (отрезок А В) до частоты сопряжения из точки сопряжения В провести отрезок прямой под наклоном (отрезок Для этого от частоты сопряжения (точка В) отложить вправо одну декаду и от новой точки (точки С) отложить вниз 40 дБ. Затем провести отрезок прямой через точки В и Д.

Рис. 2.21. Асимптотическая логарифмическая амплитудно-частотная характеристика колебательного звена:

Рис. 2.22. Поправки к ЛАЧХ колебательного звена, соответствующие различным значениям

Ломаная прямая будет представлять ЛАЧХ колебательного звена. Точные ЛАЧХ колебательного звена отличаются от асимптотической ЛАЧХ. Эти отклонения в сильной степени зависят от коэффициента относительного затухания входящего в выражение передаточной функции.

Добавляя поправки (рис. 2.22), соответствующие различным значениям к асимптотической ЛАЧХ, можно получать точные ЛАЧХ (рис. 2.23, а). Из рис. 2.22 видно, что при значенияхлежащих в пределах отклонения не превосходят 3 дБ и поэтому, как и при построении ЛАЧХ апериодического звена, могут не учитываться.

Быражение для ЛФЧХ колебательного звена:

Логарифмические фазо-частотные характеристики при различных значениях приведены на рис. 2.23, б, из которого видно, что ЛФЧХ звена изменяются от 0° в области низких частот до —180° в области высоких частот. На частоте сопряжения сдвиг по фазе равен —90°.