Передаточная функция замкнутой системы (см. рис. 2.9), как было показано (см. формулу (2.54)), равна
Учитывая, что
получим
откуда уравнение замкнутой системы
Для примера найдем уравнение замкнутой системы с астатизмом первого порядка, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии имеет вид:
где
Передаточная функция системы в замкнутом состоянии
где
откуда уравнение замкнутой системы в операционной форме
Записывая полиномы
в выражении для
в развернутом виде, получим следующий вид передаточной функции замкнутой системы, имеющей астатизм
порядка,
где
— коэффициенты, равные сумме коэффициентов
а полинома
полинома
при одинаковых степенях
. В соответствии с (2.81) общий вид уравнения замкнутой системы
Уравнение замкнутой системы можно также получить из уравнения разомкнутой системы подстановкой
При анализе САУ иногда удобнее пользоваться уравнением динамики системы для ошибки. Это Уравнение может быть получено либо
из уравнений звеньев системы исключением промежуточных переменных (см., например, уравнение (2.57)), либо с помощью передаточной функции по ошибке. В соответствии с формулой (2.61) передаточная функция по ошибке
откуда уравнение системы для ошибки
Из формулы (2.63) находим уравнение системы для ошибки
Уравнения динамики разомкнутой и замкнутой САУ используются для исследования динамических свойств, в частности, для определения устойчивости САУ (см. гл. 3).