Связь между дискретным и непрерывным преобразованиями Лапласа (Фурье) — D-преобразование. Частотное представление решетчатой функции

Решетчатую функцию соответствующую непрерывной функции можно получить с помощью амплитудно-импульсного модулятора, обеспечивающего амплитудную модуляцию последовательности мгновенных импульсов единичной площади сигналом

Обозначим изображение Фурье (частотный спектр) непрерывной функции через (рис. 8.26, а). Последовательность импульсов

(кликните для просмотра скана)

Рис. 8.26. (см. скан) Изменения сигналов во времени и их амплитудно-частотные спектры:

разложив в ряд Фурье, можно представить в виде суммь постоянной составляющей первой гармоники с частотой и бесконечного количества гармоник, отличающихся друг от Друга по частоте на с амплитудой (рис. 8.26, б). Изображение Фурье амплитудао-модулированной последовательности импульсов определяется выражением

т. е. частотный спектр решетчатой функции получается суммированием частотных спектров, соответствующих непрерывной функции, смещенных по оси частот на величины где изменяется от до . Таким образом, действие простейшего импульсного элемента сказывается в появлении боковых полос частот, идентичных спектру непрерывной функции.

Формула связи (8.31) позволяет по преобразованию Фурье непрерывной функции определить дискретное преобразование Фурье решетчатой функции Формула (8.31) справедлива в случае нулевого начального значения функции . В общем случае, когда формула связи имеет вид

Преобразование Лапласа решетчатой функции определяется выражением, аналогичным последнему выражению

Операцию рассмотренного преобразования обозначают

Это преобразование называют прямым -преобразованием.

При использовании относительного масштаба времени формула связи (8.32) примет вид

а для смещенной решетчатой функции

Таким образом, дискретное преобразование можно найти по формуле

если известна решетчатая функция или по формуле

если известно непрерывное преобразование Лапласа

Для определения дискретного преобразования Лапласа (например, для определения дискретной передаточной функции системы по обычному изображению Лапласа (по передаточной

функции приведенной непрерывной части системы можно воспользоваться табл.

Основной особенностью дискретного преобразования Лапласа (Фурье) является его периодичность. Изображения являются периодическими функциями с периодом Периодичность видна при рассмотрении амплитудного спектра решетчатой функции (рис. 8.26).

Используя частотное представление решетчатой функции, можно сформулировать теорему о дискретном представлении непрерывных функций, устанавливающую соотношение между спектром непрерывной функции и частотой повторения импульсов, при котором возможно восстановление непрерывной функции, и требования к частотной характеристике непрерывной части импульсной системы, обеспечивающей сглаживание импульсов, т. е. восстановление исходной непрерывной функции.

Теорема о дискретном представлении непрерывных функций. Полезная информация (спектр огибающей амплитудно-модулированной последовательности импульсов) расположена около нулевой частоты, но та же информация появляется периодически вдоль оси частот через частоту Спектр огибающей, расположенный около нулевой частоты, обычно называют основным, а смещенные спектры — дополнительными.

Из рис. 8.26, в следует, что дополнительные спектры не перекрываются (и, следовательно, не перекрывают основной спектр), если максимальная существенная частота сот спектра непрерывной функции (полезного сигнала) меньше, чем половинная частота импульсов, т. е. если где — период повторения импульсов. В случае, когда (Т слишком велик), смещенные спектры непрерывного сигнала перекрываются (рис. 8.26, г) и специфические особенности сигнала не проявляются. Спектр решетчатой функции в этом случае будет близок к белому шуму. Очевидно, что вид частотного спектра исходной непрерывной функции, а следовательно, и саму эту функцию можно восстановить, если смещенные спектры не будут перекрываться. Сформулируем теорему:

если полезная информация выделяется линейной цепью только на основании различия в частотном спектре, то исходная непрерывная модулирующая функция может быть восстановлена без искажений, если частота повторения импульсов по крайней мере, в два раза больше максимальной частоты сот спектра этой непрерывной функции, т. е. если

При выполнении условий этой теоремы спектр полезного сигнала будет находиться в полосе частот между Приведенная теорема называется теоремой Котельникова.

Сглаживание импульсов. На приведенную непрерывную часть ПНЧ импульсной системы (рис. 8.20) с выхода простейшего импульсного элемента поступает амплитудно-модулированная последовательность импульсов. Полезная информация этой последовательности импульсов содержится в огибающей их амплитуд (плрщадей). Задачей приведенной непрерывной части является выделение полезной информации,

Рис. 8.27. Преобразование дискретной информации (а) в непрерывную (б).

т. е. выделение огибающей импульсов, или иначе, преобразование дискретной информации в непрерывную. Наряду с этой, специфической для импульсных систем, задачей приведенная непрерывная часть осуществляет также свойственные для всех САУ функциональные преобразования полезного сигнала с целью достижения необходимых динамических характеристик.

Чтобы из амплитудно-модулированной последовательности импульсов (рис. 8.27, а) вновь получить непрерывный сигнал, необходимо отфильтровать дополнительные составляющие частотного спектра этой последовательности импульсов и пропустить лишь основную составляющую, т. е. спектр огибающей, расположенный около нулевой частоты (рис. 8.27, б). Таким образом, если процесс получения дискретного сигнала подобен процессу модуляции, то процесс выделения огибающей подобен процессу сглаживания при демодуляции амплитудно-модулированного напряжения несущей частоты.

Сглаживание импульсов или фильтрование высокочастотных составляющих спектра последовательности импульсов можно осуществить с помощью фильтра низких частот. Поскольку основная составляющая спектра последовательности импульсов сконцентрирована вокруг нулевой частоты, а дополнительные составляющие — вокруг частот то для фильтрации дополнительных составляющих спектра граничная частота пропускания фильтра должна быть примерно равна половинной частоте повторения импульсов Во многих импульсных системах автоматического управления функцию фильтра низких частот — сглаживание импульсов — в основном выполняют элементы самой системы (например, усилитель, двигатель). Иногда с целью достижения лучшего эффекта фильтрации в систему включают дополнительные сглаживающие фильтры. Наиболее простым фильтром является фиксатор.