3.3. Частотные критерии устойчивости

Частотные критерии устойчивости основаны на использовании частотных характеристик. Разработаны следующие частотные критерии устойчивости: критерий устойчивости Михайлова, амплитудно-фазовый критерий устойчивости (критерий Найквиста — Михайлова), логарифмический частотный критерий. Основное преимущество частотных критериев устойчивости перед алгебраическими критериями заключается в том, что частотные характеристики можно получить экспериментально. Это, как уже отмечалось, важно в тех случаях, когда трудно составить уравнения динамики (например, для систем с распределенными параметрами). Кроме того, частотные характеристики позволяют сравнительно просто определить влияние того или иного параметра на устойчивость, а также дают возможность судить о переходном процессе системы. Из частотных критериев устойчивости рассмотрим амплитудно-фазовый и логарифмический.

Амплитудно-фазовый критерий устойчивости (критерий устойчивости Найквиста—Михайлова)

Амплитудно-фазовый критерий устойчивости, первоначально разработанный в 1932 г. X. Найквистом для исследования усилителей с отрицательной обратной связью, в 1936 г. был обоснован, обобщен и впервые применен в теории автоматического управления А. В. Михайловым. Критерий Найквиста — Михайлова позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по виду АФЧХ системы в разомкнутом состоянии. Различают формулировки критерия для случаев, когда система в разомкнутом состоянии устойчива и неустойчива.

Для первого случая критерий устойчивости формулируется ,

Рис. 3.3. Амплитудно-фазовые частотные характеристики САУ: а — статистических; б - астатических,

следующим образом: система автоматического управления, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчива в замкнутом состоянии, если АФЧХ разомкнутой системы не охватывает точку на комплексной плоскости с координатами

На рис. 3.3 показаны АФЧХ статических и астатических систем. Амплитудно-фазовые характеристики 1 не охватывают критическую точку, поэтому системы с такими характеристиками устойчивы. Амплитудно-фазовые частотные характеристики 2 охватывают точку поэтому системы 2 неустойчивы. Амплитудно-фазовые частотные характеристики 3 проходят через критическую точку; соответствующие системы находятся на границе устойчивости.

Приведем доказательство критерия. Если передаточная функция системы в разомкнутом состоянии то передаточная функция замкнутой системы где Рассмотрим функцию

т. е. отношение характеристического полинома замкнутой системы к характеристическому полиному разомкнутой системы. Числитель и знаменатель выражения (3.8) можно представить так:

где — корни характеристического уравнения замкнутой системы; — корни характеристического уравнения разомкнутой системы. Подставляя вместо в последнее выражение, получим

При разработке критерия устойчивости задача состоит в определении условий, при которых все корни характеристического уравнения замкнутой системы лежат слева мнимой оси комплексной плоскости. На комплексной плоскости каждый из корней изображается точкой (см. рис. 3.2) или вектором, проведенным из начала координат в соответствующую точку (рис. 3.4, а). Текущая координата

Рис. 3.4. Векторное изображение на комплексной плоскости корней характеристического уравнения, текущих координат сомножителей и определение угла поворота вектора при изменении от 0 до

геометрически также изображается вектором, направленным из начала координат вдоль мнимой оси. Каждый сомножитель или являющийся разностью двух векторов, представляет собой также вектор, начало которого находится в точке, соответствующей корню или а конец — в точке на мнимой оси При изменении концы разностных векторов будут перемещаться вдоль мнимой оси, а сами векторы поворачиваться. Принято считать поворот вектора против часовой стрелки положительным. При изменении от до каждый разностный вектор числителя и знаменателя начало которого (т. е. соответствующий корень) лежит в левой полуплоскости, повернется на угол в каждый вектор, начало которого находится в правой полуплоскости, — на . На практике ограничиваются изменением от 0 до При этом, если — корень действительный отрицательный, то при изменении от 0 до вектор повернется на угол Если среди корней имеются два комплексных корня расположенных, например, как показано на рис. при изменении от 0 до вектор повернется на угол , а вектор на угол Сумма углов поворота этих двух векторов равна

Таким образом, можно считать, что при изменении со от 0 до каждый разностный вектор числителя и знаменателя поворачивается на или в зависимости от того, где лежит соответствующий корень.

Поскольку функции равны произведению элементарных векторов, то и сами эти функции являются векторами, аргументы которых равны сумме аргументов соответствующих разностных векторов:

Результирующее изменение при изменении от 0 до зависит от расположения соответствующих корней на

комплексной плоскости. Предположим, что разомкнутая система устойчива (устойчивость разомкнутой системы часто можно определить без всяких вычислений непосредственно по схеме системы; например, разомкнутая система, состоящая из устойчивых звеньев и не содержащая местных обратных связей, заведомо устойчива). В этом случае корни находятся в левой полуплоскости и изменение аргумента (поворот характеристического вектора разомкнутой системы) при изменении от 0 до равно где степень характеристического уравнения разомкнутой системы

Изменение аргумента при изменении от 0 до в общем случае равно где — число корней в правой полуплоскости.

Изменение аргумента равно разности изменений аргументов числителя и знаменателя:

Система будет устойчива, если , т. е. если

Вектор при изменении от 0 до опишет угол, равный нулю, лишь в том случае, если годограф этого вектора не охватывает начала координат (рис. 3.5, а).

От годографа легко перейти к годографу к АФЧХ разомкнутой системы. Действительно, выражение для можно записать в следующем виде:

где — комплексная передаточная функция разомкнутой системы. Геометрически последнее выражение иллюстрируется на рис. 3.5, а.

Таким образом, годограф вектора представляет АФЧХ разомкнутой системы, но сдвинутую вправо на единицу. Поскольку удобнее пользоваться амплитудно-фазовой частотной характеристикой, не годографом вектора то перенесем ось координат вправо на единицу, как показано на рис. Изменение аргумента при изменении от 0 до будет равно нулю, если точка находится вне амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы.

Отсюда следует формулировка частотного случая критерия устойчивости Найквиста — Михайлова: система автоматического управления,

Рис. 3.5. Годограф вектора (а) и АФЧХ разомкнутой системы (б).

Рис. 3.6. АФЧХ устойчивых и неустойчивых систем, имеющих I корней характеристического уравнения в правой полуплоскости: а — устойчивой системы ; б - устойчивой системы в — неустойчивой системы

устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчива в замкнутом состоянии, если АФЧХ разомкнутой системы не охватывает критическую точку

Если система в разомкнутом состоянии неустойчива (например, имеются звенья, охваченные положительной обратной связью), то при определенных условиях замкнутая система может быть устойчивой. В этом случае изменение аргумента характеристического вектора разомкнутой системы при изменении от 0 до равно где I — число корней характеристического уравнения разомкнутой системы в правой полуплоскости.

Если замкнутая система устойчива, то тогда т. е. система автоматического управления, неустойчивая в разомкнутом состоянии и имеющая

1 корней в правой полуплоскости, будет устойчива в замкнутом состоянии, если АФЧХ разомкнутой системы охватывает критическую точку раз в положительном направлении при изменении частоты от 0 до На рис. 3.6, а, б, в показаны АФЧХ устойчивых и неустойчивых систем для различных I.

Системы, неустойчивые в разомкнутом состоянии, включают в себя неустойчивые звенья. Рассмотрим неустойчивые апериодическое и колебательное звенья.

Неустойчивое апериодическое звено описывается передаточной функцией или КПФ где звена изображена на рис. 3.7, а.

Неустойчивое колебательное звено имеет передаточную функцию откуда КПФ

где

ЛФЧХ звена изображена на рис. 3.7, б.

Понятие об условной устойчивости многокоитурных систем. Правило о числе переходов амплитудно-фазовых частотных характеристик. Для повышения точности в системы включают различные корректирующие

Рис. 3.7. АФЧХ неустойчивых звеньев: а — апериодического; б - колебательного.

устройства. Амплитудно-фазовые частотные характеристики таких систем могут иметь сложную форму. Часто АФЧХ пересекают вещественную ось и справа и слева от критической точки (рис. 3.8). Такие системы с клювообразной АФЧХ называются систе-. мами условно устойчивыми, или системами Второго рода (обычные системы называют системами первого рода).

Система, устойчивая в разомкнутом состоянии, АФЧХ которой в разомкнутом состоянии не охватывает точку устойчива в замкнутом состоянии. Вывести данную систему из устойчивости, в отличие от системы первого рода, можно не только увеличением коэффициента усиления разомкнутой системы, но и его уменьшением.

При определении устойчивости систем с клювообразными и более сложными по форме АФЧХ практически удобнее пользоваться правилом о числе переходов, вытекающим из критерия устойчивости.

Рассмотрим наиболее распространенный случай, когда САУ в разомкнутом состоянии устойчива. Будем считать переход АФЧХ через вещественную ось снизу вверх отрицательным, а сверху вниз — положительным. Направление движения по АФЧХ при этом принимаем совпадающим с направлением возрастания . С учетом сделанного замечания правило о числе переходов можно сформулировать следующим образом: система автоматического управления, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчива в замкнутом состоянии, если разность между числами положительных и отрицательных переходов АФЧХ разомкнутой системы через отрезок вещественной оси равна нулю.

Физический смысл амплитудно-фазового критерия устойчивости. Физический смысл амплитудно-фазового критерия для систем первого рода, устойчивых в разомкнутом состоянии, можно объяснить следующим образом. Система автоматического управления обычно (см., например, рис. 2.4) содержит апериодические, колебательные и интегрирующие звенья, которые вносят запаздывание колебаний по фазе. Запаздывания, вносимые апериодическим и колебательным звеньями, согласно выражениям для аргументов комплексных передаточных функций этих звеньев:

с увеличением частоты увеличиваются. Из-за этого колебания на выходе разомкнутой системы (рис. 3.9, а) будут отставать по фазе относительно колебаний на входе. С увеличением частоты, согласно

Рис. 3.8. АФЧХ условно устойчивой системы

Рис. 3.9. Структурная схема и формы колебаний на входе и выходе разомкнутой системы

приведенным выражениям, это отставание увеличивается и на определенной частоте колебания будут отставать от колебаний на 180° (рис. . Колебания на выходе отрицательной обратной связи (рис. 3.9, а) на этой частоте будут совпадать по фазе с колебаниями на входе системы (рис. 3.9, в). Благодаря этому на частоте обратная связь из отрицательной превращается в положительную.

Если на частоте сол модуль разомкнутой системы равен или больше единицы т. е. если амплитуда выходных колебаний системы будет равна амплитуде колебаний на входе или больше ее, то при замыкании системы в ней возникнут соответственно либо незатухающие, либо возрастающие колебания, т. е. система будет неустойчива.

Если модуль т. е. если при прохождении через прямой канал системы сигнал ослабляется и амплитуда колебания на выходе будет меньше, чем на входе то колебания в замкнутой системе затухнут, так как на вход системы с выхода обратной связи каждый раз будет поступать колебание все меньшей амплитуды. Система в этом случае будет устойчива.

Запас устойчивости по модулю и по фазе. Система находится на границе устойчивости, если Под коэффициентом запаса устойчивости по модулю понимают отношение

где — расстояние между началом координат и точкой пересечения с вещественной осью (рис. 3.10, а). Коэффициент а показывает, во сколько раз можно увеличить модуль разомкнутой системы, чтобы замкнутая система пришла к границе устойчивости. При система устойчива, при — находится на границе устойчивости, при — неустойчива.

Иногда коэффициент запаса устойчивости по модулю выражают в децибелах:

Рис. 3.10. К определению запаса устойчивости по модулю: а — АФЧХ устойчивой системы; б — изменение АФЧХ и запаса устойчивости

О системы с изменением

Обычно для нормальной работы требуется, чтобы дБ. При таком запасе устойчивости изменения параметров системы, как правило, не приводят к потере ее устойчивости.

Модуль как было показано выше, пропорционален коэффициенту усиления разомкнутой системы

а ее аргумент не зависит от Поэтому АФЧХ системы при увеличении не изменяя своей формы, пропорционально расширяется, а при уменьшении сжимается, как показано на рис. Это значит, что при увеличении может измениться так, что будет охватывать критическую точку т. е. система может перейти в неустойчивый режим.

Для характеристики степени устойчивости недостаточно знать только запас устойчивости по модулю. Например, возможен случай, что АФЧХ (рис. 3.11) пересекает вещественную ось далеко от критической точки, а следовательно, система имеет большой запас устойчивости по модулю а, но затем АФЧХ проходит близко к этой точке. Последнее свидетельствует о малой степени устойчивости системы. Для более полной характеристики устойчивости системы введено понятие запаса устойчивости по фазе.

Для выяснения запаса устойчивости по фазе системы, имеющей показанную на рис. 3.12, проведем окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Частота в точке ее пересечения с называется частотой среза сос. Проведем вектор в эту точку. Модуль т. е. на частоте выполняется условие самовозбуждения системы по амплитуде. Изменим АФЧХ так, чтобы система перешла к границе устойчивости При этом вектор единичной длины повернется по часовой стрелке на угол до совпадения с отрицательной вещественной осью и аргумент т. е. будет выполняться условие самовозбуждения по фазе. Угол у между вектором КПФ, модуль которого равен единице, и отрицательной вещественной осью называется запасом устойчивости по фазе.

Таким образом, запас устойчивости по фазе характеризует отличие фазового угла разомкнутой системы на частоте среза от

Рис. 3.11. АФЧХ системы, имеющей достаточный запас устойчивости по модулю, но малую степень устойчивости.

Рис. 3.12. К определению запаса устойчивости по фазе.

критического значения угла , при котором удовлетворяется фазовое условие самовозбуждения системы. Обычно обеспечивается запас устойчивости по фазе При таком значении V возможные изменения параметров системы, как правило, не приводят к потере ее устойчивости.

Для определения того, устойчива система или нет, не обязательно строить всю АФЧХ, а достаточно найти точку пересечения АФЧХ с вещественной осью. Для этого необходимо из уравнения определить частоту, при которой АФЧХ пересекает вещественную ось, и подставить ее в выражение для (здесь — мнимая и вещественная частотные характеристики разомкнутой системы).