4.4. Интегральные оценки качества переходного процесса САУ

Если переходный процесс системы имеет монотонный затухающий характер (рис. 4.13, а), то переходная составляющая ошибки системы не изменяет своего знака (рис. 4.13, б) и стремится к нулю при . В этом случае для косвенной оценки качества системы может служить интеграл

называемый линейной интегральной оценкой качества. Очевидно, чем меньше интеграл (4.11), тем лучше качество переходного процесса. Интеграл может быть легко вычислен. Изображение по Лапласу ошибки

Из выражений (4.11) и (4.12) следует, что

т. е. для определения интеграла нужно вычислить лишь изображение по Лапласу ошибки при не решая дифференциального уравнения.

Если кривая переходного процесса имеет перерегулирование (рис. 4.13, в), когда ошибка изменяет свой знак (рис. 4.13, г), то с помощью линейной интегральной оценки нельзя судить о качестве системы. Действительно, интеграл может быть близок к нулю, когда система имеет слабозатухающий колебательный переходный процесс и практически непригодна к работе. Для косвенной оценки качества переходного процесса системы при колебательном переходном процессе

Рис. 4.13. Переходные процессы системы и соответствующие изменения а — монотонный; б — изменение в — колебательный; г - изменение

применяют квадратичные интегральные оценки, не зависящие от знаков ошибки. Интеграл

является квадратичной интегральной оценкой. Он пригоден для оценки качества как апериодических, так и колебательных процессов.

Интеграл также можно вычислять, не решая дифференциального уравнения системы. Как известно, изображение по Лапласу ошибки системы Изображение переходной составляющей ошибки где — изображение вынужденной составляющей ошибки. Если порядок астатизма системы больше порядка высшей производной задающего воздействия , то в соответствии с формулой и тогда

Поскольку при то для существует изображение Фурье (частотный спектр), определяемое формулой

Сравнивая выражения (4.16) и (4.12), замечаем, что

можно найти путем подстановки в изображение ошибки по Лапласу (4.15).

Функцию ошибки можно представить в виде интеграла Фурье

Исходя из равенства (4.18), можно записать

Учитывая, что есть величина, сопряженная с о (см. (4.16)), т. е. выражение (4.19) можно переписать в виде

или, если учесть, что аргумент произведения двух сопряженных ком плексных чисел равен нулю, то

Полученная формула называется формулой Рэйли.

Таким образом, для определения интеграла необходимо построить характеристику в функции со и найти площадь под этой характеристикой.

Квадратичная интегральная оценка может быть вычислена и другими методами. При определении по формуле, предложенной А. А. Красовским [32], наименьшее значение квадратичного интеграла соответствует наибольшему значению главного определителя Гурвица, составленного из коэффициентов характеристического уравнения замкнутой системы.

Если наряду с изменением ошибки системы учитывать и изменение ее производных, то о качестве системы можно судить по интегральной оценке

где Т — постоянная времени.

Качество переходного процесса системы будет тем выше, чем меньше величина интеграла, определяющего интегральную оценку. Так как интегральная оценка зависит от параметров системы, то возникает задача синтеза оптимальных параметров системы, при которых достигается минимальное значение интегральной оценки качества. Методика синтеза таких параметров аналогична методике синтеза оптимальных параметров, минимизирующих среднее значение квадрата ошибки (см. гл. 7). Недостатком интегральных оценок качества является то, что они не позволяют определять прямые показатели качества системы. Добиваясь путем выбора параметров системы минимума интегральной оценки, можно иногда получить переходный процесс с большим перерегулированием и большим временем регулирования. Данный недостаток относится главным образом к интегральным оценкам, не учитывающим изменения производных ошибки.