2.2. Структурные (алгоритмические) схемы автоматических систем

Для получения математической модели системы необходимо ее элементы заменить соответствующими динамическими звеньями и соединить их между собой. Соединение звеньев должно соответствовать соединению элементов системы. Графическое изображение, показывающее, из каких динамических звеньев состоит система и как они соединены между собой, называется структурной схемой данной системы. Структурная схема, являясь математической моделью Системы, отображает ее динамические свойства. Она, по существу, представляет графическое изображение системы уравнений динамики (алгоритмов) элементов, записанных в операционной форме (в виде передаточных функций).

Представление САУ структурными схемами, составленными из динамических звеньев, дает возможность создать общие методы исследования (анализа и синтеза) для всех систем, независимо от их конструкции, физической природы и т. д.

Методика составления уравнений элементов и структурной схемы системы

Методику составления уравнений элементов системы, представления их динамическими звеньями и построении структурной схемы системы рассмотрим на примере следящей системы, принципиальная схема которой изображена на рис. 1.14, а. Как отмечалось, в состав системы входят Сельсины ВС и BE, работающие в трансформаторном режиме, фазовый дискриминатор ФД, электромашинный усилитель мощности ЭМУ, двигатель М, редуктор Р.

1. Сельсины применяются в качестве элемента сравнения и преобразователя угла рассогласования 0 (0 в напряжение

Сельсины как элемент сравнения описываются алгебраическим выражением Элемент сравнения ЭС на структурной схеме (рис. 2.4) изображается как сумматор. Инвертирующий его вход указывает, что соответствующая величина вычитается.

Сельсины как преобразователь угла рассогласования в напряжение описываются уравнением Это нелинейное алгебраическое уравнение. На основании линеаризации в первой главе для малых углов рассогласования было получено где В/рад или В/град, — коэффициент усиления.

Уравнение сельсинов в операционной форме откуда передаточная функция сельсинов . Из уравнения и

Рис. 2.4. Структурная схема следящей системы (рис. 1.14, а).

передаточной функции видно, что сельсины как преобразователи на структурной схеме представляются пропорциональным звеном.

На структурной схеме динамические звенья изображаются прямоугольниками, внутри которых записываются передаточные функции звеньев. Связи между звеньями обозначаются линиями со стрелками, указывающими направление передачи воздействий.

2. Фазовый дискриминатор описывается уравнением или в операционной форме откуда передаточная функция фазового дискриминатора

т. е. фазовый дискриминатор на структурной схеме также представляется пропорциональным звеном.

3. Электромашинный усилитель мощности ЭМУ состоит из двух каскадов усиления. Выходное напряжение дискриминатора поступает на обмотку управления ЭМУ (на вход первого каскада усиления). В результате воздействия этого напряжения в поперечной цепи ЭМУ индуктируется Найдем уравнение, связывающее между собой Уравнение напряжения в обмотке управления ЭМУ

где — активное сопротивление и индуктивность цепи обмотки управления ЭМУ. Электродвижущая сила, индуктируемая в поперечной цепи ЭМУ:

Подставив в (2.26) значение из (2.27) и разделив (2.26) на получим

Умножив левую и правую части полученного уравнения на и записав его в принятой в автоматике форме, будем иметь

где — постоянная времени цепи обмотки управления — коэффициент усиления первого каскада ЭМУ.

Запишем уравнение (2.28) в операционной форме:

откуда передаточная функция первого каскада ЭМУ

т. е. первый каскад ЭМУ на структурной схеме представляется апериодическим звеном.

Найдем уравнение и передаточную функцию второго каскада ЭМУ, входом которого является поперечная, а выходом — продольная цепь ЭМУ. Входной величиной каскада является а выходной — э. д. с. , индуктируемая в

продольной иепи. Уравнение напряжения в поперечной цепи ЭМУ:

где — активное сопротивление и индуктивность поперечной цепи ЭМУ. Электродвижущая сила, индуктируемая в продольной цепи ЭМУ,

Исключив из формул (2.30) и (2.31) промежуточную переменную получим

Где постоянная времени поперечной цепи — коэффициент усиления второго каскада ЭМУ. В операционном виде уравнение (2.32) имеет вид откуда передаточная функция звена

т. е. второй каскад ЭМУ на структурной схеме также представляется апериодическим звеном.

4. Выход ЭМУ в следящей системе включен на двигатель постоянного тока с независимым возбуждением. Рассмотрим участок системы, включающий продольную цепь ЭМУ — двигатель. Входнойвеличиной этого участка является индуктируемая в продольной цепи ЭМУ, а выходной — частота вращения и двигателя. Найдем уравнение, связывающее и

Уравнение для в электрической цепи, состоящей из продольной цепи ЭМУ и обмотки якоря двигателя, имеет вид

где

— активные сопротивления обмоток якоря, дополнительных полюсов, компенсационной обмотки, щеток соответственно; — индуктивности обмоток якоря, дополнительных полюсов и компенсационной обмотки; — противо-э. д. с.

Поскольку рассматривается двигатель с независимым возбуждением, то, пренебрегая влиянием потока реакции якоря, можно считать, что магнитный поток двигателя и тогда

Подставив значение в уравнение (2.33), получим

Выражение (2.34) представляет собой только уравнение для э. д. с. в рассматриваемой цепи. Однако в этой цепи есть и механическая энергия, поэтому необходимо составить уравнение моментов. Образуемый в двигателе момент вращения уравновешивается моментом сопротивления и динамическим моментом т. е.

где — момент инерции всех вращающихся частей, приведенных к валу двигателя, — моменты инерции двигателя и рабочего механизма соответственно; — передаточное число редуктора; — момент сопротивления рабочего механизма, приведенный к валу двигателя, — момент сопротивления рабочего механизма.

Момент вращения двигателя или, учитывая, что

Подставив значение в уравнение моментов, получим

Из последнего уравнения находим

и подставляем в уравнение (2.34):

Разделив это уравнение на получим

или

где — электромагнитная постоянная времени цепи, с; — электромеханическая постоянная времени, с; — коэффициент усиления двигателя по отношению к коэффициент усиления двигателя по отношению к

Обозначим тогда последнее уравнение примет вид

или в операционной форме

откуда находим

где

изображения составляющих частоты вращения двигателя, вызванных — на входе участка и моментом сопротивления соответственно.

Как видно из последней формулы, частота вращения двигателя со зависит от Из выражения для находим передаточную функцию участка (двигателя), связывающую

а из формулы для — передаточную функцию, связывающую сом

где — относительный коэффициент затухания.

Полученные передаточные функции соответствуют передаточной функции колебательного звена (2.16). Поэтому участок, включающий продольную цепь ЭМУ — двигатель, на структурной схеме (рис. 2.4) представляется двумя каналами, в каждом из которых содержится соответствующее колебательное звено; выходные сигналы звеньев вычитаются. Как указывалось, характер колебательного звена зависит от относительного коэффициента затухания Если то в соответствии с формулой (2.21) каждое колебательное звено заменяется двумя апериодическими; а при — одним апериодическим звеном. Как видно из выражения для значение возможно, если что практически всегда выполняется.

5. Таким образом, получены передаточные функции участка продольная цепь ЭМУ - двигатель, связывающие частоту вращения вала двигателя и Однако при рассмотрении работы следящей системы интерес представляет не частота (как, например, в системе стабилизации частоты), а угол поворота двигателя, который выражается интегралом по времени от частоты и т. е.

или в операционной форме:

Данной математической зависимости на структурной схеме соответствует интегрирующее звено с передаточной функцией

Таким образом, если считать выходной величиной двигателя не частоту вращения вала, а угол его поворота, то продольную цепь ЭМУ — двигатель в зависимости от значения 1 можно представить: а) колебательным и интегрирующим звеньями, если ; б) двумя апериодическими и интегрирующим звеньями, если 1; в) апериодическим и интегрирующим звеньями, если

6. Двигатель с приемным валом связан через редуктор с передаточным числом (обычно Поэтому угол поворота приемного вала определяется уравнением или в операционной форме: где — коэффициент усиления редуктора. Передаточная функция редуктора

т. е. математической моделью редуктора является пропорциональное звено.

После замены элементов системы динамическими звеньями для получения структурной схемы необходимо эти звенья соответствующим образом соединить между собой.

Поскольку в рассматриваемой следящей системе (рис. 1.14, а) элементы соединены последовательно, то и динамические звенья, которыми представлены элементы, также соединяются последовательно.

По алгоритмической схеме системы можно определить передаточную функцию, являющуюся одной из важнейших ее динамических характеристик, а также составить уравнения динамики элементов и уравнение системы в целом.

На рис. 2.4 изображена структурная схема системы, в которой звенья соединены последовательно. На практике встречаются более сложные структурные схемы, содержащие такие типовые соединения звеньев, как последовательное и параллельное соединения звеньев, охват звена (группы звеньев) обратной связью. Поэтому, прежде чем решать задачу определения передаточной функции системы, выясним правила нахождения передаточных функций типовых соединений звеньев.