Условие устойчивости САУ

Ответить на вопрос, будет ли устойчива данная система, можно, решив линеаризованное дифференциальное уравнение замкнутой системы:

Полное решение уравнения можно представить суммой вынужденной и переходной составляющих:

Вынужденная составляющая, представляющая собой частное решение уравнения, является полезной составляющей управляемой величины и характеризует установившийся режим системы. Переходная составляющая является решением однородного дифференциального уравнения и характеризует переходный режим. Эта составляющая, как уже указывалось (см., например, рис. 1.3), по существу представляет ошибку системы в переходном режиме (отклонение системы от равновесного состояния, и поэтому явлйется нежелательной составляющей управляемой величины. Очевидно, что система будет устойчивой, если переходная составляющая в ней с течением времени затухает, т. е.

Если же при не стремится к нулю, а возрастает или изменяется по закону незатухающих колебаний, то система неустойчива. Таким образом, для определения устойчивости необходимо выявить только характер изменения переходной составляющей решения, т. е. достаточно исследовать однородное уравнение замкнутой системы:

Переходная составляющая (решение однородного уравнения) в случае некратных корней может быть представлена в виде следующей суммы:

где — начальное значение компоненты переходной составляющей (постоянная интегрирования); корень характеристического уравнения однородного уравнения замкнутой системы (3.3):

Чтобы система была устойчивой, решение (3.4) должно удовлетворять требованию

Рис. 3.2. Примеры расположения корней характеристического уравнения замкнутой системы на комплексной плоскости: а — устойчивой: неустойчивой; в — находящейся на границе устойчивости.

Из формулы (3.4) видно, что затухание т. е. устойчивость системы, зависит от значения корней характеристического уравнения замкнутой системы (3.5). Пусть среди них будет корней вещественных и комплексно-сопряженных. Тогда решение (3.4) можно записать в виде:

Выясним, как влияют значения корней на первую и вторую суммы формулы (3.7) при Если все вещественные корни отрицательны то каждая составляющая первой суммы в формуле (3.7) представляет затухающую экспоненту и поэтому

Если вещественные части а? всех комплексных корней отрицательны, то каждое слагаемое второй суммы (3.7) описывает затухающее колебание и поэтому

Отсюда можно сделать вывод, что если все вещественные корни и все вещественные части комплексных корней отрицательны (все корни находятся в левой полуплоскости комплексной плоскости корней, рис. и система будет устойчива. Если хотя бы один из вещественных корней или вещественная часть пары комплексных корней окажется положительной (рис. 3.2, б), то система будет неустойчивой, так как соответствующие этим корням составляющие в решении и с течением времени будут неограниченно возрастать. Если вещественная часть хотя бы одного корня равна нулю, а вещественные части остальных корней отрицательны (рис. 3.2, в), то система находится на границе устойчивости.

Таким образом, условием устойчивости системы автоматического управления является отрицательность вещественных частей всех корней ее характеристического уравнения (расположение всех корней характеристического уравнения в левой полуплоскости комплексной плоскости корней).

Корни характеристического уравнения замкнутой системы, как видно из (3.5), не зависят ни от вида задающего воздействия, ни от начальных условий, а определяются только соотношением коэффициентов левой части уравнения системы, т. е. параметрами самой

системы (постоянными времени звеньев, их коэффициентами усиления). Исследование устойчивости САУ может выполняться с целью определения как устойчивости системы при данных значениях ее параметров, так и некоторой области значений параметров, при которых система остается устойчивой.

Рассмотренное выше условие устойчивости для линейных систем является справедливым и для малых, и для больших возмущений. Для нелинейных систем, исследование которых производится с помощью линеаризованных уравнений, приведенное условие устойчивости справедливо для малых возмущений.

Понятие о критериях устойчивости САУ

Как было показано выше, исследование устойчивости системы сводится к определению знаков вещественных частей корней характеристического уравнения замкнутой системы. Знаки корней могут быть определены путем решения характеристического уравнения замкнутой системы. Но решение уравнений четвертой и более высоких степеней затруднительно. Поэтому применяются косвенные методы анализа устойчивости, которые дают ответ об устойчивости системы без определения корней характеристического уравнения. Такие методы называются критериями устойчивости.