Спектральная плотность и дисперсия ошибки системы при воздействии полезного сигнала и помехи

Случай 1. Задающее воздействие и помеха приложены к одной точке — поступают на вход системы (рис. 7.5). Входной сигнал системы при этомф . В качестве примера можно привести радиолокационную следящую систему автоматического сопровождения цели, на вход которой поступает задающее воздействие (полезный сигнал, воспроизводящий закон движения цели) с наложенными

на него возмущающим воздействием (флюктуациями, вызываемыми непрерывным изменением коэффициента и центра отражения цели). Для решения поставленной задачи составим уравнение системы

где — передаточная функция замкнутой системы. В данном случае передаточная функция системы по возмущению (помехе) совпадает с

Из выражения (7.16) видно, что значение управляемой величины получается в результате сложения реакций системы на задающее и возмущающее воздействие соответственно. В отличие от случая, когда к системе приложено только задающее воздействие, здесь ошибка возникает не только в связи с изменением задающего воздействия, но вызывается также возмущающим воздействием. Ошибка системы определяется как разность между задающим воздействием (а не всем входным сигналом) и управляемой величиной и. следовательно,

Подставив значение в формулу (7.16), получим

откуда уравнение системы для ошибки

или

где — передаточная функция системы по ошибке; — составляющая ошибки, вызываемая задающим воздействием; — составляющая ошибки, вызываемая помехой.

В случае, когда некоррелированы, то, согласно формулам (7.7) и (7.18), спектральная плотность ошибки

Подставив полученное значение в формулу (7.13), получим значение дисперсии ошибки

или

где

дисперсия составляющей ошибки, вызываемой задающим воздействием

дисперсия составляющей ошибки, вызываемой помехой

Рис. 7.6. Структурная схема системы, в которой задающее а и возмущающее воздействия приложены к различным точкам.

Если — зависимые функции, то выражение для усложняется:

где — величины, комплексно сопряженные с — взаимные спектральные плотности.

Случай 2. Задающее и возмущающее воздействия приложены в различных точках системы (рис. 7.6). Уравнения элементов системы:

Найдя из первого уравнения и подставив во второе уравнение, получим уравнение системы для ошибки

или

где

Перепишем последнее выражение в виде

где - передаточная функция системы по ошибке; — передаточная функция системы по помехе.

В соответствии с формулой (7.7) спектральная плотность ошибки для случая некоррелированных

Подставив значения из формулы (7.21) в (7.13), получим дисперсию ошибки

где — составляющая дисперсии ошибки системы, вызываемая задающим воздействием

Рис. 7.7. К примеру определения среднеквадратической ошибки: а — спектральная плотность помехи; б — амплитудно-частотная характеристика системы по помехе.

- составляющая дисперсии ошибки, вызываемая помехой

Среднеквадратическое значение ошибки системы

Пример 1. Определить СКО системы, вызванной помехой. Помеха представляет собой «белый шум», спектральная плотность которого постоянна и равна (рис. 7.7, а), а модуль КПФ системы по помехе (7.7, б)

Спектральная плотность помехи на выходе системы, или спектральная плотность ошибки, вызванной помехой:

Среднее значение квадрата ошибки

Среднеквадратическое значение ошибки

системы, вызываемой «белым шумом», пропорционально квадратному корню из ширины полосы пропускаемых частот, т. е. чем больше полоса пропускания системы, тем больше влияние на ошибку оказывают помехи.

В приведенном примере рассмотрена система с весьма простой передаточной функцией и найдена ошибка только от помехи. Вычисление среднеквадратической ошибки реальных систем является более сложной задачей.