2.5. Передаточные функции статических и астатических САУ

Передаточные функции по ошибке статических и астатических САУ

САУ в зависимости от ошибки в установившемся режиме при постоянном возмущающем (задающем) воздействии делятся на статические и астатические. Выясним, какие передаточные функции присущи тем и другим системам. Поскольку ошибки, вызываемые задающим и возмущающими воздействиями в одной и той же системе в общем случае различны (см., например, (2.59) и (2.60)), то рассматривают свойство астатизма системы по отношению к конкретному воздействию

В следящих системах интересуются, в первую очередь астатизмом по отношению к задающему воздействию, а в системах стабилизации по отношению к основному возмущающему воздействию. Для примера рассмотрим следящую систему и исследуем вопросы астатизма по отношению к задающему воздействию.

В следящей системе составляющая ошибки вызываемая задающим воздействием а определяется с помощью формулы (2.59). Запишем эту формулу в следующем виде:

где — передаточная функция системы по ошибке. В соответствии с теоремой операционного исчисления о конечном значении оригинала

Система будет статической по отношению к если она будет иметь ошибку в установившемся режиме, т. е. если и астатической, если в установившемся режиме ошибка системы равна нулю, т. е. если при условии, что задающее воздействие представляет собой ступенчатую функцию

Выясним, каким требованиям должна удовлетворять передаточная функция по ошибке, чтобы система была статической или астатической по отношению к задающему воздействию, изменяющемуся по закону ступенчатой функции. Подставим изображение ступенчатой функции а в формулу (2.65):

Из выражения (2.66) можно сделать следующие выводы.

1. Система будет статической, если

т. е. если числитель передаточной функции будет иметь свободные, не зависящие от члены. Для замкнутой системы это соответствует случаю, когда в ней нет интегрирующего звена, т. е. передаточная функция системы в разомкнутом состоянии имеет вид где — полином от в котором не является общим множителем и поэтому имеет свободные от члены. Например, для системы, содержащей два апериодических звена, , т. е. содержит свободный от член, равный единице, и поэтому

Передаточная функция системы по ошибке в этом случае равна

С учетом (2.68)

т. е. выполняется условие (2.67), и поэтому замкнутая система без интегрирующего звена действительно является статической.

2. Система будет астатической (ошибка в установившемся режиме равна нулю), если т. е. если передаточная функция по ошибке имеет нуль какого-либо порядка при

Передаточная функция будет иметь нуль первого порядка, если в замкнутой системе содержится одно интегрирующее звено. Действительно, передаточная функция системы с интегрирующим звеном в разомкнутом состоянии а передаточная функция системы по ошибке

где

Из формулы для следует:

т. е. передаточная функция по ошибке при имеет нуль первого порядка.

Если замкнутая система имеет два интегрирующих звена, то ее передаточная функция в разомкнутом состоянии а передаточная функция по ошибке

т. е. передаточная функция по ошибке при имеет нуль второго, порядка.

Система имеет астатизм порядка, если передаточная функция системы по ошибке имеет нуль порядка при Так, у замкнутой системы с одним интегрирующим звеном имеет нуль вого порядка при , следовательно, система является астатической с астатизмом первого порядка; система с двумя интегрирующими звеньями имеет астатизм второго порядка и т. д. Если у замкнутой системы нет интегрирующего звена, то она имеет астатизм нулевого порядка и будет статической.

Примером следящей системы с астатизмом первого порядка является система, принципиальная и структурная схемы которой изображены на рис. 1.14, а и рис. 2.4 соответственно, а передаточная

функция в разомкнутом состоянии описывается формулой (2.47). В прямой цепи этой системы имеется одно интегрирующее звено, входящее в математическую модель двигателя.

Выше было описано, каким требованиям удовлетворяют передаточные функции по ошибке статических и астатических систем по отношению к задающему воздействию. Очевидно, что аналогичным требованиям должны удовлетворять и передаточные функции по ошибке относительно возмущающего воздействия (см., например, формулу статических и астатических систем по отношению к этому воздействию. Повышения порядка астатизма системы по отношению к возмущающему воздействию также можно добиться включением интегрирующих звеньев в замкнутую систему. Однако место их включения в этом случае зависит от места приложения возмущающего воздействия.

Одним из способов реализации требуемого порядка астатизма является включение в прямую цепь замкнутой системы интегрирующих звенье. Другим способом повышения порядка астатизма относительно задающего и возмущающего воздействий является введение компенсационных каналов по задающему и возмущающему воздействиям.