8.8. Анализ качества импульсных САУ

Поведение импульсной системы в переходном режиме характеризуется показателями качества — перерегулированием, временем регулирования, временем установления, числом колебаний. Показатели качества могут быть определены из кривой переходной функции системы, являющейся реакцией системы на единичное ступенчатое воздействие.

Построение переходных процессов в замкнутой импульсной системе

Кривая переходного процесса импульсной системы может быть определена с помощью различных методов: решением разностных уравнений (см. формулу (8.60)), нахождением дискретного изображения выходной величины системы и переходом от него к оригиналу, с помощью частотных методов. Рассмотрим метод определения выходной величины по ее дискретному изображению.

Построение переходных процессов в замкнутой импульсной системе по их дискретным изображениям. Передаточная функция замкнутой импульсной системы, как известно (см. формулу 8.65), определяется выражением

откуда изображение выходной величины системы:

где — изображение входного сигнала, или для случай, когда сигнал, поступающий на импульсный элемент, не претерпевает скачков:

Для определения реакции системы (кривой переходного процесса) на данный входной сигнал необходимо выполнить обратное z-преобразование, т. е. найти оригинал функции по ее z-изображению. На практике нашли применение следующие методы определения оригинала функции по ее z-изображению:

— непосредственное определение оригинала по таблицам преобразования. Применяется в случае, когда z-изображение имеет сравнительно простое выражение;

— определение оригинала путем разложения z-изображения на элементарные дроби и нахождение по таблицам оригиналов, соответствующих этим элементарным дробям. Сумма составляющих оригиналов представляет собой искомый оригинал;

— метод разложения z-изображения в степенной ряд по степеням этот метод рассмотрим более подробно.

Определение переходных процессов методом разложения их z-изображений в степенной ряд. В общем случае z-изображение выходной величины системы можно представить в виде отношения полиномов

где соответствии с формулой (8.36) z-преобразования можно также записать:

Значения коэффициентов степенного ряда при соответствуют значениям выходной величины системы в дискретные моменты времени е. Поэтому для определения дискретных значений переходного процесса системы необходимо определить коэффициенты степенного ряда. Определить искомые коэффициенты через параметры системы и входное воздействие можно путем приравнивания правых частей выражений (8.78) и (8.79):

откуда

Раскрыв скобки в правой части выражения и приравнивая коэффициенты левой и правой частей при одинаковых степенях 2, получим систему уравнений, из которой затем определим искомые ординаты. Как отмечалось, . Обозначим откуда где — порядковый номер ординаты, с которого значения ординат отличны от нуля, а ординаты . С учетом данного замечания, приравнивая коэффициенты правой и левой частей выражения (8.80) при одинаковых степенях получим следующую систему уравнений:

и т. д., из которой можно определить дискретные значения кривой переходного процесса системы.

Из первого уравнения находим дискретное значение величины в момент времени

Из второго уравнения определяем

Из третьего уравнения получаем

или в сокращенной форме записи

По аналогии с (8.82) значение выходной величины в момент времени можно определить с помощью следующего рекуррентного соотношения [16]:

Полученное выражение позволяет определить кривую переходного процесса не только в дискретные моменты квантования (при но и в промежутках между ними, если придавать значения от 0 до 1. С помощью этого выражения можно определять реакцию системы на воздействие произвольной формы.

Для определения переходной функции системы на ее вход подают единичное ступенчатое воздействие, z-изображение которого

В этом случае -изображение реакции (переходной функции) системы

Пример 10. Рассчитать переходную функцию замкнутой импульсной системы автоматического сопровождения цели по дальности с двумя интеграторами (рис. 8.36), передаточная функция которой в замкнутом состоянии определяется выражением (8.73):

где

при следующих параметрах системы:

z-Изображение переходной функции системы в соответствии с выражением (8.85)

Рис. 8.40. Кривая переходного процесса импульсной системы (рис. 8.36),

где

Для расчета переходной функции воспользуемся рекуррентным соотношением (8.83). Для рассматриваемого примера, как видно из выражения (8.86); высшие показатели степеней знаменателя I и числителя k z-изображения переходной функции равны поэтому рекуррентное соотношение примет вид

Дискретные значения переходной функции системы в соответствии с последним выражением:

Кривая переходного процесса, построенная по расчетным данным, изображена на рис. 8.40. Из рисунка видно, что перерегулирование а время регулирования .