10.4. Особенности устойчивости нелинейных систем

Понятие устойчивости для нелинейных систем значительно сложг нее, чем для линейных. Это объясняется тем, что процессы в нелинейных системах имеют ряд существенных особенностей. Линейные системы имеют единственное состояние равновесия, которое может быть устойчивым или неустойчивым в зависимости от структуры и параметров системы. В нелинейной системе может быть несколько состояний равновесия. Например, в следящей системе с сельсинами в качестве элемента сравнивания (рис. 1.14, а) имеется два состояния равновесия: — угол рассогласования системы); состояние может быть устойчивым или неустойчивым, а состояние

в— 180° является неустойчивым. В нелинейных системах, как и в линейных, возможно появление периодических колебаний, однако в нелинейных системах эти колебания могут быть устойчивыми (автоколебания).

Таким образом, для нелинейных систем необходимо различать два понятия устойчивости: устойчивость состояния равновесия и устойчивость автоколебаний.

Устойчивость состояния равновесия и устойчивость автоколебаний в нелинейных системах зависят не только от структуры и параметров, но и от начальных отклонений системы относительно состояния равновесия. На рис. 10.4, а, б показаны кривые возможного изменения отклонения нелинейной системы. Если начальное отклонение не превышает величины а и процесс затухает (кривые 1), то состояние равновесия устойчиво. Если начальное значение превышает величину а и процесс расходится (кривые 2), то состояние равновесия неустойчиво. Величина а является границей устойчивости по начальному отклонению. В зависимости от ее значения различают: устойчивость «в малом» — система устойчива, если она устойчива только при малых начальных отклонениях (кривые 1, рис. 10.4, а, б);

устойчивость «в большом» — система устойчива (неустойчива) «в большом», если она устойчива при больших (конечных по величине) начальных отклонениях (кривые 2, рис. 10.4, а, б);

устойчивость «в целом» — система устойчива «в целом», если она устойчива при любых больших (неограниченных по величине) начальных отклонениях.

Как видно из рис. 10.4, а, б, состояние равновесия нелинейных систем может быть устойчивым «в малом» и неустойчивым «в большом».

На рис. 10.4, в показан случай, когда состояние равновесия

— 0 системы неустойчиво «в малом». Из рисунка видно, что оба процесса стремятся к колебаниям с одной и той же амплитудой а и частотой: система будет иметь устойчивые автоколебания с амплитудой а.

На рис. приведен случай, когда система имеет одно состояние равновесия и два состояния колебаний с постоянными амплитудами Из рисунка видно, что система устойчива «в малом» по отношению к состоянию равновесия При наличии начальных отклонений, превышающих величину а, процессы стремятся к автоколебаниям с амплитудой Автоколебания существуют «в большом» (при Периодические колебания с амплитудой а являются неустойчивыми.

В нелинейных системах могут быть и более сложные процессы. Например, могут возникать автоколебания различной амплитуды и часто-. ты, соответствующие различным начальным отклонениям. Таким образом, в отличие от линейной одна и та же нелинейная система при различных начальных условиях может совершать разные движения.

Устойчивая линейная система после снятия воздействия возвращается в исходное состояние. Такая устойчивость называется асимптотической (или устойчивостью в точке). В нелинейных системах, кроме асимптотической устойчивости, может быть устойчивость в некоторой области (неасимптотическая устойчивость), характеризующаяся возвратом системы в определенную область после снятия воздействия.

Рис. 10.4. Зависимость устойчивости состояния равновесия и автоколебаний нелинейной системы от начального отклонения : а, б - состояние равновесия устойчиво «в малом» и неустойчиво «в большом»; в — состояние равновесия неустойчиво, автоколебания с амплитудой а устойчивы; состояния устойчиво «в малом», автоколебания с амплитудой а устойчивы «в большом»

Рис. 10.5. Нелинейная характеристика

В релейной системе (см. рис. 10.3) возникновение этой области объясняется зоной нечувствительности. Асимптотическую устойчивость системы «в целом» для нелинейностей, принадлежащих к определенному классу, называют абсолютной устойчивостью равновесия. К этому классу относятся нелинейные характеристики имеющие любое очертание, но не выходящие за пределы заданного угла (рис. 10.5). Этот класс нелинейностей охватывает характеристики подавляющего большинства исполнительных элементов систем автоматического управления.