z-Преобразование
В дискретное
-преобразование (см. выражение 8.26) переменная
входит в виде
, следовательно, это преобразование не является рациональной функцией от
. В связи с этим исключается возможность применения обычного метода анализа в плоскости
(например, метода анализа устойчивости, качества путем определения нулей и полюсов передаточной функции в плоскости
для анализа импульсных систем.
-преобразование является рациональной функцией от
или, если введено относительное время, то от
где
Если в выражениях (8.28) и (8.29), определяющих
-преобразование, заменить
на
то получим так называемое
-преобразование, являющееся рациональной функцией относительно новой переменной
-преобразование и
-преобразование эквивалентны. Однако при использовании
-преобразования анализ импульсных систем в плоскости 2 во многом будет подобен уже известному анализу непрерывных систем в плоскости
Кроме того, преимуществом
-преобразования является сравнительная легкость вычисления обратного преобразования и упрощение записи. Выбор того или иного вида преобразования определяется удобством его применения при решении той или иной конкретной задачи.
Символом
-преобразрвания решетчатой функции
является
z-Преобразование смещенной решетчатой функции, определяемое выражением (8.36), в литературе обычно называется модифицированным
-преобразованием.
Пример 5. Пусть
(рис. 8.25). Подставляя значение
в (8.35), находим
Сумма полученной геометрической прогрессии равна
Из сравнений выражений (8.30) и (8.38) видно, что z-преобразоваиие единичной решетчатой функции соответствует ее
-преобразованию, если в последнем заменить
z-Преобразования некоторых функций времени приведены в табл. 8.2. Более полные таблицы
-преобразований можно найти в литературе [35].
Если известно изображение Лапласа
непрерывной функции
(например, передаточная функция звена или системы, являющаяся изображением импульсной переходной функции), то
-преобразование этой функции можно определить следующим образом.
1. Нахождением по
самой функции
с последующим определением
-преобразования по формулам (8.35) и (8.36) или табл. 8.2 соответствия
Например, если
то по табл. 8.2 определяем
По той же таблице находим
2. С помощью
-преобразования, связывающего изображения
аналогичного
-преобразованию. Для определения
по
можно воспользоваться табл. 8.2. В том случае, когда
является сложной функцией, например
представляется в виде суммы элементарных дробей, для которых
-преобразования известны. Суммируя последние, получают
, соответствующее
Теоремы и правила
-преобразования аналогичны теоремам и правилам D-преобразования [35].