z-Преобразование

В дискретное -преобразование (см. выражение 8.26) переменная входит в виде , следовательно, это преобразование не является рациональной функцией от . В связи с этим исключается возможность применения обычного метода анализа в плоскости (например, метода анализа устойчивости, качества путем определения нулей и полюсов передаточной функции в плоскости для анализа импульсных систем. -преобразование является рациональной функцией от или, если введено относительное время, то от где Если в выражениях (8.28) и (8.29), определяющих -преобразование, заменить на то получим так называемое -преобразование, являющееся рациональной функцией относительно новой переменной

-преобразование и -преобразование эквивалентны. Однако при использовании -преобразования анализ импульсных систем в плоскости 2 во многом будет подобен уже известному анализу непрерывных систем в плоскости Кроме того, преимуществом -преобразования является сравнительная легкость вычисления обратного преобразования и упрощение записи. Выбор того или иного вида преобразования определяется удобством его применения при решении той или иной конкретной задачи.

Символом -преобразрвания решетчатой функции является

z-Преобразование смещенной решетчатой функции, определяемое выражением (8.36), в литературе обычно называется модифицированным -преобразованием.

Пример 5. Пусть (рис. 8.25). Подставляя значение в (8.35), находим

Сумма полученной геометрической прогрессии равна

Из сравнений выражений (8.30) и (8.38) видно, что z-преобразоваиие единичной решетчатой функции соответствует ее -преобразованию, если в последнем заменить

z-Преобразования некоторых функций времени приведены в табл. 8.2. Более полные таблицы -преобразований можно найти в литературе [35].

Если известно изображение Лапласа непрерывной функции (например, передаточная функция звена или системы, являющаяся изображением импульсной переходной функции), то -преобразование этой функции можно определить следующим образом.

1. Нахождением по самой функции с последующим определением -преобразования по формулам (8.35) и (8.36) или табл. 8.2 соответствия Например, если

то по табл. 8.2 определяем По той же таблице находим

2. С помощью -преобразования, связывающего изображения

аналогичного -преобразованию. Для определения по можно воспользоваться табл. 8.2. В том случае, когда является сложной функцией, например

представляется в виде суммы элементарных дробей, для которых -преобразования известны. Суммируя последние, получают , соответствующее

Теоремы и правила -преобразования аналогичны теоремам и правилам D-преобразования [35].