4.3. Частотный метод анализа качества переходных процессов систем автоматического управления

Обоснование возможности использования частотных характеристик САУ для построения кривой переходного процесса

В отличие от анализа устойчивости САУ, когда обычно исходят из ее частотных характеристик в разомкнутом состоянии, при анализе качества переходных процессов пользуются частотными характеристиками замкнутой системы. Зная частотную характеристику замкнутой системы можно определить ее выходную величину при подаче на вход гармонического воздействия. Действительно, если на вход следящей системы подано гармоническое задающее воздействие а комплексное изображение которого то в установившемся режиме комплексное изображение выходной величины

где — амплитуда и сдвиг по фазе выходных колебаний соответственно.

С помощью частотной характеристики замкнутой системы можно не только определить выходную величину системы в установившемся режиме при гармоническом входном воздействии, но и найтн реакцию системы в переходном процессе на произвольное воздействие Действительно, представляя это воздействие в зависимости от того, является оно периодической или непериодической функцией, в виде ряда или интеграла Фурье, т. е. в виде бесконечной суммы гармонических колебаний, можно по частотной характеристике определить реакцию системы на каждое из этих элементарных колебаний, а затем, просуммировав все реакции, найти результирующую реакцию в виде суммы или интеграла.

Найдем реакцию системы на единичную ступенчатую функцию (т. е. найдем переходную функцию системы), используя частотную характеристику системы. Как известно, интеграл Фурье для единичной ступенчатой функции имеет вид:

т. е. единичная ступенчатая функция может быть представлена как бесконечная сумма элементарных колебаний вида Каждому из этих колебаний соответствует выходное колебание а реакция системы на единичную ступенчатую функцию выражается суммой

Представляя в алгебраической форме и преобразуя выражение (4.9), получаем следующую формулу для переходной функции:

где — вещественная частотная характеристика (ВЧХ) замкнутой системы.

Полученное выражение связывает ВЧХ системы с ее переходной функцией. Таким образом, при частотном методе, анализа косвенной характеристикой качества является вещественная частотная характеристика замкнутой системы.