2.6. Уравнения динамики систем автоматического управления

Уравнение динамики системы в разомкнутом состоянии

Уравнение динамики разомкнутой системы, связывающее между собой входное воздействие (в разомкнутой системе в и выходную величину системы можно найти либо из уравнений ее элементов исключением промежуточных переменных, либо из выражения для передаточной функции разомкнутой системы. Если передаточная функция системы в разомкнутом состоянии

то уравнение движения этой системы в разомкнутом состоянии будет иметь вид:

Если в выражении (2.76) для полиномы написать в развернутом виде, то общий вид передаточной функции разомкнутой системы, имеющий астатизм порядка, следующий;

а общий вид уравнения этой системы в разомкнутом состоянии:

или в дифференциальной форме:

где — порядок полинома знаменателя передаточной функции разомкнутой системы; — порядок полинома

В реальных системах поэтому порядок уравнения разомкнутой системы равен

Уравнения динамики замкнутой системы

Уравнение динамики замкнутой системы находим либо из уравнений динамики ее элементов исключением промежуточных переменных (см., например, уравнение (2.49)), либо из передаточной функции замкнутой системы.

Передаточная функция замкнутой системы (см. рис. 2.9), как было показано (см. формулу (2.54)), равна

Учитывая, что получим

откуда уравнение замкнутой системы

Для примера найдем уравнение замкнутой системы с астатизмом первого порядка, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии имеет вид:

где

Передаточная функция системы в замкнутом состоянии

где откуда уравнение замкнутой системы в операционной форме

Записывая полиномы в выражении для в развернутом виде, получим следующий вид передаточной функции замкнутой системы, имеющей астатизм порядка,

где — коэффициенты, равные сумме коэффициентов а полинома полинома при одинаковых степенях . В соответствии с (2.81) общий вид уравнения замкнутой системы

Уравнение замкнутой системы можно также получить из уравнения разомкнутой системы подстановкой

При анализе САУ иногда удобнее пользоваться уравнением динамики системы для ошибки. Это Уравнение может быть получено либо

из уравнений звеньев системы исключением промежуточных переменных (см., например, уравнение (2.57)), либо с помощью передаточной функции по ошибке. В соответствии с формулой (2.61) передаточная функция по ошибке откуда уравнение системы для ошибки

Из формулы (2.63) находим уравнение системы для ошибки

Уравнения динамики разомкнутой и замкнутой САУ используются для исследования динамических свойств, в частности, для определения устойчивости САУ (см. гл. 3).