В качестве первого применения полученных в предыдущем параграфе формул докажем, что построенные в § I. 4 локальные интегралы двшжения $I_{n}$ находятся в инволюции:
\[
\left\{I_{n}, I_{m}\right\}=0 .
\]

Но прежде всего мы должны убедиться, что $I_{n}$ являются допустимыми функционалами на фазовом пространстве $\mathscr{A}_{L, \theta}$ (см. § I.1). Мы покажем, что допустимым является производящий функционал $F_{L}(\lambda)$, введенный в § I:2:
\[
F_{L}(\lambda)=\operatorname{tr} T_{L}(\lambda) Q(\theta) .
\]

Будем исходить из квазипериодических граничных условий
\[
\psi(x+2 L)=e^{i \theta} \psi(x), \quad \bar{\psi}(x+2 L)=e^{-i \theta} \vec{\psi}(x)
\]

и фиксированной фундаментальной области – $L \leqslant x \leqslant L$. Рассмотрим матрицу перехода $T(x, y, \lambda)$ при $-L<y<x<L$. Как отмечалось в § 1 , ее матричные элементы являются финитными функционалами. Возможность их представления в внде рядов по $\psi(z), \bar{\psi}(z)$ типа (I.1.7) следует из того, что матрица перехода удовлетворяет вольтерровскому уравнению (I.3.26):
\[
T(x, y, \lambda)=E(x-y, \lambda)+\int_{y}^{x} T(x, z, \lambda) U_{0}(z) E(z-y, \lambda) d z,
\]

где $E(z, \lambda)=\exp \left\{\frac{\lambda z \sigma_{3}}{2 i}\right\}$. Итерации для него абсолютно сходятся и дают искомые ряды для матричных элементов матрицы $T(x, y, \lambda)$.

Вычислим теперь вариационные производные $\frac{\delta T(x, y, \lambda)}{\delta \psi(z)}$, $\frac{\delta T(x, y, \lambda)}{\delta \bar{\psi}(z)}$. Для этого воспользуемся формулой (1.35) и положим в ней
\[
\delta U(z, \lambda)=\sqrt{\gamma^{2}}\left(\delta \bar{\psi}(z) \sigma_{+}+\delta \psi(z) \sigma_{-}\right) .
\]

В результате при $y<z<x$ мы получим выражения
\[
\frac{\delta T(x, y, \lambda)}{\delta \psi(z)}=\sqrt{x} T(x, z, \lambda) \sigma_{-} T(z, y, \lambda)
\]

и
\[
\frac{\delta T(x, y, \lambda)}{\delta \bar{\Psi}(z)}=\sqrt{x} T(x, z, \lambda) \sigma_{+} T(z, y, \lambda) .
\]

При $z$ из фундаментальной области вне интервала $(y, x)$ эти вариационные производные исчезают.

Таким образом, вычисленные вариационные производные являются разрывными функциями. Поэтому матричные элементы матрицы $T(x, y, \lambda)$ нельзя считать допустимыми функционалами в смысле § I.1.

Для доказательства допустимости функционала $F_{L}(\lambda)$ перейдем в формулах (2.6) – (2.7) к пределу при $x \rightarrow L, y \rightarrow-L$ и рассмотрим вариационные производные $\frac{\delta T_{L}(\lambda)}{\delta \psi(z)}, \frac{\delta T_{L}(\lambda)}{\delta \bar{\psi}(z)}$ матрицы монодромии $T_{L}(\lambda)=T(L,-L, \lambda)$. Из (2.6)-(2.7) следует, что эти вариационные производные как функции $z$ являются гладкими в интервале $-L<z<L$. Переходя к пределу при $z \rightarrow L-0$

и $z \rightarrow-L+0$, получаем формулы
\[
\begin{array}{l}
\left.\frac{\delta T_{L}(\lambda)}{\delta \psi(z)}\right|_{z=L}=\sqrt{x} \sigma_{-} T_{L}(\lambda), \\
\left.\frac{\delta T_{L}(\lambda)}{\delta \bar{\psi}(z)}\right|_{z=L}=\sqrt{x} \sigma_{+} T_{L}(\lambda)
\end{array}
\]

и
\[
\begin{array}{l}
\left.\frac{\delta T_{L}(\hat{\lambda})}{\delta \psi(z)}\right|_{z=-L}=\sqrt{x} T_{L}(\lambda) \sigma_{-}, \\
\left.\frac{\delta T_{L}(\lambda)}{\delta \bar{\psi}(z)}\right|_{z=-L}=\sqrt{x} T_{L}(\lambda) \sigma_{+} .
\end{array}
\]

Отсюда видно, что матричные элементы матрицы монодромии также не являются допустимыми функционалами.

Продолжая доказательство допустимости $F_{L}(\lambda)$, умножим полученные равенства справа на матрицу $Q(\theta)$ и возьмем след. Используя элементарные формулы
\[
\begin{array}{c}
Q(\theta) \sigma_{+} Q^{-1}(\theta)=e^{i \theta} \sigma_{+}, \\
Q(\theta) \sigma_{-} Q^{-1}(\theta)=e^{-i \theta} \sigma_{-},
\end{array}
\]

получаем требуемые условия квазипериодичности:
\[
\begin{array}{l}
\left.\frac{\delta F_{L}(\lambda)}{\delta \bar{\psi}(z)}\right|_{z=L}=\left.e^{i \theta} \frac{\delta F_{L}(\lambda)}{\delta \bar{\psi}(z)}\right|_{z=-L}, \\
\left.\frac{\delta F_{L}(\lambda)}{\delta \psi(z)}\right|_{z=L}=\left.e^{-i \theta} \frac{\delta F_{L}(\lambda)}{\delta \psi(z)}\right|_{z=-L} .
\end{array}
\]

Для производных по $z \frac{d}{d z} \frac{\delta F_{L}(\lambda)}{\delta \psi(z)}$ и $\frac{d}{d z} \frac{\delta F_{L}(\lambda)}{\delta \bar{\Psi}(z)}$ справедливы аналогичные формулы:
\[
\begin{array}{l}
\left.\frac{d}{d z} \frac{\delta F_{L}(\lambda)}{\delta \bar{\psi}(z)}\right|_{z=L}=\left.e^{i \theta} \frac{d}{d z} \frac{\delta F_{L}(\lambda)}{\delta \bar{\psi}(z)}\right|_{z=-L}, \\
\left.\frac{d}{d z} \frac{\delta F_{L}(\lambda)}{\delta \psi(z)}\right|_{z=L}=\left.e^{-i \theta} \frac{d}{d z} \frac{\delta F_{L}(\lambda)}{\delta \psi(z)}\right|_{z=-L} .
\end{array}
\]

Для их вывода следует использовать справедливые при $y<z<x$ равенства
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial z} \frac{\delta T(x, y, \lambda)}{\delta \psi(z)}=\sqrt{x} T(x, z, \lambda)\left[\sigma_{-}, U(z, \lambda)\right] T(z, y, \lambda), \\
\frac{\partial}{\partial z} \frac{\delta T(x, y, \lambda)}{\delta \bar{\psi}(z)}=\sqrt{x} T(x, z, \lambda)\left[\sigma_{+}, U(z, \lambda)\right] T(z, y, \lambda),
\end{array}
\]

которые вытекают из формул (1.31), (1.39) и (2.6)-(2.7), и повторить предыдущие рассуждения с учетом условия квазипериодичности
\[
U(L, \lambda)=Q^{-1}(\theta) U(-L, \lambda) Q(\theta) .
\]

Условия (2.14) – (2.17) вместе с гладкостью функций $\frac{\delta F_{L}(\lambda)}{\delta \psi(z)}$, $\frac{\delta F_{L}(\lambda)}{\delta \bar{\psi}(z)}$ при $-L<z<L$ позволяют продолжить эти функции на всю вешественную ось $-\infty<z<\infty$ гладким квазипериодическим образом:
\[
\frac{\delta F_{L}(\lambda)}{\delta \bar{\psi}(z+2 L)}=e^{i \theta} \frac{\delta \bar{F}_{L}(\lambda)}{\delta \bar{\psi}(z)}, \frac{\delta F_{L}(\lambda)}{\delta \psi(z+2 L)}=e^{-i \theta} \frac{\delta F_{L}(\lambda)}{\delta \psi(z)} .
\]

При этом для бесконечно дифференцируемых функций $\psi(z), \bar{\psi}(z)$ вариационные пронзводные $\frac{\delta F_{L}(\lambda)}{\delta \psi(z)}, \frac{\delta F_{L}(\lambda)}{\delta \bar{\psi}(z)}$ также являются бесконечно дифференцируемыми квазипериодическими функциями на всей оси.

И наконец заметим, что функционал $F_{L}(\lambda)$ является вещественно-аналитическим. Его разложение в ряд типа (I.1.7) получается из соответствующего разложения для функционала $\operatorname{tr} T(x, y, \lambda) Q(\theta)$ предельным переходом при $x \rightarrow L, y \rightarrow-L$. Это завершает доказательство допустимости функционала $F_{L}(\lambda)$.

Покажем теперь, что интегралы движения, порожденные $F_{L}(\lambda)$, находятся в инволющии:
\[
\left\{F_{L}(\lambda), F_{L}(\mu)\right\}=0 .
\]

Для этого воспользуемся соотношением (1.20)
\[
\{T(x, y, \lambda) \otimes T(x, y, \mu)\}=[r(\lambda-\mu), T(x, y, \lambda) \otimes T(x, y, \mu)],
\]

где $-L<y<x<L$, и умножим его справа на матрицу $Q(\theta) \otimes$ $\otimes Q(\theta)$. Элементарное свойство
\[
[r(\lambda), Q \otimes Q]=0
\]

показывает, что соотношение (2.22) остается справедливым и при замене $T(x, y, \lambda)$ и $T(x, y, \mu)$ на $T(x, y, \lambda) Q(\theta)$ и $T(x, y, \mu) \times$ $\times Q(\theta)$. Возьмем теперь от получившегося равенства матричный след в $\mathbb{C}^{2} \otimes \mathbb{C}^{2}$ и воспользуемся свойством
\[
\operatorname{tr}(A \otimes B)=\operatorname{tr} A \cdot \operatorname{tr} B,
\]

где $\operatorname{tr}$ справа означает след в $\mathbb{C}^{2}$. Поскольку след от коммутатора исчезает, получаем соотношение
\[
\{\operatorname{tr} T(x, y, \lambda) Q(\theta), \operatorname{tr} T(x, y, \mu) Q(\theta)\}=0 .
\]

В нем можно перейти к пределу при $x \rightarrow L, y \rightarrow-L$; в результате получаем равенство (2.22).

Итак, мы доказали инволютивность интегралов движения рассматриваемой модели. Равенство (2.1) следует из формулы (2.22) с помощью разложения
\[
p_{L}(\lambda)=-\lambda L+\frac{\theta}{2}+x \sum_{n=1}^{\infty} \frac{I_{n}}{\lambda^{n}}+O\left(|\lambda|^{-\infty}\right),
\]

где
\[
p_{L}(\lambda)=\arccos \frac{1}{2} F_{L}(\lambda)
\]
(cм. § I.4).
С каждым локальным интегралом $I_{n}$ на многообразии $\mathscr{A}_{L, \theta}$ ассоциируется гамильтонов поток
\[
\frac{\partial \psi}{\partial t}=\left\{I_{n}, \psi\right\}, \quad \frac{\partial \bar{\psi}}{\partial t}=\left\{I_{n}, \bar{\Psi}\right\}
\]

Потоки, получающиеся при $n=1,2$, имеют простую физическую интерпретацию (см. § I.I); при $n=3$ получаем уравнение НШ. Соответствующие уравнения движения (особенно при $n>3$ ) принято называть высшими нелинейными уравнениями Шредингера (высшими уравнениями НШ).

Замечательным обстоятельством является тот факт, что, помимо тривиальных первых двух потоков, имеется также бесконечный набор коммутирующих потоков. Можно сказать, что в этом проявляется «скрытая симметрия» модели НШ.

Во избежание недоразумения отметим, что инволютивные функционалы из семейства $\operatorname{tr} T(x, y, \lambda) Q$, где, очевидно, матрица $Q$ может быть произвольной, не имеют отношения к рассматриваемой модели. Во-первых, они не имеют гладких вариационных производных и поэтому являются недопустимыми функционалами. Но даже если мы и согласимся расширить класс допустимых наблюдаемых, функционалы $\operatorname{tr} T(x, y, \lambda) Q$ не находятся в инволюции с интегралами $I_{n}$ и не помогают интегрируемости модели НШ.

Существование бесконечного количества инволютивных интегралов движения указывает на возможность полной интегрируемости нашей модели. В случае фазового пространства конечной размерности $2 n$ имеется теорема Лиувилля-Арнольда, утверждающая, что гамильтонова система является вполне интегрируемой, если она обладает набором из $n$ (половина размерности фазового пространства) интегралов движения в инволюции. При этом само фазовое пространство расслаивается на подмногообразия размерности $n$, движение вдоль которых линейно.

В нашем случае фазовое пространство бесконечномерно и ситуация с интегрируемостью не столь проста ввиду отсутствия аналога теоремы Лиувилля – Арнольда. Рассуждая наивно, можно, конечно, утверждать, что «число» интегралов движения $I_{n}$, содержащихся в $p_{L}(\lambda)$, равно «половине размерности» фазового пространства и что эти интегралы являются функционально независимыми.

Однако в квазипериодическом случае реализация этих соображений и, в особенности, построение переменных типа углов (движение вдоль которых линейно) требует привлечения анализа на римановых поверхностях (в общем случае бесконечного рода) – аппарата, выходящего за рамки этой книги. Поэтому мы: не будем продвигаться дальше в изучении квазипериодического случая, используя его лишь для отработки основных конструкций, связанных с $r$-матрицей (см. §3–5). Напротив, в быстроубывающем случае и для граничных условий конечной плотности мы до конца исследуем вопрос о полной интегрируемости и явно построим соответствующие переменные типа действие угол.