Синтез управляющего устройства замкнутой системы с помощью фазовой плоскости

Методику синтеза рассмотрим на конкретном примере Пусть управляемым объектом является двигатель постоянного тока, структурная схема которого изображена на рис. 11.15. Двигатель представляется последовательным соединением апериодического и

интегрирующего звеньев и описывается следующим дифференциальным уравнением:

Необходимо повернуть ротор двигателя из начального положения в конечное положение Значение управляющего напряжения ограничено

При решении данной задачи удобнее рассматривать не выходную координату, а ошибку системы В начале управления ошибка максимальна по мере поворота ротора к заданному углу она уменьшается и в заданной точке становится равной нулю. Таким образом, задача сводится к уменьшению ошибки (начального угла рассогласования) от величины при до величины за минимальное время.

Запишем уравнение (11.54) относительно ошибки

Найдем уравнения фазовых траекторий. Для этого перепишем уравнение второго порядка (11.55) в виде двух уравнений первого порядка:

Разделив первое уравнение системы (11.56) на второе, исключим из уравнений время:

Проинтегрируем выражение (11.57)

Отсюда

Уравнение (11.58) определяет семейство фазовых траекторий, каждая из которых зависит от начального значения ошибки.

Постоянную интегрирования С найдем, подставив в уравнение (11.58) начальные значения

откуда

Подставив данное значение С в (11.58), получим

Рис. 11.28. Семейство фазовых характеристик объекта.

Знак управляющего воздействия может изменяться не более одного раза. Запишем уравнение (11.59) с учетом знака

Обозначив запишем уравнение (11.60)

Подставив в уравнение начальное значение производной получим

На основании уравнения (11.62) строятся фазовые траектории в плоскости .

Пусть рад. Подставим численные значения коэффициентов в уравнение

Для первого участка траектории и уравнение (11.63) примет вид

В соответствии с уравнением (11.64) на рис. 11.28 построена фазовая траектория Она проходит через точку Семейство фазовых характеристик, соответствующих при других начальных значениях, на рисунке обозначено цифрой 1, а семейство характеристик, соответствующих цифрой 2.

В соответствии с фазовой траекторией ошибка системы от значения уменьшается. Однако, если не изменить знака а управляющего воздействия, то 0 пройдет через нулевое значение с некоторой скоростью у и будет возрастать до бесконечности

со скоростью Для устранения ошибки изображающая точка должна попасть в начало координат т. е. должна с фазовой траектории (или любой другой траектории) «перейти» на фазовую траекторию, проходящую через начало координат (направление движения изображающей точки указано стрелками). Уравнение последней получим, подставив в уравнение

или после подстановки значений коэффициентов

Уравнению (11.66) соответствует фазовая траектория MON. Эта траектория является единственной, по которой можно попасть в начало координат. Как отмечалось, в точках пересечения фазовых траекторий с траекторией MON изображающая точка должна переходить с этих фазовых траекторий на траекторию MON. Такой переход достигается переключением знака управляющего воздействия. В связи с этим траекторию MON называют линией переключения.

Если в начальный момент то в результате подачи управляющего воздействия изображающая точка пройдет путь в точке пересечения с траекторией обходимо переключить знак и. Под влиянием изображающая точка пройдет по траектории путь , т. е. переместится в начало координат. В общем случае, когда в начальный момент значение т. е. двигатель вращается, фазовая траектория может начинаться с любой точки фазового пространства (например, в точках и оптимальная траектория также будет состоять из двух отрезков кривых . В частном случае, когда в начальный момент изображающая точка находится на линии переключения MON, оптимальный процесс управления будет состоять из одного интервала.

Для определения оптимального закона управления (функции переключения), зависящего от используем линию переключения. Перепишем уравнение (11.65) линии переключения в виде

или, учитывая, что (фазовые траектории 1, соответствующие знаку пересекают траекторию MON при положительных значениях у и наоборот),

Из приведенных выше рассуждений следует, что если изображающая точка находится ниже линии переключения MON (левая часть уравнения (11.67) отрицательна) или на участке то управляющее воздействие должно быть отрицательным если же она находится выше этой линии (левая часть уравнения (11.67) положительна) или лежит на ее участке то управляющее воздействие должно быть положительным Поэтому оптимальный закон

Рис. 11.29. Реализация функции с помощью идеального двухпозиционного реле.

управления (функция переключения управляющего воздействия) будет иметь вид:

или

хюсле подстановки численных значений коэффициентов получим

т. е. полярность управляющего воздействия (напряжения и моменты его переключения при зависят от ошибки системы 0 и ее производной Поскольку для определения ошибки необходимо управляемую величину (см. рис. 11.15) подавать на элемент сравнения ЭС, то оптимальный закон управления (11.70) может быть реализован в замкнутых системах автоматического управления (см. рис. 11.26).

Обозначив выражение в квадратных скобках через перепишем формулу (11.70) в виде

откуда следует, что на управляемый объект УО должно подаваться максимальное напряжение знак которого соответствует

Рис. 11.30. Структурная схема оптимальной по быстродействию замкнутой системы автоматического управления.

знаку Функция переключения (11.71) может быть реализована с помощью идеального (без зоны нечувствительности) двухпозиционного поляризационного реле (рис. 11.29).

Оптимальное управляющее воздействие (11.70) формируется с помощью управляющего устройства У У (рис. 11.30). Сигнал получается на выходе сумматора 2 в результате сложения ошибки системы, ее производной и сигнала, формируемого в соответствии с третьим слагаемым выражения (11.70). Производная ошибки получается с помощью дифференциатора а третье слагаемое формулы (11.70) реализуется с помощью сравнительно сложной цепи преобразования, показанной на рис. 11.30.