Передаточные функции замкнутой системы
Передаточные функции замкнутой системы по отношению к задающему и возмущающему воздействиям. В замкнутой системе (рис. 2.9) управляемая величина
через обратную связь подается на ее вход (на элемент сравнения). В общем случае к системе приложены задающее
и возмущающее
воздействия. Оба этих воздействия оказывают влияние на управляемую величину
Поэтому при анализе замкнутой системы интересуют передаточные функции, связывающие
с
Для определения этих передаточных функций составим уравнение замкнутой системы. Рассмотрим случай, когда система имеет единичную обратную связь
. В соответствии с рис. 2.9 имеем:
где
— передаточные функции системы в разомкнутом состоянии и канала возмущения соответственно. Подставив значение
из первого уравнения во второе, получаем уравнение системы в замкнутом состоянии:
откуда находим изображение управляемой величины
где
— составляющая управляемой величины, обусловленная действием задающего воздействия (полезная составляющая);
— составляющая управляемой величины, вызванная возмущающим воздействием
(отклонение управляемой величины, вызванное
Из выражения (2.52) определяем передаточную функцию замкнутой системы, связывающую
— передаточную функцию
замкнутой системы по отношению к
Рис. 2.9. Структурная схема замкнутой САУ.
задающему воздействию (или просто передаточную функцию замкнутой системы):
Эта передаточная функция характерна для следящей и программной систем.
Из выражения (2.54) следует, что если в некоторой области значений
то
и поэтому
т. е. система при
воспроизводит задающее воздействие без заметных искажений.
В выражение (2.54) для
передаточная функция
входит как в знаменатель, так и в числитель. Поэтому изменение
за счет изменения параметров прямой цепи системы мало влияет на
Это подтверждает выгод, сделанный при рассмотрении принципов управления, что системы с обратной связью менее чувствительны к изменениям параметров элементов, включенных в их прямую цепь, чем разомкнутые системы. Этим преимуществом отчасти объясняется широкое распространение замкнутых САУ.
Замкнутая система и звено с единичной обратной связью имеют аналогичные структурные схемы, и их передаточные функции описываются аналогичными выражениями (2.46) и (2.54).
Если система (рис. 2.9) имеет неединичную обратную связь (в обратную связь включено звено с передаточной функцией
), то передаточная функция замкнутой системы имеет вид, аналогичный передаточной функции звена с неединичной обратной связью (2.45):
Из выражения (2.53) находим передаточную функцию, связывающую
— передаточную функцию замкнутой системы по отношению к возмущающему воздействию (или просто передаточную функцию системы по возмущению):
Эта передаточная функция характерна для следящей системы, подверженной влиянию возмущающего воздействия, и для системы стабилизации.
Передаточные функции системы по ошибке. Целью исследования САУ является определение ее ошибки
возникающей при изменении задающего
и возмущающего
воздействий, а также нахождение способов уменьшения этой ошибки. Поэтому исследование системы упрощается, если пользоваться передаточными функциями, непосредственно связывающими
с
Для определения этих передаточных функций составим уравнение замкнутой системы для ошибки.
Из первого уравнения (2.49) определяем
и после подстановки во второе получаем уравнение системы для ошибки
Из этого уравнения находим изображение ошибки системы
где
— составляющая ошибки, вызываемая изменением задающего воздействия
— составляющая ошибки, вызываемая возмущающим воздействием
Из выражения (2.59) находим передаточную функцию, связывающую
— передаточную функцию системы по ошибке, вызываемой задающим воздействием (или просто передаточную функцию системы по ошибке):
С помощью формулы (2.61) устанавливается связь между
и передаточной функцией системы в разомкнутом состоянии
Выразим
через передаточную функцию замкнутой системы
Из выражения (2.61) следует, что если в некоторой области значений
то
а следовательно, и
Передаточная функция
характерна для следящих и программных систем.
Используя (2.60), получаем передаточную функцию системы
связывающую
т. е. передаточную функцию системы по ошибке, вызываемой возмущающим воздействием
Сравнивая выражения (2.53) и (2.60), находим, что
т. е. составляющая
управляемой величины, вызванная возмущающим воздействием
есть отклонение
возникшее в результате влияния этого воздействия. Из выражений (2.56) и (2.63) следует, что