4.5. Анализ точности САУ в установившихся режимах с помощью коэффициентов ошибок
Как отмечалось, ошибка САУ в установившемся режиме является одним из показателей качества системы. В случае медленно изменят ющихся задающего или возмущающего воздействий ошибку системы в установившемся режиме удобно определять с помощью коэффициентов ошибок.
Ошибка следящей системы
вызываемая изменением задающего воздействия а
в соответствии с (2.61), может быть определена
с помощью передаточной функции системы по ошибке
Предположим, что
можно разложить в степенной ряд относительно
сходящийся, по крайней мере, при малых значениях
Тогда, согласно (4.22), можно записать
Этот ряд сходится в окрестности точки
Поэтому будет сходиться и оригинал ряда (4.24) при
т. е. ряд, в который можно разложить ошибку системы в установившемся режиме:
Отсюда видно, что в общем случае ошибка системы в установившемся режиме состоит из ряда слагаемых, пропорциональных как входному сигналу
так и его производным. Слагаемые, входящие в ряд ошибок, обычно называют так:
— ошибкой по положению (по сигналу);
— ошибкой, вызываемой скоростью;
— ошибкой, вызываемой ускорением задающего воздействия и т.д., а постоянные
— коэффициентами ошибок. Ошибки в установившихся режимах, вызываемые изменяющимся задающим воздействием, называются динамическими. Зная коэффициенты ошибок и закон изменения задающего воздействия а
с помощью формулы (4.25) можно определить ошибку системы в установившемся режиме.
Коэффициенты ошибок выразим через параметры системы. Передаточная функция системы по ошибке связана с передаточной функцией
разомкнутой системы выражением
Учитывая, что передаточная функция системы с астатизмом
порядка в разомкнутом состоянии имеет вид
где
передаточная функция по ошибке в соответствии с выражением (4.26) будет равна:
где
коэффициенты с равны сумме коэффициентов
при одинаковых степенях
При
(статическая система):
При
(астатическая система с астатизмом
порядка):
На основании (4.23) и (4.27) можно записать
откуда
Раскрывая скобки в правой части полученного выражения и приравнивая коэффициенты правой и левой частей при одинаковых степенях
можно получить систему уравнений, из которой затем можно определить коэффициенты ошибок через коэффициенты с и о уравнения САУ. Значения коэффициентов ошибок будут различными для систем с различными порядками астатизма. Найдем сначала коэффициенты ошибок для статической системы
Приравнивая члены левой и правой частей выражения (4.31) при одинаковых степенях
и учитывая, что
получаем следующую систему уравнений:
из которой можно определить коэффициенты ошибок для статической системы. Из первого уравнения находим
или, если принять во внимание, что
а также, что для случая
в соответствии с формулой
то
Из второго уравнения находим
Аналогично можно определить и другие коэффициенты ошибок.
Таблица 4.3. (см. скан) Коэффициенты ошибок статической и астатических систем
Коэффициенты ошибок астатической системы с астатизмом первого порядка могут быть найдены из системы уравнений, полученной из выражения (4.31) приравниванием коэффициентов его левой и правой частей при одинаковых степенях
при учете, что
Из первого уравнения
из второго уравнения с учетом (4.29):
Аналогично определяются остальные коэффициенты ошибок.
В табл. 4.3 приводятся несколько первых коэффициентов ошибок Для статической и астатических систем первого и второго порядков астатизма. В качестве примера определим установившиеся ошибки САУ, обладающих различными порядками астатизма при разных задающих воздействиях.
Пример 3. Задающее воздействие изменяется по закону ступенчатой функции а
(табл. 4.4). Определить установившиеся ошибки в следящих системах, имеющих порядок астатизма
1. Определяем производные