Приближенный метод построения переходной функции с помощью вещественных трапецеидальных частотных характеристик

В основе метода косвенного анализа лежит приведенное выше выражение связывающее вещественную частотную характеристику системы переходной функцией

Рис. 4.7. ВЧХ (а) и ее разложение на трапецеидальные составляющие (б).

Рис. 4.8. Типовая прямо» угольная ВЧХ.

. Приближенность метода состоит в том, что точная вещественная частотная характеристика заменяется ломаной.

Пусть дана вещественная частотная характеристика, изображенная на рис. 4.7, а. Заменим кривую достаточно близкой к ней ломаной абвгдеж. Такая замена позволяет представить в виде суммы нескольких прямоугольных трапеций. При разложении ВЧХ на прямоугольные трапеции должно соблюдаться правило: алгебраическая сумма ординат трапеций при любой частоте должна быть близка к ординате ВЧХ при той же частоте. Разложение ВЧХ на прямоугольные трапеции показано на рис. Каждой трапеции соответствует переходная функция Результирующая переходная функция может быть найдена как сумма переходных функций составляющих где — число трапеций.

Таким образом, задача определения переходной функции в системе, обладающей вещественной частотной характеристикой любой формы, сводится к определению переходной функции, соответствующей типовой характеристике, имеющей форму прямоугольной трапеции (рис. 4.8). Прямоугольная трапеция характеризуется следующими параметрами: начальной ординатой частотой положительности коэффициентом наклона где — частота, определяющая длину горизонтального участка характеристики.

Для упрощения построения находят сперва переходный процесс, соответствующий не данной, а единичной прямоугольной трапеции. Последняя имеет параметры а коэффициент наклона

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

может быть любым в пределах от 0 до 1. Переходная функция соответствующая единичной трапецеидальной характеристике, называется -функцией. Значения -функций для различных коэффициентов х трапеции сведены в табл. 4.1.

Для построения кривой переходного процесса соответствующего прямоугольной трапецеидальной характеристике с начальной ординатой частотой положительности и коэффициентом наклона необходимо: 1) из таблицы выписать данные для -функции, соответствующей единичной трапецеидальной характеристике с коэффициентом наклона согласно свойствам каждый из интервалов времени определенный по таблице -функций, разделить на а каждую ординату -функции умножить на

Пересчет масштабов по осям абсцисс и ординатам удобнее всего выполнить, записывая данные в таблицу следующего вида:

Для получения переходной функции системы на общем графике строятся кривые переходных процессов, соответствующих всем прямоугольным трапециям, на которые была разбита вещественная частотная характеристика системы, и суммируются ординаты всех кривых. Кривые строятся с учетом знака начальных ординат

Пример 2. Построить переходную функцию следящей системы, ВЧХ которой имеет вид, изображенный на рис. 4.9, а.

Замейяем кривую ВЧХ ломаной абвгде и в соответствии с последней разбиваем ВЧХ на четыре прямоугольные трапеции (рис. 4.9, б). Для каждой трапеции из рисунка определяем параметры.

Трапеция 1:

Трапеция 2:

Таблица 4.2. Данные для построения переходной функции, соответствующей прямоугольной трапеции 1

Рис. 4.9. К построению переходной функции следящей системы: а - ВЧХ системы; б - разложение ВЧХ на прямоугольные трапецеидальные характеристики

Рис. 4.10. Переходная функция следящей системы и ее составляющие.

Трапеция 3:

Трапеция 4:

Из табл. 4.1 выписываем в табл. 4.2 данные для -функции единичной трапецеидальной характеристики с коэффициентом наклона X, равным коэффициенту наклона первой трапеции Данные пересчета масштабов по осям абсцисс и ординат также записываем в эту таблицу. По данным табл. 4.2 строим кривую (рис. 4.10). Аналогичным образом записываются в таблицы данные для трапеций 2—4 и строятся соответствующие кривые Просуммировав ординаты всех кривых с учетом знаков ординат, получим результирующую кривую переходного процесса системы.