1.4. Понятие о режимах работы систем автоматического управления. Линеаризация нелинейных дифференциальных уравнений

Различают два режима работы САУ: установившийся и неустановившийся (переходный). Основным требованием, предъявляемым к САУ, является обеспечение необходимой точности работы как в установившемся, так и в переходном режимах. Точность САУ в установившемся режиме можно определить по ее статической характеристике.

Статической характеристикой элемента (системы) называется зависимость между выходной и входной величинами элемента (системы) в установившемся режиме.

Наиболее часто встречающиеся статические характеристики элементов приведены на рис. 1.18.

Точные дифференциальные уравнения системы автоматического управления, в состав которой входит, например, один из нелинейных элементов, характеристики которых показаны на рис. 1.18, б-з, являются нелинейными. Исследование нелинейных уравнений связано со значительными трудностями. Поэтому стремятся их линеаризовать. Основанием для линеаризации является то обстоятельство, что в реальных САУ отклонения управляемой величины и других переменных от их установившихся значений являются незначительными. Метод линеаризации рассмотрим на конкретных примерах.

Пример 1. Пусть статическая характеристика элемента системы описывается нелинейной квадратичной функцией график которой показан на рис. 1.19, а и установившееся значение

Нелинейную функцию в точке а, соответствующей установившемуся режиму, можно разложить в ряд Тейлора:

При достаточно малых отклонениях от установившегося значения можно ограничиться первыми двумя членами разложения

Величина равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к кривой в точке а. Учитывая, что для рассматриваемой функции получим

где — коэффициент линеаризованного уравнения.

Перенеся начало координат в точку получим уравнение в отклонениях или, обозначая просто через Последнее уравнение является линейным уравнением для отклонений. Это уравнение представляет собой Уравнение прямой, касательной к исходной кривой в точке а.

Рис. 1.18. Статические характеристики элементов: а — линейная; б - з - нелинейные.

Рис. 1.19. К линеаризации функций: .

Пример 2. Выходное напряжение сельсинной пары, работающей в трансформаторном режиме, определяется нелинейной синусоидальной функцией где — угол рассогласования между роторами сельсина-датчика и сельсина-приемника. График функции показан на рис. 1.19, б.

Если сельсины в качестве измерительного элемента применяются в следящей системе, где в установившемся статическом режиме обычно то разложение нелинейной функции в ряд Тейлора необходимо произвести в точке, соответствующей началу координат, квых

Учитьшаи, что и что получим мвых или, обозначая через Последнее выражение является уравнением прямой, касательной к исходной кривой в начале координат.

Как видно из приведенных примеров, геометрически при линеаризации криволинейные характеристики заменяются прямыми, касательными к ним в исследуемой точке. При линеаризации нелинейные функции, имеющиеся в дифференциальных уравнениях, разлагаются в ряд Тейлора и члены выше первой степени отбрасываются.

Метод линеаризации применим в случае, если нелинейная функция в окрестности исследуемой точки является непрерывной и к кривой, изображающей функцию, можно провести здесь касательную. Метод линеаризации неприменим, если нелинейная функция имеет разрыв непрерывности в исследуемой точке, так как при этом частные производные отсутствуют и нельзя провести касательную или составить ряд Тейлора.