Годограф вектора нормированного эквивалентного комплексного коэффициента усиления нелинейного элемента

В общем случае определяется следующим выражением:

или

где — модуль нормированного эквивалентного комплексного коэффициента усиления нелинейного элемента Ко

Поскольку для нелинейных элементов, имеющих неоднозначную характеристику с петлей гистерезиса, аргумент , то первая гармоника выходного колебания элемента сдвинута по фазе относительно колебания на входе. Для естественных нелинейностей (см., например, рис. 10.11, рис. 10.14, формулу всегда поэтому они вносят запаздывание колебаний по фазе, что приводит к уменьшению запаса устойчивости системы.

Как видно из формул (10.16) и (10.17), является комплексным числом и геометрически представляет собой вектор. Поскольку модуль и аргумент этого вектора являются функциями относительной амплитуды то при изменении конец вектора будет описывать кривую — годограф (рис. 10.15). Годограф вектора Ко называется нормированной эквивалентной амплитудно-фазовой характеристикой нелинейного элемента. Он

Рис. 10.15. Возможный вид годографа нормированного эквивалентного комплексного коэффициента усиления Ко нелинейного элемента.

Рис. 10.16. Годограф вектора нелинейного элемента с однозначной характеристикой (рис. 10.13, а).

позволяет определять амплитуду и фазу первой гармоники на выходе нелинейного элемента в зависимости от амплитуды входного колебания. Параметром годографа является относительная амплитуда

Эквивалентную АФХ можно строить в декартовой и полярной системах координат. При построении характеристики в декартовой системе координат по вещественной оси накладывают значения а по мнимой — как. показано на рис. 10.15. На этом же рисунке показано построение амплитудной характеристики в полярной системе координат.

В качестве примера построим годограф вектора релейного элемента с однозначной характеристикой и зоной нечувствительности (рис. 10.13) в соответствии с формулой (10.14).

Поскольку в рассматриваемом случае то годограф вектора совпадает с вещественной осью (рис. 10.16). Он занимает участок вещественной оси от 0 до 0, 637 соответственно при Каждой точке годографа соответствуют два значения

Эквивалентные АФХ типовых нелинейных элементов приводятся в литературе [57, 67].

Рассмотренный метод гармонической линеаризации является довольно простым и распространенным методом исследования нелинейных систем. Его универсальность состоит в том, что он применим к самым разнообразным нелинейностям. Однако следует иметь в виду, что метод гармонической линеаризации является приближенным методом исследования. Его недостаток состоит в том, что он не дггёт возможности количественно оценить погрешность, которая получается в результате отбрасывания высших гармоник. Эту погрешность можно оценить лишь качественно: чем выше порядок линейной части системы, т. е. чем более строго выполняется гипотеза фильтра, тем эффективнее в ней будут подавляться высшие гармоники и тем с большим правом имеется возможность ограничиться рассмотрением только первой гармоники выходного колебания нелинейного элемента.