Ограничения управляющего воздействия и фазовых координат управляемого объекта

При выборе управляющего воздействия и следует иметь в виду, что оно не может принимать произвольные значения, так как на него наложены реальные ограничения, определяемые техническими условиями. Например, значение управляющего напряжения, подаваемого на двигатель, ограничено его предельным значением, определенным условиями эксплуатации двигателя.

Таким образом, в соответствии с конструкцией объекта и условиями его эксплуатации в пространстве переменных , имеется некоторое множество допустимых управляющих воздействий и выбираемое управляющее воздействие должно принадлежать этому множеству На рис. 11.8 изображено множество для случая Для технических задач характерна замкнутая область допустимых управлений, когда точка и может находиться не только внутри множества, но и на его границе.

На фазовые координаты объекта также налагаются определенные ограничения (при повороте антенны высотомера на заданный азимут максимальная угловая скорость и ускорение ограничены механической прочностью антенны).

Оптимальное управление может быть достигнуто, если объект является управляемым, т. е. существует хотя бы одно допустимое управление, переводящее объект из начального состояния в заданное конечное.

Постановка задачи. Задача оптимального управления может быть сформулирована следующим образом. В фазовом пространстве объекта X даны две точки Среди всех допустимых управлений и переводящих объект из точки фазового пространства в точку найти такое, для которого критерий оптимальности принимает наименьшее возможное значение. Здесь — решение уравнения (11.2) с начальным условием Такое управление называется оптимальным управлением, а соответствующая траектория — оптимальной траекторией.

Рис. 11.8. Множество допустимых управляющих воздействий для случая

Рис. 11.9. Геометрическаи интерпретации критерия оптимальности

Требование минимизации критерия оптимальности может быть формально заменено требованием минимизации конечного значения одной из координат объекта управления. Для этого в уравнения объекта вводится дополнительная координата, которой является шонал Это делается добавлением к уравнениям (11.2) нового уравнения

причем Размерность фазового пространства при этом увеличивается на единицу, т. е. становится равной . С учетом (11.6) из (11.9) следует, что т. е. значение критерия оптимальности равно значению в конечный момент времени Геометрически это означает следующее (рис. 11.9). В -мерном пространстве с координатами фазовая траектория проходит от точки расположенной в гиперплоскости до точки М, у которой фиксированы координаты (они определены конечной точкой траектории объекта). Точка М лежит на перпендикуляре, восстановленном из точки гиперплоскости и параллельном оси Требуется найти такое управление и (0, чтобы минимизировать конечное значение координаты

Найти оптимальное управление означает определить его тематическое описание, т. е. найти оператор в соответствии с которым формируется управляющее воздействие и. В большинстве случаев и формируется из фазовых координат объекта х (для чего вводится обратная связь), внешних воздействий с учетом принятого критерия оптимальности Управляющее воздействие и формируется с помощью управляющего устройства УУ (рис. 11.10).

Если граничные условия в задаче оптимального управления заданы начальной и конечной точками траектории (см. рис. 11.7), то имеем задачу с фиксированными концами. В том случае, когда одно или оба граничных условия заданы не точкой, а конечной областью или совсем не заданы, то имеем задачу со свободными концами или одним свободным концом. Примером задачи с одним свободным концом является задача устранения отклонения в системе автоматического управления, вызванного, например, скачкообразным изменением задающего или возмущающего воздействия.

Рис. 11.10. Функциональная схема оптимальной системы.

Важным частным случаем оптимального управления является задача об оптимальном быстродействии. Среди всех допустимых управлений под воздействием которых управляемый объект переходит из начального фазового состояния в заданное конечное состояние найти такое, для которого этот переход осуществляется кратчайшее время. В этом случае подынтегральная функция а критерий оптимальности принимает вид