Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
В данной книге излагаются основы метода обратной задачи и его приложение к теории солитонов в том виде, как мы его понимаем в Ленинграде.
Понятие солитона было введено Крускалом и Забусским в 1965 году. Солитоном (уединенной волной) называют локализованное частицеподобное решение нелинейного уравнения, описывающее возбуждения с конечной энергией, которое обладает рядом характеристических свойств: при распространении изолированной волны она сохраняет свой профиль; при взаимодействии нескольких волн происходит их упругое рассеяние, так что сохраняются как их число, так и профили. Иногда понятие солитона трактуют в более широком смысле как локализованное решение с конечной энергией. В настоящее время понятие солитона получило широкое распространение. Это объясняется его универсальностью и обилием приложений при объяснении различных пропессов в нелинейных средах. Математический аппарат теории солитонов – метод обратной задачи – стал мощным инструментом математической физики для исследовання нелннейных уравнений в частных производных, сравнимым по силе с методом Фурье.
В основу кнпи положена гамильтонова интерпретация метода, что и объясняет выбор ее названия. В современной математической физике методы дифференциальной геометрии и, в особенности, гамильтонов формализм имеют больную популярность. Именно на основе общих соображений гамильтонова формализма метод обратной задачи получил наиболее элегантную формулировку. Кроме того, гамильтонов формализм является связующим звеном классической и квантовой механики. Поэтому данная книга, помимо введения в классическую теорию солитонов, является основой для перехода к квантовой теории солитонов, которую мы планируем изложить в следующей монографии.
Мы адресуем эту книгу специалистам по современной математической физике. Этим обусловлен выбор материала и уровень математической строгости. В то же время мы надеемся, что она будет интересна и специалистам в других областях математики, а также физикам-теоретикам. Однако как математическая монография она не содержит приложений теории солитонов к конкретным физическим явлениям.
Книга создавалась в течение двух лет в Ленинграде. Ее содержание претерпевало ряд изменений в связи с продолжающимся развитием метода. Мы надеемся, что в настоящем виде она приобрела достаточно устойчивую форму. В то же время мы не претендуем на полное отражение современного состояния метода. В этом смысле она является введением в предмет, а не изложением всех современных конструкций, связанных с многомерными обобщениями и представлениями бесконечномерных алгебраических структур.
Мы благодарны нашим коллегам по лаборатории математических проблем теоретической физики ЛОМИ: В. Е. Корепину, П. П. Кулишу, А. Г. Рейману, Н. Ю. Решетихину, М. А. Семенову-Тян-Шанскому, Е. К. Склянину и Ф. А. Смирнову, общение с которыми, бесспорно, повлияло на содержание этой книги. Мы также признательны В. О. Тарасову, взявшему на себя труд внимательно прочитать рукопись книги.
