7.2. Статистический метод анализа САУ

Задача анализа состоит в определении точности работы системы (в определении ее ошибок) в случае, если задающие и возмущающие воздействия представляют собой стационарные случайные процессы. В частном случае задающее воздействие может быть регулярной, т. е. заданной функцией времени или содержать регулярные составляющие. Ниже ограничимся случаем, когда все воздействия являются случайными функциями.

Анализ САУ можно разбить на два этапа. На первом этапе определяются статистические характеристики случайных воздействий — корреляционная функция и спектральная плотность являющиеся неслучайными функциями. Второй этап анализа состоит в преобразовании случайной функции линейной системой. Задача линейного преобразования случайной функции сводится к задаче такого же линейного преобразования нескольких неслучайных функций, являющихся ее статистическими характеристиками. Если входная а и выходная величины системы стационарны, задача преобразования случайной функции упрощается и сводится к преобразованию одной неслучайной функции — спектральной плотности входного воздействия.

Чтобы при стационарном воздействии выходная величина системы была тоже стационарной, необходимо, чтобы параметры системы были постоянными, т. е. чтобы и система была стационарной.

Прохождение стационарного случайного сигнала через линейную систему

Пусть на вход системы с комплексной передаточной функцией (рис. 7.1) поступает стационарный случайный сигнал а Для определения спектральной плотности случайного процесса а воспользуемся интегралом Фурье. Чтобы представить в виде интеграла Фурье, необходимо выполнение условия Для стационарного случайного сигнала а это условие не выполняется. Поэтому вместо функции а рассматривают сигнал равный внутри интервала и имеющий нулевое значение вне этого интервала. Сигнал удовлетворяет вышеприведенному условию и поэтому его можно представить в виде интеграла Фурье

где — частотный спектр сигнала

Зная частотный спектр можно определить спектральную плотность случайного процесса

Рис. 7.1. Схема системы с КПФ

Из формулы (7.1) видно, что сигнал можно представить как бесконечную сумму элементарных (парциальных) гармонических колебаний Каждое элементарное колебание, приложенное к системе, вызовет на ее выходе реакцию Для линейной системы в соответствии с принципом суперпозиции реакция системы на сумму воздействий равна сумме реакций на отдельные воздействия. Следовательно, реакцию системы на воздействие (7.1) можно представить в виде суммы реакций, вызванных бесконечным рядом парциальных колебаний

или

где

изображение Фурье (частотный спектр) реакции системы

Зная частотный спектр функции , можно определить спектральную плотность реакции системы представляющей стационарный случайный процесс:

или учитывая формулу (7.5):

Модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей, поэтому последнее выражение можем переписать в виде

или, учитывая формулу (7.2), в виде

где — квадрат модуля комплексной передаточной функции замкнутой системы или квадрат выражения для амплитудно-частотной характеристики системы. В соответствии с выражением (7.7) для получения спектральной плотности стационарной случайной функции на выходе системы необходимо спектральную плотность входного сигнала

умножить на квадрат ординаты амплитудно-частотной характеристики системы.

Если математическое ожидание стационарной функции на входе системы не равно нулю, т. е.

где — существенно случайная часть функции то следует кроме спектральной плотности, определить также математическое ожидание сигнала на выходе системы. Математическое ожидание стационарной случайной функции а можно представить как гармоническое колебание нулевой частоты Тогда математическое ожидание сигнала на выходе получим, если умножим а на КПФ при значении

Корреляционная функция выходного сигнала может быть определена по его спектральной плотности

Зная спектральную плотность выходного сигнала, можно определить его дисперсию

и среднеквадратическое значение

При анализе САУ важны не столько характеристики выходной величины, сколько характеристики ошибки системы.