11.3. Оптимальные по быстродействию системы автоматического управления

Задача об оптимальном быстродействии и метод ее решения

Повышение быстродействия САУ является актуальной задачей. Уменьшение времени переходных процессов следящих систем позволяет за более короткий срок отрабатывать задающие воздействия, например поворачивать антенну РЛС на заданный угол, изменять частоту настройки радиопередающего и радиоприемного трактов РЛС, устранять начальное рассогласование при управлении полетом ракеты, т. е. увеличение быстродействия систем способствует повышению эффективности радиоэлектронной техники. Повышение быстродействия систем управления летательными аппаратами дает возможность увеличить их маневренность. Сокращение продолжительности переходных процессов систем управления техническими объектами, роботами, и технологическими процессами ведет к повышению производительности труда.

В линейных системах автоматического управления повышение быстродействия может быть достигнуто с помощью корректирующих устройств. Например, уменьшение влияния на переходный процесс постоянной времени апериодического звена с передаточной функцией возможно за счет включения последовательного дифференцирующего устройства с передаточной функцией , где Эффективными методами повышения быстродействия следящих систем являются методы подавления начальных значений медленно затухающих компонент переходного процесса систем и минимизации квадратичных интегральных оценок с помощью связей по задающему воздействию [18, 21]. Однако эффект улучшения

переходного процесса в реальных системах зависит от степени ограничения координат (нелинейностей) системы. Производные от внешних воздействий, обычно значительные по величине и кратковременные по длительности, ограничиваются элементами системы и не вызывают желаемого эффекта форсировки в переходном режиме. Лучшие результаты при решении задачи повышения быстродействия САУ при наличии ограничений дает управление, оптимальное по быстродействию.

Задача об оптимальном быстродействии йвилась первой задачей теории оптимального управления. Она сыграла большую роль в открытии одного из основных методов теории оптимального управления — принципа максимума. Эта задача, являясь частным случаем задачи оптимального управления, состоит в определении такого допустимого управляющего воздействия, под влиянием которого управляемый объект (процесс) переходит из начального фазового состояния Н в конечное К за минимальное время. Критерием оптимальности данной задаче является время.

Пгрешении частной задачи обеспечения минимума времени переходного процесса, как отмечалось, и для определения Н можно воспользоваться формулой (11.10) вместо (11.11), а также -мерным пространством вместо -мерного пространства. В этом случае уравнения движения объекта можно записать в виде

а сопряженные уравнения (11.15) и (11.18) принимают вид

Пример 1. Управляемым объектом является двигатель постоянного тока, структурная схема которого изображена на рис. 11.15. Управляющим воздействием и является напряжение на якоре, а управляемой величиной — угол поворота вала. Требуется найти управляющее напряжение, обеспечивающее поворот якоря двигателя за минимальное время от начального положения в конечное положение При этом на управляющее напряжение наложено ограничение Решаем задачу по плану, намеченному в п. 11.2.

1. В соответствии со структурной схемой записываем уравнение объекта

или

Вводим обозначение и записываем уравнения объекта в виде уравнений первого порядка

2. Находим функцию Гамильтона

Рис. 11.15. Структурная схема двигателя постоянного тока.

3. Составляем сопряженные уравнения в соответствии с формулой (11.21):

В соответствии с сопряженным уравнением

Подставив значение в уравнение (11.23), получим уравнение

решение которого

4. Подставляем полученные значения в выражение для Н:

5. Находим закон изменения при котором Н достигает максимального значения, т. е. достигается оптимальность по быстродействию. Записываем условие оптимальности откуда видно, что Н представляет собой линейную функцию переменной и и поэтому для определения и нет необходимости находить и приравнивать нулю проязводную От управления и зависит только третье слагаемое последнего выражения поэтому шах, когда

Функция Ни будет максимальная при максимальном значении управляющего воздействия:

или

т. е. оптимальное управление является кусочно-постоянной (релейной) функцией, принимающей значения

На рис. 11.16, а изображен график функции для случая а на рис. -закон изменения управляющего напряжения и, при котором обеспечивается оптимальное по быстродействию управление. Из рисунка видно, что кривая один раз меняет знак, следовательно, оптимальное управляющее воздействие содержит два интервала управления, в течение которых

В соответствии с физическим смыслом на первом интервале управление обеспечивает разгон двигателя, а на втором интервале

Рис. 11.16. График функции и закон изменения управляющего воздействия (б).

управление его торможение. В момент двигатель останавливается. Методика определения моментов переключения рассматривается в данной главе.