8.8. Анализ качества импульсных САУ
Поведение импульсной системы в переходном режиме характеризуется показателями качества — перерегулированием, временем регулирования, временем установления, числом колебаний. Показатели качества могут быть определены из кривой переходной функции системы, являющейся реакцией системы на единичное ступенчатое воздействие.
Построение переходных процессов в замкнутой импульсной системе
Кривая переходного процесса импульсной системы может быть определена с помощью различных методов: решением разностных уравнений (см. формулу (8.60)), нахождением дискретного изображения выходной величины системы и переходом от него к оригиналу, с помощью частотных методов. Рассмотрим метод определения выходной величины по ее дискретному изображению.
Построение переходных процессов в замкнутой импульсной системе по их дискретным изображениям. Передаточная функция замкнутой импульсной системы, как известно (см. формулу 8.65), определяется выражением
откуда изображение выходной величины системы:
где
— изображение входного сигнала, или для случай, когда сигнал, поступающий на импульсный элемент, не претерпевает скачков:
Для определения реакции системы
(кривой переходного процесса) на данный входной сигнал необходимо выполнить обратное z-преобразование, т. е. найти оригинал функции по ее z-изображению. На практике нашли применение следующие методы определения оригинала функции по ее z-изображению:
— непосредственное определение оригинала по таблицам преобразования. Применяется в случае, когда z-изображение имеет сравнительно простое выражение;
— определение оригинала путем разложения z-изображения на элементарные дроби и нахождение по таблицам оригиналов, соответствующих этим элементарным дробям. Сумма составляющих оригиналов представляет собой искомый оригинал;
— метод разложения z-изображения в степенной ряд по степеням
этот метод рассмотрим более подробно.
Определение переходных процессов методом разложения их z-изображений в степенной ряд. В общем случае z-изображение выходной величины системы можно представить в виде отношения полиномов
где
соответствии с формулой (8.36) z-преобразования можно также записать:
Значения коэффициентов
степенного ряда при
соответствуют значениям выходной величины системы в дискретные моменты времени
е. Поэтому для определения дискретных значений переходного процесса системы необходимо определить коэффициенты степенного ряда. Определить искомые коэффициенты через параметры системы и входное воздействие можно путем приравнивания правых частей выражений (8.78) и (8.79):
откуда
Раскрыв скобки в правой части выражения и приравнивая коэффициенты левой и правой частей при одинаковых степенях 2, получим систему уравнений, из которой затем определим искомые ординаты. Как отмечалось,
. Обозначим
откуда
где
— порядковый номер ординаты, с которого значения ординат отличны от нуля, а ординаты
. С учетом данного замечания, приравнивая коэффициенты правой и левой частей выражения (8.80) при одинаковых степенях
получим следующую систему уравнений:
и т. д., из которой можно определить дискретные значения кривой переходного процесса системы.
Из первого уравнения находим дискретное значение величины в момент времени
Из второго уравнения определяем
Из третьего уравнения получаем
или в сокращенной форме записи
По аналогии с (8.82) значение выходной величины в момент времени
можно определить с помощью следующего рекуррентного соотношения [16]:
Полученное выражение позволяет определить кривую переходного процесса не только в дискретные моменты квантования (при
но и в промежутках между ними, если придавать
значения от 0 до 1. С помощью этого выражения можно определять реакцию системы на воздействие произвольной формы.
Для определения переходной функции системы на ее вход подают единичное ступенчатое воздействие, z-изображение которого
В этом случае
-изображение реакции (переходной функции) системы
Пример 10. Рассчитать переходную функцию замкнутой импульсной системы автоматического сопровождения цели по дальности с двумя интеграторами (рис. 8.36), передаточная функция которой в замкнутом состоянии определяется выражением (8.73):
где
при следующих параметрах системы:
z-Изображение переходной функции системы в соответствии с выражением (8.85)
Рис. 8.40. Кривая переходного процесса импульсной системы (рис. 8.36),
где
Для расчета переходной функции воспользуемся рекуррентным соотношением (8.83). Для рассматриваемого примера, как видно из выражения (8.86); высшие показатели степеней знаменателя I и числителя k z-изображения переходной функции равны
поэтому рекуррентное соотношение примет вид
Дискретные значения переходной функции системы в соответствии с последним выражением:
Кривая переходного процесса, построенная по расчетным данным, изображена на рис. 8.40. Из рисунка видно, что перерегулирование
а время регулирования
.