Теорема об n интервалах

Из рассмотренного примера следует, что для достижения максимального быстродействия необходимо на вход объекта подавать предельно допустимое управляющее воздействие, изменяющееся по релейному закону. Убедимся в этом на простейших примерах из физических соображений.

Пусть имеем апериодическое звено с передаточной функцией на входе которого управляющее воздействие и ограничено по величине значением . Такое звено может быть упрощенной математической моделью двигателя постоянного тока, на вход которого поступает напряжение, ограниченное значением а выходной величиной является угловая частота Требуется обеспечить изменение выходной величины (угловой скорости двигателя), например, от нуля до некоторого значения за минимальное время. Если то при нулевых начальных условиях изменение х (разгон двигателя) осуществляется по экспоненциальному закону

Ясно, что для достижения возможно быстрого изменения х необходимо на вход звена подать предельное значение сигнала и удерживать его значение до момента пока х не достигнет заданного значения (рис. 11.17, б). В момент времени следует мгновенно уменьшить и от до соответствующего установившемуся значению хст. Переходный процесс заканчивается в момент времени При длительность переходного процесса зависит от значения

При подаче на вход интегрирующего звена с передаточной фунм цией постоянного по величине воздействия и (рис. 11.18, а) выходная величина звена изменяется по линейному закону Для возможно быстрого изменения х от до следует, очевидно, на вход звена подать предельное значение управляющего воздействия и поддерживать его до момента когда х достигнет значения . В момент управляющее воздействие и необходимо скачком уменьшить от До 0 (рис. 11.18, б).

Рис. 11.17. Пример оптимального по быстродействию управления объектом, представляемым апериодическим звеном.

Рис. 11.18. Пример оптимального по быстродействию управления объектом, представляемым интегрирующим звеном.

Таким образом, если объект описывается уравнением первого порядка, то процесс управления в оптимальном по быстродействию переходном режиме состоит из одного интервала

Рассмотрим два апериодических звена, соединенных последовательно (рис. 11.19, а), управляющее воздействие и ограничено значением Такое соединение звеньев может представлять собой математическую модель электромашииного усилителя мощности модель двигателя постоянного тока, когда за выходную величину х принимается угловая частота его ротора и др.

Для возможно быстрого изменения х (разгона двигателя) от до следует, очевидно, на вход второго звена, как и в случае одного апериодического звена (см. рис. 11.17), подать скачком максимальный по своему значению сигнал щт. Однако сигнал снимается с выхода первого апериодического звена, поэтому вследствие инерционности этого звена не может быть изменен скачком от 0 до щт. Чтобы сигнал их был предельно близок по форме к оптимальному управляющему сигналу, на вход первого звена следует подавать скачком что обеспечивает максимально быстрый рост в направление его предельного значения (рис. 11.19, б). При достижении сигнал следов вало бы скачком уменьшить до значения соответствующего требуемой установившейся величине Однако изменить скачком нельзя из-за инерционности первого звена. Для возможно быстрого уменьшения до необходимо управляющее воздействие и предварительно, в момент времени когда х еще не достигло значения переключить с на и сохранить это значение до момента пока не снизится от значения в момент до значения и х не достигнет величины В момент времени следует и мгновенно

Рис. 11.19. Пример оптимального по быстродействию управления объектом, представляемым двумя апериодическими звеньями.

изменить до На этом переходный процесс заканчивается.

Таким образом, для достижения оптимального по быстродействию переходного процесса последовательного соединения двух звеньев первого порядка с вещественными отрицательными корнями характеристического уравнения процесс управления должен состоять из двух интервалов, в каждом из которых управляющее воздействие и принимает одно из двух своих предельных значений на первом интервале на втором интервале — Знак и в первом интервале совпадает со знаком конечного значения ист.

Аналогично можно показать, что в общем случае для достижения оптимальности по быстродействию последовательно соединенных линейных звеньев первого порядка, или линейного объекта порядна, с вещественными отрицательными или нулевыми корнями характеристического уравнения при наличии ограничения управляющего воздействия процесс управления должен состоять из интервалов, в кйждом из которых управляющее воздействие принимает свое предельное значение, т. е. закон оптимального управления является релейным. В конце каждого интервала происходит переключение знака управляющего воздействия. Знак и в первом интервале определяется направлением изменения управляемой величины

При ненулевых начальных условиях число интервалов управления может быть меньше Действительно, если, например, в момент начала процесса управления значения управляемой величины а: и ее производных оказались такими, как в конце интервала управления для случая нулевых начальных условий, то процесс управления будет состоять только из интервалов.

Приведенное положение о числе интервалов управления носит название теоремы об интервалах. Она была впервые сформулирована и доказана А. А. Фельдбаумом в

Докажем теорему об интервалах с помощью принципа максимума Понтрягина. Пусть объект описывается системой уравнений

или в векторной форме

где — управляющее воздействие; — соответствующие векторы. Функции считаем дифференцируемыми. Управляющее воздействие ограничено по величине

Согласно формуле (11.10) и учитывая, что гамильтониан

Так как от управляющего воздействия и зависит только второе слагаемое, то с учетом ограничения на и максимум Н будет при

т. е. оптимальное по быстродействию управление для общего случая нелинейного объекта, описываемого уравнением (11.25), имеет релейный характер.

Для линейного объекта уравнения (11.24) принимают вид

Сопряженные уравнения, согласно формуле (11.21),

Учитывая, что

сопряженные уравнения примут вид

Если все корни характеристического уравнения объекта, соответствующего дифференциальным уравнениям (11.28), вещественны, то и все корни характеристического уравнения, соответствующего сопряженным уравнениям (11.29), также вещественны. Решение уравнений (11.29) в этом случае имеет вид суммы экспоненциальных составляющих

где — вещественные числа (корни характеристического уравнения), — постоянные интегрирования (начальные значения экспонент).

В соответствии с формулой (11.27), оптимальное управление в случае линейного объекта определяется выражением

где

Поскольку сумма экспонент, входящих в формулу (11.31), может переходить через нуль не более раз, то число интервалов управления будет не более что и требовалось доказать.

В том случае, когда ограничено не только управляющее воздействие и, но еще и некоторые промежуточные переменные, число интервалов оптимального управления будет больше

где — порядок характеристического уравнения объекта, связывающего — порядок уравнений, связывающих х с соответствующими

Рис. 11.20. Пример оптимального по быстродействию управления объектом второго порядка при ограничении и и

промежуточными ограничениями по величине переменными.

Пусть, например, имеем объект второго порядка (см. рис. 11.19,а) и кроме задающего воздействия и ограничена еще промежуточная переменная и, значением Чтобы не превысила допустимого значения в момент и уменьшается от до та и значение и поддерживается до очередного момента изменения знака и. После этого начнет изменяться в другом направлении. Таким образом, создается новый интер-. вал управления с пониженным значением управляющего воздействия на объекта, вследствие чего длительность переходного процесса увеличивается по сравнению с отсутствием ограничения

Как видно из рис. 11.20, число интервалов управления в рассматриваемом случае что соответствует также значению полученному с помощью формулы (11.32):

Теорема об интервалах значительно облегчает нахождение оптимального управляющего воздействия, так как она исключает необходимость определения функций и их анализа.

Если характеристическое уравнение управляемого объекта содержит комплексные корни, то число переключений в зависимости от Начальных условий может быть любым, поэтому теорема об интервалах в этом случае не может быть использована [75].

С помощью оптимального по быстродействию управления возможно решение задачи не только быстрейшей отработки задания, но и устранения за минимальное время отклонения управляемой величины объекта, вызванного возмущающими воздействиями.