Критерии оптимальности

Зная управляющее воздействие и можно из системы уравнений (11.2) или векторного уравнения (11.3), а при наличии возмущений из уравнения (11.4) однозначно определить движение объекта при если известно его начальное фазовое состояние при Если изменить управление и то движение фазовой точки будет происходить по другой траектории, т. е. для разных управлений получаем разные траектории, исходящие из одной точки (рис. 11.7). Поэтому перевод объекта из начального фазового состояния в конечное можно осуществить по разным фазовым траекториям в зависимости от управления. Среди множества траекторий существует наилучшая в определенном смысле, т. е. оптимальная траектория. Например, если поставлена задача минимального расхода топлива в течение интервала полета самолета, то следует подойти к выбору управления и соответствующей траектории именно с этой точки зрения. Удельный расход топлива зависит от развиваемой тяги — управляющего воздействия и . Интересуемый суммарный расход топлива — основной в данном случае показатель качества систем управления полетом самолета — определяется интегральным функционалом

Интегральный функционал (11.5), характеризующий основной показатель качества системы управления (в рассматриваемом примере расход топлива), называется критерием оптимальности. Каждому управлению и а следовательно, траектории полета самолета соответствует свое численное значение критерия оптимальности (11.5). Возникает задача выбора такого управления и и траектории движения при которых достигается минимальное значение критерия оптимальности.

Обычно используются критерии оптимальности, величина которых определяется не текущим состоянием объекта (в рассматриваемом примере удельным расходом топлива), а изменением его в течение всего процесса управления. Поэтому для определения критерия оптимальности требуется, как и в приведенном примере, интегрировать какую-либо функцию, величина которой в общем случае зависит от текущих значений фазовых координат х объекта и управляющего воздействия и, т. е. такой критерий оптимальности является интегральным функционалом вида

Рис. 11.7. Фазовые траектории движения объекта, соответствующие различным управляющим воздействиям.

Здесь — функция выходной величины х объекта и управляющего воздействия и, являющихся в общем случае векторами; длительность процесса управления. Согласно формуле (11.6), критерий оптимальности является числовой величиной, зависящей от функции .

Частным случаем критерия оптимальности (11.6) являются интегральные оценки качества переходных процессов:

Подынтегральная функция в этих критериях содержит только координаты объекта — установившееся хуст и текущее х значения выходной величины. Примером критерия, в котором подынтегральная функция содержит управление, является критерий (11.5), применяемый при минимизации расхода топлива, и интеграл

Квадрат управляющего воздействия (например, электрического тока, потребляемого объектом) определяет мощность, расходуемую при управлении объектом. Поэтому интеграл (11.8) будет мерой расхода энергии и применяется в задачах на минимизацию расходуемой энергии.

В тех случаях, когда фазовые координаты объекта представляют стационарные случайные функции, критерий оптимальности представляет собой интегральный функционал не во временной, а в частотной области. Такие критерии оптимальности используются при решении задачи оптимизации систем по минимуму дисперсии ошибки.

В простейших случаях критерий оптимальности может представлять собой не интегральный функционал, а просто функцию. Такой критерий используется при оптимизации конечного состояния объекта, например, в задаче минимизации отклонения (промаха) при наведении истребителя-перехватчика или ракеты на цель.

При решении поставленной выше задачи перевода объекта (процесса) из начального фазового состояния в конечное следует, очевидно, выбирать такое управление, для которого принятый критерий оптимальности — функционал — принимает наименьшее возможное значение.

Во многих случаях к системе управления предъявляются противоречивые требования (например, требования минимума расхода топлива и максимальной скорости полета самолета). При выборе управления, отвечающего одному требованию (критерию минимума расхода топлива), не будут удовлетворяться другие требования (максимальная скорость полета). Поэтому из всех требований выбирают одно основное, которое должно удовлетворяться наилучшим образом, а другие

требования учитываются в виде ограничений их значений. Например, при удовлетворении требования минимального расхода топлива ограничивается минимальное значение скорости полета самолета. Если имеются несколько равных показателей качества, которые не удается объединить в общий комбинированный показатель, выбор оптимальных управлений, соответствующих этим показателям в отдельности при ограничении остальных дает варианты решения, которые могут (при проектировании) помочь при выборе оптимального компромиссного варианта.

В общем случае ограничиваемые величины могут иметь, как и критерий оптимальности, вид функционалов от х и и, а соответствующие ограничения — вид неравенства