10.6. Метод гармонической линеаризации

Сущность метода заключается в замене нелинейного элемента системы эквивалентным линейным, который одинаково с нелинейным элементом преобразует гармоническое колебание и характеризуется эквивалентным комплексным коэффициентом усиления. Такая замена позволяет исследовать нелинейные системы частотными методами. В частности, с помощью частотного метода можно выявить наличие автоколебаний, исследовать их устойчивость и определить их амплитуду и частоту, а также решать задачи коррекции нелинейной системы.

Основы метода гармонической линеаризации (метода гармонического баланса) разработаны академиками Н. М. Крыловым и Н. Н. Боголюбовым. Применительно к теории автоматического управления этот метод развит Л. С. Гольдфарбом и Е. П. Поповым. В иностранной литературе метод гармонической линеаризации называется методом описывающей функции.

Эквивалентный комплексный коэффициент усиления нелинейного элемента

При подаче на вход линейного элемента с КПФ синусоидального колебания комплексное изображение которого на его выходе, как известно, возникает также синусоидальное колебание, но отличающееся от входного по амплитуде и фазе

В случае нелинейного элемента выходная и входная величины связаны между собой нелинейной зависимостью

Нелинейная зависимость (10.7) может иметь самый различный характер. Предположим, что нелинейная зависимость определяется релейной

Рис. 10.11. К понятию об эквивалентном комплексном коэффициенте нелинейного элемента.

характеристикой, изображенной на рис. 10.11, а. Если на вход этого нелинейного элемента подавать гармоническое колебание то на его выходе получим периодическую функцию в виде прямоугольных импульсов (рис. 10.11, а), т. е. функцию, отличную от синусоидальной.

Выходная величина нелинейного элемента, обладающего любой другой статической характеристикой, также будет представлять собой соответствующую периодическую функцию, отличную от синусоидальной, т. е. нелинейный элемент вносит искажения сигнала.

Суть метода гармонической линеаризации состоит в том, что выходная периодическая функция нелинейного элемента разлагается в ряд Фурье, т. е. представляется в виде бесконечной суммы гармонических колебаний. Если линейная часть системы является фильтром, ослабляющим высшие гармоники до пренебрежимо малых значений, т. е. выполняется гипотеза фильтра, то из рассмотрения отбрасываются все гармоники высшего порядка и считают, что выходная величина нелинейного элемента представляет собой первую гармонику разложения (рис. 10.11, б):

где и — коэффициенты первой гармоники ряда Фурье:

или

где — амплитуда первой гармоники; — сдвиг по фазе первой гармоники относительно входного колебания. Запишем комплексные изображения

входной и выходной (первой гармоники) величин нелинейного элемента:

Отношение комплексных изображений первой гармоники выходной величины и входного колебания называется эквивалентным комплексным коэффициентом усиления нелинейного элемента (гармонической передаточной функцией)

где — коэффициенты гармонической линеаризации.

Эквивалентный комплексный коэффициент усиления (ЭККУ) можно представить в показательной форме

где — модуль — аргумент ЭККУ, т. е. модуль показывает, во сколько раз амплитуда первой гармоники выходного колебания отличается от амплитуды входного колебания, а аргумент равен разности фаз между этими колебаниями.

С учетом (10.11) комплексное изображение первой гармоники выходной величины нелинейного элемента

где

Из выражений для и видно, что модуль и аргумент эквивалентного комплексного коэффициента усиления нелинейного элемента зависят от амплитуды Л входного колебания и не зависят от частоты. Зависимость модуля от амплитуды входного колебания можно объяснить зависимостью длительности выходных импульсов нелинейного элемента от амплитуды входного колебания (рис. 10.11, а): с увеличением длительность импульсов увеличивается, а следовательно, увеличиваются амплитуда первой гармоники выходного колебания и модуль Зависимость же аргумента от объясняется зависимостью расположения середины выходных импульсов нелинейного элемента относительно фиксированных точек на оси . С увеличением импульсы перемещаются на оси влево и сдвиг по фазе (запаздывание) первой гармоники выходного колебания относительно входного колебания уменьшается. Возможный вид зависимости модуля и аргумента нелинейного элемента от амплитуды входного колебания представлен на рис. 10.12.

ЭККУ нелинейного элемента геометрически изображается вектором, модуль которого равен а аргумент С изменением

Рис. 10.12. Возможный вид зависимостей модуля и аргумента ЭККУ от амплитуды входного колебания.

амплитуды А входного колебания и изменяются. При этом конец вектора описывает кривую. Годограф вектора при изменении амплитуды входного колебания называется эквивалентной амплитудно-фазовой характеристикой нелинейного элемента.

Таким образом, гармоническая линеаризация состоит в замене нелинейного элемента, описывающего уравнением эквивалентным линейным, который осуществляет такое же преобразование гармонического входного сигнала, как и нелинейный элемент; уравнение эквивалентного элемента линейно:

Функция эквивалентного линейного элемента является аналогом функции линейного элемента. Отличие между ними состоит в том, что первая зависит от амплитуды А входного колебания, а вторая — от частоты этого колебания.

В том случае, когда выходной сигнал нелинейного элемента зависит не только от входного но и его производной эквивалентный комплексный коэффициент усиления является функцией как амплитуды А, так и частоты входного сигнала: