Дискретное преобразование Лапласа (D-преобразование)

Прямое D-преобразование. Обычное преобразование Лапласа — это преобразование Лапласа непрерывной функции

Дискретное преобразование Лапласа представляет собой преобразование Лапласа решетчатой функции. Символами дискретного преобразования Лапласа приняты Выражение дискретного преобразования Лапласа получается из формулы (8.25) заменой интеграла на сумму, непрерывной функции — решетчатой а времени — дискретным аргументом

Дискретное преобразование Фурье получим, подставив в формулу вместо

Рис. 8.25. Единичная ступенчатая решетчатая функция.

Для случая, когда в качестве аргумента непрерывной функции берется относительное время выражение для -преобразования

где — комплексное число, называемое параметром дискретного преобразования Лапласа; — относительная частота импульсов; — частота импульсов.

Дискретное преобразование для смещенных решетчатых функций имее вид;

Пример 4. Задана единичная ступенчатая решетчатая функция (рис. 8.25). Определить

Подставляя значение функции в формулу (8.28), получаем

Последнее выражение представляет собой бесконечную геометрическую прогрессию, первый член которой знаменатель прогрессии Сумма этой прогрессии при определяется по формуле

Таким образом,

В табл. 8.2 приведены -изображения некоторых функций. Теоремы и правила дискретного преобразования Лапласа, устанавливающие соответствие между операциями в области оригиналов и изображений [78], аналогичны теоремам и правилам для непрерывного преобразования Лапласа.