Передаточные функции замкнутой системы

Передаточные функции замкнутой системы по отношению к задающему и возмущающему воздействиям. В замкнутой системе (рис. 2.9) управляемая величина через обратную связь подается на ее вход (на элемент сравнения). В общем случае к системе приложены задающее и возмущающее воздействия. Оба этих воздействия оказывают влияние на управляемую величину Поэтому при анализе замкнутой системы интересуют передаточные функции, связывающие с Для определения этих передаточных функций составим уравнение замкнутой системы. Рассмотрим случай, когда система имеет единичную обратную связь . В соответствии с рис. 2.9 имеем:

где — передаточные функции системы в разомкнутом состоянии и канала возмущения соответственно. Подставив значение из первого уравнения во второе, получаем уравнение системы в замкнутом состоянии:

откуда находим изображение управляемой величины

где

— составляющая управляемой величины, обусловленная действием задающего воздействия (полезная составляющая);

— составляющая управляемой величины, вызванная возмущающим воздействием (отклонение управляемой величины, вызванное

Из выражения (2.52) определяем передаточную функцию замкнутой системы, связывающую — передаточную функцию замкнутой системы по отношению к

Рис. 2.9. Структурная схема замкнутой САУ.

задающему воздействию (или просто передаточную функцию замкнутой системы):

Эта передаточная функция характерна для следящей и программной систем.

Из выражения (2.54) следует, что если в некоторой области значений то и поэтому т. е. система при воспроизводит задающее воздействие без заметных искажений.

В выражение (2.54) для передаточная функция входит как в знаменатель, так и в числитель. Поэтому изменение за счет изменения параметров прямой цепи системы мало влияет на Это подтверждает выгод, сделанный при рассмотрении принципов управления, что системы с обратной связью менее чувствительны к изменениям параметров элементов, включенных в их прямую цепь, чем разомкнутые системы. Этим преимуществом отчасти объясняется широкое распространение замкнутых САУ.

Замкнутая система и звено с единичной обратной связью имеют аналогичные структурные схемы, и их передаточные функции описываются аналогичными выражениями (2.46) и (2.54).

Если система (рис. 2.9) имеет неединичную обратную связь (в обратную связь включено звено с передаточной функцией ), то передаточная функция замкнутой системы имеет вид, аналогичный передаточной функции звена с неединичной обратной связью (2.45):

Из выражения (2.53) находим передаточную функцию, связывающую — передаточную функцию замкнутой системы по отношению к возмущающему воздействию (или просто передаточную функцию системы по возмущению):

Эта передаточная функция характерна для следящей системы, подверженной влиянию возмущающего воздействия, и для системы стабилизации.

Передаточные функции системы по ошибке. Целью исследования САУ является определение ее ошибки возникающей при изменении задающего и возмущающего воздействий, а также нахождение способов уменьшения этой ошибки. Поэтому исследование системы упрощается, если пользоваться передаточными функциями, непосредственно связывающими с Для определения этих передаточных функций составим уравнение замкнутой системы для ошибки.

Из первого уравнения (2.49) определяем и после подстановки во второе получаем уравнение системы для ошибки

Из этого уравнения находим изображение ошибки системы

где

— составляющая ошибки, вызываемая изменением задающего воздействия

— составляющая ошибки, вызываемая возмущающим воздействием

Из выражения (2.59) находим передаточную функцию, связывающую — передаточную функцию системы по ошибке, вызываемой задающим воздействием (или просто передаточную функцию системы по ошибке):

С помощью формулы (2.61) устанавливается связь между и передаточной функцией системы в разомкнутом состоянии Выразим через передаточную функцию замкнутой системы

Из выражения (2.61) следует, что если в некоторой области значений то а следовательно, и Передаточная функция характерна для следящих и программных систем.

Используя (2.60), получаем передаточную функцию системы связывающую т. е. передаточную функцию системы по ошибке, вызываемой возмущающим воздействием

Сравнивая выражения (2.53) и (2.60), находим, что т. е. составляющая управляемой величины, вызванная возмущающим воздействием есть отклонение возникшее в результате влияния этого воздействия. Из выражений (2.56) и (2.63) следует, что