8.3. Эквивалентная схема импульсной системы

Представление импульсного элемента в виде соединения простейшего импульсного элемента и формирующего элемента

С целью облегчения исследования импульсных систем их реальные импульсные элементы (рис. 8.15, а) заменяют последовательным соединением простейшего импульсного элемента ПИЭ и формирующего элемента (рис. 8.15, б). Простейший импульсный элемент под воздействием непрерывного входного сигнала формирует мгновенные, бесконечно большой амплитуды, равноотстоящие один от другого импульсы, площади которых равны значениям входного сигнала в моменты, непосредственно предшествующие возникновению импульсов (рис. 8.15, б). Простейший амплитудный импульсный элемент можно также определить как амплитудно-импульсный модулятор, непрерывный входной сигнал которого модулирует несущую в виде последовательности кратковременных (мгновенных) бесконечно большой амплитуды импульсов с единичной площадью (импульсов вида функции) и частотой повторения , где Т — период повторения импульсов. Площадь выходных импульсов модулятора равна значениям входного сигнала в дискретные моменты времени. Формирующий элемент (рис. 8.15, б) представляет собой непрерывную часть и характеризуется тем, что его реакция на импульс вида дельта-функции совпадает по своей форме с импульсами на выходе реального импульсного элемента (рис. 8.15, а).

Передаточная функция формирующего элемента

Реакция звена на мгновенный импульс единичной площади называется импульсной переходной, или весовой функцией этого элемента. Реакция формирующего элемента на также является импульсной переходной (весовой) функцией этого элемента. Поскольку изображение Лапласа то изображение импульсной переходной функции формирующего элемента равно передаточной функции этого элемента:

т. е. для определения передаточной функции формирующего элемента нужно определить изображение Лапласа импульса на выходе реального импульсного элемента.

В качестве примера определим передаточную функцию формирующего элемента, на выходе которого имеется последовательность прямоугольных импульсов. Импульсная переходная функция данного формирующего элемента представляет собой прямоугольный импульс (рис. 8.16, в,) который можно представить как сумму двух ступенчатых функций, сдвинутых во времени на и имеющих различную полярность (рис. 8.16, а, б):

Поскольку изображение по Лапласу единичной ступенчатой функции а единичной ступенчатой функции, смещенной на в соответствии с теоремой смещения операционного исчисления то изображение по Лапласу импульсной переходной функции имеющей вид прямоугольного импульса единичной амплитуды,

Согласно определению, полученное изображение является передаточной функцией формирующего элемента, соответствующего импульсному элементу с выходными импульсами прямоугольной формы.

Числитель формулы (8.5) можно разложить в ряд Маклорена около

Если , то ряд быстро сходится и можно ограничиться первыми двумя членами: . Подставив полученное значение числителя в формулу (8.5), получим

Рис. 8.16. Формирование прямоугольного импульса с помощью двух ступенчатых функций.

Рис. 8.17. Прямоугольный импульс единичной площади.

Для прямоугольного импульса, имеющего амплитуду Ли,

Если

Для прямоугольного импульса единичной площади (рис. 8.17) с амплитудой (так как при

Изображение по Лапласу прямоугольного импульса единичной амплитуды при определяется выражением

Формирующий элемент с передаточной функцией, определяемой выражением (8.10), называют фиксатором нулевого порядка, или просто

Рис. 8.18. Схема простейшего импульсного элемента с фиксатором (а) и - импульсного элемента (б).

Таблица 8.1. (см. скан) Передаточные функции формирующих элементов

фиксатором. Фиксатор растягивает мгновенный входной импульс на период следования импульсов или запоминает площадь мгновенного входного импульса до прихода следующего импульса (рис. 8.18, а). На выходе фиксатора сигнал имеет форму прямоугольной волны. Простейший импульсный элемент с фиксатором образуют прямоугольный Л-импульсный элемент, преобразующий любую непрерывную входную функцию в последовательность прямоугольных импульсов с или в ступенчатую функцию (в прямоугольную волну) (рис. 8.18, б). -импульсный элемент фиксирует значения входной функции в дискретные моменты времени и помнит каждое значение в интервале Т.

Таким образом, передаточная функция формирующего элемента, соответствующего импульсному элементу с импульсами прямоугольной формы, определяется выражениями (8.5)- (8.10). Обычно коэффициент усиления импульсного элемента относят к формирующему элементу, считая, что коэффициент простейшего импульсного элемента равен единице

Аналогично можно определить изображения по Лапласу и для импульсов другой формы. Передаточные функции формирующих элементов для типовых форм импульсов приведены в табл. 8.1.

Относительный масштаб времени. Для упрощения анализа импульсных систем вместо времени применяется относительное время

где Т — период повторения импульсов. Если имеем какую-либо функцию времени, например импульсную переходную функцию то, заменив получим

Введем обозначения:

Найдем соотношение между На основании теоремы об изменении масштаба получим

Поскольку с учетом формул (8.11) и (8.12) запишем:

т. е. для получения изображения функции в относительном масштабе времени необходимо в изображении функции аргумент заменить на а само изображение умножить на

Пример 1. Определить передаточную функцию формирующего элемента импульсная переходная функция которой совпадает с прямоугольным импульсом.

Обычная передаточная функция такого формирующего элемента

Заменив аргумент и разделив на Т, получим

Передаточные функции формирующих элементов для типовых форм импульсов при применении относительного времени приведены в табл. 8.1.

Приведенная непрерывная часть системы

Линейную импульсную систему с амплитудно-импульсной модуляцией можно представить в виде последовательного соединения простейшего импульсного элемента с передаточной функцией, равной единице, формирующего элемента с передаточной функцией и непрерывной части системы с передаточной функцией (рис. 8.19). Для удобства анализа системы формирующий элемент и непрерывную часть объединяют. Соединение формирующего элемента и непрерывной части называется приведенной непрерывной частью системы Любую замкнутую импульсную систему можно

Рис. 8.19. Представление разомкнутой импульсной системы в виде соединения простейшего импульсного элемента, формирующего элемента и непрерывной части.

Рис. 8.20. Эквивалентная схема импульсной САУ.

привести к эквивалентной схеме, состоящей из простейшего импульсного элемента и приведенной непрерывной части (рис. 8.20). Передаточная функция приведенной непрерывной части

или при использовании относительного масштаба времени

где

передаточные функции формирующего элемента и непрерывной части системы, т. е. для перехода к относительному масштабу времени в передаточной функции формирующего элемента необходимо заменить на и полученную передаточную функцию умножить на . В передаточной же функции непрерывной части необходимо лишь заменить на

Пример 2. Определить двухинтеграторной импульсной системы автоматического сопровождения цели по дальности (рис. 8.21), у которой импульсный элемент формирует прямоугольные импульсы с

Передаточная функция системы равна

Передаточная функция формирующего элемента, соответствующего импульсному элементу, генерирующему прямоугольные импульсы , в соответствии с формулой (8.8)

Передаточная функция непрерывной части системы определяется выражением (8.3)

Подставив значения из формул (8.18) и (8.19) в выражение для получим

Рис. 8.21. Структурная схема двуинтеграторной импульсной системы автоматического сопровождения цели по дальности.

или для случая относительного времени в соответствии с формулой (8.13)

где