Понятие о разностях решетчатых функций и разностных уравнениях
Скорость изменения непрерывной функции 
определяется ее первой производной 
Скорость изменения решетчатой функции 
характеризуется ее первой разностью 
являющейся аналогом производной непрерывной функции.
Разность первого порядка (первая разность) решетчатой функции 
(рис. 8.24, а)
т. е. равна разности между последующей 
ординатами решетчатой функции (рис. 8.24, б).
Первая разность, как и производная, по существу равна отношению приращения функции к приращению аргумента, 
но так как 
то ее значение равно 
Разность второго порядка (вторая разность) 
(рис. 8.24, в) представляет собой разность между 
ординатами первой разности:
или, если раскрыть первые разности, то
Разность 
порядка определяется выражением
или непосредственно через значения решетчатой функции
где 
— биномиальные коэффициенты.
Пример 3. Для решетчатой функции 
(рис. 8.23, г) первая разность равна постоянной 
Вторая и высшие разности равны нулю.
Разностные уравнения. При исследовании непрерывных систем пользуются дифференциальными уравнениями, определяющими связь между непрерывной функцией и ее производными. При рассмотрении дискретных и, в частности, импульсных систем используются
Рис. 8.24. Решетчатая функция 
(а) и ее правая (б) и вторая (в) разности.
разностные уравнения, определяющие соотношения между дискретной функцией 
и ее разностями различных порядков 
где 
Разностными уравнениями описываются цифровые вычислительные устройства. В частности, разностные уравнения определяют их последовательность действия, т. е. программу.
Если линейное дифференциальное уравнение 
порядка записывается в виде
то линейное разностное уравнение с постоянными коэффициентами можно представить в форме
или
где 
— известная дискретная функция; 
— искомая дискретная функция, представляющая собой решение разностного уравнения.
Разностное уравнение 
порядка соответствует дифференциальному уравнению 
порядка. Дифференциальное уравнение можно рассматривать как предельное выражение для разностногоуравнения, когда период дискретности Т стремится к нулю. Решение разностного уравнения (8.23) или (8.24) можно найти с помощью различных методов, аналогичных методам решения дифференциальных уравнений. Более удобным методом решения разностных уравнений является операционный метод, основанный на дискретном преобразовании Лапласа.
