8.4. Математический аппарат исследования импульсных систем

Понятие о решетчатых функциях

Решетчатая функция. Приведенная непрерывная часть импульсной системы реагирует лишь на дискретные значения непрерывной функции, приложенной на вход импульсного элемента. Поэтому достаточно знать значения непрерывной функции только в дискретные моменты времени. На этом основании непрерывную функцию заменяют соответствующей решетчатой функцией (функцией дискретного аргумента). Решетчатой называется функция (рис. 8.22, б), которую образуют ординаты непрерывной функции (рис. 8.22, а) при дискретных равноотстоящих друг от друга значениях независимой переменной. Решетчатая функция существует только при дискретных значениях аргумента. Между этими значениями аргумента решетчатая функция равна нулю. Решетчатую функцию обычно обозначают имея в виду где Т — период дискретности: — любое целое число.

Для получения решетчатой функции соответствующей непрерывной функции необходимо в функции заменить на

В качестве примера запишем решетчатые функции, соответствующие некоторым непрерывным функциям. 1

Непрерывной функции (рис. 8.23, а) соответствует решетчатая функция (рис. 8.23, 6)

Непрерывной функции соответствует решетчатая функция

Рис. 8.22. Непрерывная функция (а) и соответствующая ей решетчатая функция (б).

Рис. 8.23. Непрерывные функции и соответствующие им решетчатые функции: а — непрерывная функция ; б - решетчатая функция соответствующая (с); в — непрерывная функция в относительном масштабе времени ; г - решетчатая функция соответствующая (в).

Смещенная решетчатая функция. Решетчатая функция отражает непрерывную функцию лишь в дискретные моменты времени. Для выявления поведения непрерывной функции между отдельными дискретными моментами времени вводят промежуточное фиксированное время которое может изменяться от 0 до Т. Непрерывный аргумент в этом случае можно представить в виде суммы дискретного аргумента и приращения

Решетчатая функция называется смещенной функцией по отношению функции на величину и обозначается Изменяя от 0 до Т, можно получить все значения непрерывной функции в промежутке от до .

Решетчатая функция в относительном масштабе времени. Как отмечалось, для перехода к относительному масштабу времени необходимо в функции вместо подставить Например, непрерывная функция после замены на будет иметь вид где Непрерывной функции в относительном масштабе времени соответствует решетчатая функция Последняя совпадает с при

Например, непрерывной функции (рис. 8.23, е) соответствует решетчатая функция (рис. 8.23, г).

Решетчатые функции изменяют значение при целочисленных значениях независимого переменного

Смещенная решетчатая функция в относительном масштабе времени. Если в качестве аргумента принято относительное время, то смещенная решетчатая функция обозначается где При изменении от 0 до изменяется от Смещенная функция при соответствует значению функции в точке т. е. равна . В смещенной решетчатой функции является параметром.