Уравнение замкнутой импульсной системы относительно изображений. Передаточные функции замкнутой импульсной системы

Чтобы получить уравнение замкнутой импульсной системы относительно изображений, подвергаем исходные уравнения (8.58) и (8.59) -преобразованию. При преобразовании уравнения замыкания (8.58) используем теорему сдвига. Преобразованное уравнение замыкания будет иметь вид:

Уравнение (8.59) в преобразованной форме было получено ранее (ем. выражение 8.46):

Если из уравнений (8.61) и (8.62) исключить то получим эравнение в изображениях относительно управляемой величины. Для утого значение из (8.61) подставляем в (8.62):

Из полученного уравнения определяем при

откуда находим

и подставляем его в уравнение (8.63):

После преобразования получим

Уравнение (8.64) является уравнением замкнутой импульсной системы в изображениях относительно управляемой величины. Из этого уравнения можно найти дискретную передаточную функцию импульсной системы . Учитывая, что на основании уравнения (8.64) получаем

Данная формула выражает дискретную передаточную функцию импульсной системы через дискретную передаточную функцию соответствующей ей разомкнутой импульсной системы. В частном случае, когда сигнал рассогласования не претерпевает скачков, дискретная передаточная функция Замкнутой импульсной системы определяется

выражением

При применении -преобразования дискретная передаточная функция замкнутой импульсной системы определяется формулой

в случае, когда сигнал, поступающий на импульсный элемент, претерпевает скачки, и выражением

при отсутствии скачков.

Если из уравнений (8.61) и (8.62) исключить , то получим уравнение замкнутой импульсной системы в изображениях относительно ошибки. Для этого из (8.61) находим

а из (8.62)

Подставляя значение из (8.68) в (8.67), получаем искомое уравнение

или

Из последнего уравнения можно найти дискретную передаточную функцию импульсной системы по ошибке

Если сигнал, поступающий на импульсный элемент системы, не претерпевает скачков, то

Как видим, передаточные функции замкнутой импульсной системы выражаются через передаточную функцию соответствующей ей разомкнутой системы с помощью формул, аналогичных известным нам формулам связи между передаточными функциями непрерывной замкнутой системы и передаточной функцией соответствующей ей разомкнутой системы:

Пример 7. Определить дискретную передаточную функцию замкнутой импульсной системы с двумя интеграторами (рис. 8.36). Импульсный элемент системы формирует прямоугольные импульсы .

Дискретная передаточная функция данной системы в разомкнутом состоянии была найдена раньше (см. выражение 8.57):

Рис. 8.36. Структурная схема замкнутой импульсной системы.

Определяем значение при

где

Подставив значения в выражение (8.65), получим дискретную передаточную функцию замкнутой импульсной системы:

или

где

Примерв. Определить дискретную передаточную функцию по ошибке импульсной системы, рассмотренной в примере 7.

Передаточную функцию системы по ошибке получим, подставив значение из (8.71) в (8.69):