Определение моментов переключения управляющего воздействия при оптимальном по быстродействию управлении линейными объектами

В соответствии с теоремой об интервалах оптимальное по быстродействию управление объектом -пор с отрицательными вещественными или нулевыми корнями характерисгического уравнения состоит из интервалов, в каждом из которых управляющее воздействие

принимает свое предельное значение а знаки этого воздействия в конце интервалов переключаются.

Для технической реализации управляющего устройства, с помощью которого вырабатывается оптимальное по быстродействию управляющее воздействие и, необходимо знать предельное значение этого воздействия моментов (включая момент окончания управления) переключения Предельное значение определяется с учетом предельно допустимых эксплуатационных режимов управляемого объекта. Более сложной задачей является определение моментов переключения управляющего воздействия, которые зависят от многих факторов: параметров объекта (постоянных времени, коэффициента усиления и др.), от вектора состояния в начальной и конечной точках фазовой траектории, допустимого предельного управляющего воздействия от вектора возмущающих воздействий Для упрощения этой задачи будем искать моменты переключения как функции при отсутствии возмущающих воздействий и неизменных параметрах системы.

Пусть управляемый объект описывается дифференциальным уравнением порядка

Считаем, что корни характеристического уравнения вещественные отрицательные и некратные. Начальное состояние объекта при характеризуется вектором конечное при вектором Требуется за минимальное время перевести вектор состояния из Как известно, для этого нужно интервалов управления. На интервалах управления а знаки чередуются раз, следовательно, требуется определить моментов переключения, включая время окончания управления.

Для определения моментов переключения воспользуемся методом стыкования решений дифференциальных уравнений со знакопеременной правой частью [48]. Решение уравнения (11.33) имеет вид

где корень характеристического уравнения; — постоянная интегрирования — начальное значение компоненты переходного процесса. Так как в начале каждого интервала скачком изменяется управляющее воздействие, то и значения также будут изменяться скачком при переходе от одного интервала к другому.

Для решения посгавленной задачи необходимо предварительно найти значения постоянных интегрирования на каждом интервале управления. Сперва определим постоянные интегрирования

для последнего интервала управления. Отметим, что в конце интервала управления при заканчивается процесс и вектор управляемой величины равен заданному конечному значению Записав решение (11.34) для управляемой величины и ее производных в момент и приравняв им соответствующие координаты вектора получим систему из уравнений:

где Из системы уравнений (11.35) определяются постоянные интегрирования на интервале управления.

Поскольку все координаты управляемой величины непрерывны, возможно отыскание решений на границе последнего и предпоследнего интервалов:

Из системы уравнений (11.36) определяют Подставляя ранее найденные значения в (11.36), определяют

Продолжая аналогичные стыкования решений на последующих интервалах вплоть до первого, исключают постоянные интегрирования на промежуточных интервалах. Значения для первого интервала определяют с учетом начальных условий при из следующей системы уравнений:

В результате такого исключения постоянных интегрирования получается система из гранцендентных уравнений с неизвестными

моментами переключения Эти моменты переключения из системы трансцендентных уравнений можно определять одним из численных методов.

Пример 2. Определить моменты переключения оптимального по быстродействию управления объектом, структурная схема которого изображена на рис. 11.19, а. Согласно схеме откуда уравнение объекта

или

т. e. объект описывается уравнением второго порядка Корни характеристического уравнения Согласно теореме об интервалах управляющее воздействие должно состоять из двух интервалов. Конец второго интервала (конец переходного процесса) обозначим через а момент переключения (см. рис. 11.19, б). Вектор управляемой величины в начальный момент времени (при в конечный момент времени (при

Управляющее воздействие принимаем максимально возможным на первом интервале на втором интервале

Решение уравнения динамики (11.38)

где

Дифференцируя по времени, получаем

В данном случае поэтому первая производная является производной.

Решение (11.39) и ее производная (11.40) на втором интервале управления принимают вид:

где так как на последнем интервале управляющее воздействие отрицательно.

Запишем решение (11.41) и ее производную (11.42) на момент окончания управления в переходном режиме и приравняем их соответствующим заданным координат там вектора

Из системы уравнений (11.43) находим постоянные интегрирования, соответствующие второму интервалу управления:

Управляемая величина (11.39) и ее производная (11.40) на первом интервале управления (0 изменяются в соответствии с выражениями:

где так как первый интервал управления положительный.

Рис. 11.21. Графический метод определения моментов переключения.

Стыкуем решение (11.41) и (11.45), (11.42) и (11.46) на момент переключения

откуда находим

Запишем решение (11.45) и ее первую производную (11.46) на момент и приравняем их соответствующим начальным значениям координат вектора

откуда определим постоянные интегрирования на первом интервале управления

Подставив значения постоянных интегрирования из формул (11.44) и (11.48) в их разности (11.47), получим систему трансцендентных уравнений:

из которой одним из численных методов определяются момеити переключения Рассмотрим численный графо-аналитический метод определения моментов переключения, точность которого обычно удовлетворяет инженерным приложениям. Подставив значения корней в систему уравнений (11.49), получаем

Решив эти уравнения относительно к, находим

Задаваясь значениями определяем с помощью полученных формул и стронм кривые (рис. 11.21). Значения соответствующие точке пересечения кривых, и являются искомыми моментами переключения.

Пусть, например, Если объектом, структурная схема которого изображена на рис. 11.19, а, является электродвигатель постоянного тока, то рад/В с.

Подстайив эти значения в систему уравнений (11.50), получим:

откуда:

Точка пересечения кривых дает искомые значения моментов переключения: с.

В момент вектор управляемой величины принимает требуемое значение где изменением управляющего воздействия скачком от до нуля в момент переходный процесс заканчивается. Для поддержания достигнутого во время переходного процесса требуемого значения управляемой величины на вход объекта следует подавать, начиная с момента постоянное управляющее воздействие . В общем случае после переходного процесса на вход управляемого объекта подается управляющее воздействие, обеспечивающее необходимое изменение управляемой величины.