Статистический метод синтеза оптимальных параметров системы

Поставленная выше задача является общей задачей синтеза оптимальной системы. Рассмотрим частную задачу синтеза — задачу определения оптимальных параметров системы, имеющую также большое практическое значение. Постановка частной задачи синтеза состоит в следующем. Структурная схема системы задана. Требуется определить оптимальные значения некоторых параметров уже выбранной схемы системы, при которых среднее значение квадрата ошибки принимает минимальное значение

Решение этой задачи приведем на примере следящей системы. При поступлении на вход системы (см. рис. 7.5) задающего воздействия а и помехи средний квадрат ошибки системы в соответствии с формулой (7.19)

где

Рис. 7.11. Графическое определение .

Из формулы (7.76) видно, что ошибка системы состоит из двух составляющих. Одна из них вызывается задающим воздействием (система не может точно воспроизводить задающее воздействие даже при отсутствии помехи). Другая составляющая возникает в результате частичного воспроизведения системой помехи. Обычно при стремлении уменьшить первую составляющую (например, за счет повышения коэффициента усиления системы) увеличивается вторая составляющая ошибки (при повышении коэффициента усиления расширяется полоса пропускания системы, улучшаются условия прохождения высокочастотной помехи на выход системы) и наоборот. Таким образом, задача синтеза состоит в том, чтобы выбрать оптимальные параметры системы; при которых суммарная ошибка является минимально возможной.

Пусть требуется определить оптимальные значения двух параметров, например коэффициента усиления системы в разомкнутом состоянии и постоянной времени корректирующего устройства (см. формулу (7.26)).

Предварительно интегралы (7.34) и (7.35) приводятся к виду табличных интегралов (7.24) и вычисляются значения (см., например, формулы (7.40) и Как видно из формул, и являются функциями искомых параметров Для определения оптимальных значений соответствующих минимуму вычисляют частные производные по и приравнивают их нулю:

в результате получают два уравнения с двумя неизвестными, из которых определяют искомые оптимальные значения .

Чтобы убедиться в том, что получен минимум , а не максимум, при полученных значениях и при значениях, близких к ним. Дисперсия ошибки при других значениях должна оказаться больше.

Оптимальные значения параметров также можно определить графически. Задаваясь рядом значений параметра (например, вычисляют по формулам (7.40) и (7.45) значения Для наглядности строятся графики зависимости (рис. 7.11). Суммируя ординаты этих графиков, строят график зависимости из которого определяют оптимальное значение соответствующее График зависимости можно построить и не прибегая к построению отдельных графиков Аналогично определяются оптимальные значения и других яараметров.

Как уже отмечалось, если параметры системы выбраны из условия получения минимума СКО, то замкнутая система обычно имеет слабозатухающий переходный процесс. Поэтому после расчета оптимальных параметров необходимо определить показатели качества переходного процесса. Рациональное решение находится как компромиссное. Кроме того, при найденных оптимальных параметрах необходимо проверить, чтобы статические свойства системы также отвечали требованиям (коэффициент усиления был не меньше необходимого с точки зрения статики).

Пример 2. На вход следящей системы (рис. 7.12) поступают задающее воздействие и помеха спектральные плотности которых соответственно Определить оптимальное значение коэффициента усиления системы, при котором

В соответствии с формулой (7.19) дисперсия ошибки системы

Определяем передаточные функции

и их значения подставляем в формулу (7.48). Дисперсия составляющей ошибки, вызываемой

Из сравнения интеграла (7.49) с табличным интегралом (7.24) следует:

Находим табличный интеграл

и подставим его значение в формулу (7.49):

Дисперсия составляющей ошибки, вызываемой помехой

Из сравнения интеграла (7.51) с табличным интегралом (7.24) следует:

Рис. 7.12. Структурная схема следящей системы.

Рис. 7.13. К примеру графического определения оптимального значения .

Подставляя значение табличного интеграла в формулу (7.51), получаем

Дисперсия суммарной ошибки

Для определения находим производную по и приравниваем ее нулю:

откуда

Из формулы (7.53) видно, что чем больше удельный вес помехи во входном сигнале системы, тем имеет меньшее значение, а чем больше удельный вес полезного сигнала , тем больше . Для графического определения в соответствии с формулами (7.50) и (7.52) на рис. 7.13 построены графики рисунка видно, что с увеличением дисперсия составляющей ошибки, вызываемой задающим воздействием, уменьшается, а дисперсия составляющей ошибки, вызываемой помехой, увеличивается. Физическое объяснение этому явлению было даио раньше. Г рафик дисперсии суммарной ошибки получен сложением ординат, упоминаемых выше графиков. Из кривой находится коэффициент соответствующий