ГЛАВА 3. Устойчивость систем автоматического управления

3.1. Понятие и условие устойчивости САУ

Определение устойчивости САУ

Следящая система (рис. 1.14, а) находится в состоянии равновесия, когда ее ошибка Это состояние может быть устойчивым или неустойчивым. Если после некоторого изменения задающего воздействия (поворота ведущего вала на угол система в результате затухающего переходного процесса (рис. 2.1, а, б) снова приходит в состояние равновесия то это состояние равновесия является устойчивым и система называется устойчивой. Когда после незначительного изменения задающего воздействия (отклонения системы от равновесного состояния) система не стремится в первоначальное состояние равновесия, а в ней возникают незатухающие колебания управляемой величины (рис. 2.1, в, г) или же изменение будет независимым от то состояние равновесия в данной системе является неустойчивым и система называется неустойчивой.

Наглядное представление об устойчивом и неустойчивом равновесных состояниях дает рассмотрение системы шар — поверхность. Шар, помещенный во впадине (рис. 3.1, а), находится в устойчивом равновесном состоянии, так как после его отклонения под влиянием внешнего воздействия он возвратится в свое первоначальное состояние. Система шар — поверхность является устойчивой. Шар, расположенный на верхней точке возвышенности (рис. , находится в неустойчивом равновесном положении: достаточно незначительного отклонения от

Рис. 3.1. К понятию устойчивости равновесных состояний системы шар—поверхность: а — устойчивое состояние; б — неустойчивое состояние; в — состояние, устойчивое при малых и неустойчивое при больших отклонениях.

этого состояния, и шар скатится по склону поверхности и не возвратится в исходное положение. Рассматриваемая система неустойчива.

Таким образом, под устойчивостью понимается свойство системы возвращаться в прежнее состояние равновесия после вывода ее из этого состояния и прекращения изменения задающего или влияния возмущающего воздействия.

Только устойчивая система является работоспособной. Поэтому одной из основных задач теории автоматического управления является исследование устойчивости САУ. Основы строгой теории устойчивости динамических систем были разработаны акад. А. М. Ляпуновым в работе «Общая задача об устойчивости движения» (1892 г.). Понятия об устойчивости, вытекающие из этой работы, заключаются в следующем.

Если система описывается линейным дифференциальным уравнением, то ее устойчивость не зависит от величины возмущения. Линейная система, устойчивая при малых возмущениях, будет устойчива и при больших. Нелинейные же системы могут быть устойчивы при малых возмущениях и неустойчивы при больших. Примером такой нелинейной системы являются стенные часы. Если неподвижному маятнику сообщить слабый толчок, то маятник, совершив несколько качаний, остановится, т. е. система устойчива при малых возмущениях. Если же маятнику сообщить более сильный толчок, то последний у заведенных часов начинает совершать незатухающие колебания. Следовательно, система неустойчива при больших возмущениях. Наглядное представление о нелинейных системах, устойчивых при малых и неустойчивых при больших возмущениях, дает рассмотрение шара, помещенного во впадине, расположенной на вершине выпуклого тела (рис. 3.1, в). При малых отклонениях, не превышающих края впадины, шар возвращается в исходное положение, т. е. система шар—поверхность устойчива. При отклонениях за край впадины шар не возвращается в исходное положение — система неустойчива. Поэтому для нелинейных систем устойчивость исследуется отдельно для случая малых возмущений, т. е. устойчивость в малом, и устойчивость при больших возмущениях, т. е. устойчивость в большом.

Согласно теореме Ляпунова, об устойчивости нелинейных систем при малых возмущениях можно судить по их линеаризированным уравнениям, достаточно точно описывающим поведение систем при малых отклонениях от состояния равновесия. Для определения устойчивости нелинейных систем при больших возмущениях необходимо пользоваться исходными нелинейными уравнениями динамики. В большинстве практических случаев системы, устойчивые при малых отклонениях, оказываются устойчивыми и при достаточно больших отклонениях, возможных в процессе эксплуатации, и поэтому вопрос об устойчивости этих систем может быть решен на основании исследования линеаризованных уравнений.

Проблема устойчивости обычно возникает в замкнутых САУ из-за влияния обратной связи. Поэтому в дальнейшем устойчивость исследуется на примерах замкнутых систем, хотя методы исследования устойчивости универсальны.