10.5. Частотный критерий абсолютной устойчивости равновесия В. М. Попова

Исследование абсолютной устойчивости может быть выполнено при помощи второго метода Ляпунова. Однако более просто эта задача решается с помощью связанного с ним частотного метода, предложенного румынским ученым В. М. Поповым.

Рассмотрим нелинейную систему, состоящую из устойчивой линейной части с передаточной функцией и одного безынерционного нелинейного элемента с однозначной характеристикой (рис. 10.6).

Пусть в передаточной функции линейной

Рис. 10.6. Структурная схема нейной системы.

Рис. 10.7. Вид преобразованной АФЧХ системы:

части где

многочлен имеет все корни в левой полуплоскости или, кроме них, не более двух корней находятся в начале координат (имеют нулевые значения). Иначе говоря, допускается, чтобы в выражении коэффициент или т. е. кроме статической система может быть астатической первого или второго порядка астатизма. Пусть нелинейность имеет любое очертание, не выходящее за пределы заданного угла (см. рис. 10.5), т. е. при любом

Приведем критерий Попова без доказательства. Представим комплексную передаточную функцию линейной части системы в алгебраической форме

Представим, что вместо нелинейного элемента включен линейный элемент с коэффициентом усиления . В этом случае КПФ системы в разомкнутом состоянии

В соответствии с критерием устойчивости Найквиста-Михайлова для устойчивости замкнутой системы необходимо, чтобы АФЧХ (10.2) не охватывала точку Этот критерий можно сформулировать по другому: для устойчивости замкнутой системы необходимо, чтобы АФЧХ (10.1) не охватывала точку Введем теперь преобразованную КПФ линейной части

где отличается от только мнимой частью.

Заметим, что если то АФЧХ имеет такой же вид, что и АФЧХ (рис. 10.7, а). Если же то АФЧХ при заканчивается на отрицательной части мнимой оси (рис. 10.7, б).

Критерий устойчивости В. М. Попова формулируется следующим образом: для абсолютной устойчивости равновесия системы с устойчивой линейной частью и одним безынерционным нелинейным элементом

Рис. 10.8. Преобразованные АФЧХ нелинейных систем: а, б — состояние равновесия абсолютно устойчиво; в, г — системы не обладают абсолютной устойчивостью состояния равновесия.

характеристика которого лежите секторе достаточно, чтобы на плоскости преобразованной АФЧХ через точку можно было провести прямую (прямую Попова) так, чтобы преобразованная АФЧХ линейной части лежала справа от этой прямой.

На рис. 10.8, а, б показаны случаи выполнения критерия абсолютной устойчивости, а на рис. 10.8, в, г — случаи, когда системы не обладают абсолютной устойчивостью состояния равновесия.

Выше рассмотрен случай, когда характеристика нелинейного элемента находится в опрёделенном секторе и коэффициент имеет конечное значение. Если нелинейная характеристика располагается во всем первом (и третьем) квадранте, то, согласно рис. 10.5, имеем Поэтому точка будет совпадать с началом координат и для абсолютной устойчивости состояния равновесия системы прямая Попова должна проходить через начало координат.

Пример 1. Исследовать абсолютную устойчивость состояния равновесия нелинейной системы, структурная схема которой изображена на рис. 10.9. Определить значение при котором возможна абсолютная устойчивость.

В соответствии с рис. 10.9 комплексная передаточная функция линейной части

где

Преобразованную КПФ линейной части получим, умножив мнимую на :

где

Преобразованная АФЧХ построенная в соответствии с выражением (10.5), изображена на рис. 10.10. Из рисунка видно, что АФЧХ линейной части лежит в нижней части полуплоскости и что можно провести к ней касательную 1 в начале координат под углом к вещественной оси, т. е.

Рис. 10.9. Структурная схема нелинейной системы (к примеру).

Рис. 10.10. Преобразованная АФЧХ нелинейной системы (к примеру).

Поскольку преобразованная АФЧХ лежит справа от касательной (прямой Попова) и касательная проходит через начало координат, то система обладает абсолютной устойчивостью равновесия при Естественно, при конечных значениях система также обладает абсолютной устойчивостью, так как в этом случае через любую точку можно провести прямую Попова, лежащую левее преобразованной АФЧХ (например, прямую 2 на рис. 10.10).