Приведенная матрица монодромии $T(\lambda)$ при вещественных $\lambda$ опредетяется как отношение решений Иоста
\[
T(\lambda)=T_{+}^{-1}(x, \lambda) T_{-}(x, \lambda)
\]
и может быть представлена в виде предела
\[
T(\lambda)=\lim _{\substack{x \rightarrow+\infty \\ y \rightarrow-\infty}} E(-x, \lambda) T(x, y, \lambda) E(y, \lambda) .
\]
Матрица $T(\lambda)$ унимодулярна, удовлетворяет соотношению инволюции
\[
\bar{T}(\lambda)=\sigma_{2} T(\lambda) \sigma_{2}
\]
и обладает свойством
\[
\left.T(\lambda)\right|_{i=0}=I .
\]
Она представляется в виде
\[
T(\lambda)=\left(\begin{array}{rr}
a(\lambda) & -\bar{b}(\lambda) \\
b(\lambda) & \bar{a}(\lambda)
\end{array}\right),
\]
где коэффициенты $a(\lambda)$ и $b(\lambda)$ (коэффициенты перехода непрерывного спектра) удовлетворяют соотношению нормировки
и условиям
\[
|a(\lambda)|^{2}+|b(\lambda)|^{2}=1
\]
\[
a(0)=1, \quad b(0)=0 .
\]
Из (1.28)-(1.29) получаем формулу связи
\[
T^{\mathrm{Mr}}(\lambda)=\Omega_{0}^{-1} T^{\mathrm{L} \amalg}(\lambda),
\]
откуда имеем
\[
\Omega_{\jmath}^{-1}=\lim _{|\lambda| \rightarrow \infty} T^{M \Gamma}(\lambda) .
\]
Отсюда и из (1.44) получаем, в соответствии с (1.36):
\[
\left.T^{\mathrm{H}}(\lambda)\right|_{\lambda=0}=\Omega_{0},
\]
так что
а матрица $\Omega_{0}$ имеет вид
\[
b^{\mathrm{HIII}}(0)=0,
\]
\[
\Omega_{0}=\left(\begin{array}{cc}
a^{\mathrm{H \amalg}}(0) & 0 \\
0 & a^{-\mathrm{H}}(0)
\end{array}\right)
\]
и унимодулярна. Расписывая соотношение (1.48), имеем
\[
a^{\mathrm{M \Gamma}}(\lambda)=\frac{a^{\mathrm{H \amalg}}(\lambda)}{a^{\mathrm{H \amalg}}(0)}, \quad b^{\mathrm{M \Gamma}}(\lambda)=\frac{b^{\mathrm{HU}}(\lambda)}{\bar{a}^{\mathrm{HII}}(0)} .
\]
Таким образом, при калибровочном преобразовании в рамках быстроубывающих граничных условий модель МГ порождает модель НШ, коэффициенты перехода которой удовлетворяют дополнительному условию (1.51).
Аналитические свойства коэффициентов перехода $a(\lambda)$ и $b(\lambda)$ аналогичны случаю модели НІШ. Функция $a(\lambda)$ допускает аналитическое продолжение в верхнюю полуплоскость переменной $\lambda$ и при $|\lambda| \rightarrow \infty$ имеет асимптотику
\[
a(\lambda)=\omega_{0}+O\left(\frac{1}{|\lambda|}\right),
\]
где $\omega_{0}$ – верхний диагональный элемент матрицы $\Omega_{0}^{-\mathbf{1}},\left|\omega_{0}\right|=1$. Қак и в случае модели НШ, на возможные нули функции $a(\lambda)$. мы будем накладывать условие (A), означающее, что все нули $\lambda_{j}$ простые и $\operatorname{Im} \lambda_{j}>0$. Отсюда следует, что их число $n$ конечно и при вещественных $\lambda$ выполняется строгое неравенство
\[
|b(\lambda)|<1 .
\]
Числа $\lambda_{j}, \bar{\lambda}_{j}, j=1, \ldots, n$, образуют дискретный спектр вспомогательной линейной задачи (1.1). Соответствующие коэффи-
циенты перехода $\gamma_{j}, \bar{\gamma}_{j}$ вводятся посредством соотношений
\[
T_{-1}^{(1)}\left(x, \lambda_{j}\right)=\gamma_{j} T_{+}^{(2)}\left(x, \lambda_{j}\right), \quad j=1, \ldots, n .
\]
Имеют место формулы связи
\[
\lambda_{j}^{\mathrm{Mr}}=\lambda_{j}^{\mathrm{HW}}, \quad \gamma_{j}^{\mathrm{Mr}}=\frac{1}{\bar{a}^{\mathrm{HW}}(0)} \gamma_{j}^{\mathrm{HW}}, \quad j=1, \ldots, n .
\]
Коэффициент $b(\lambda)$ является функцией типа Шварца и, вообще говоря, не допускает аналитического продолжения с вещественной оси. В случае, когда для некоторого $q>0$ при $|x| \geqslant q$ матрица $S(x)$ совпадает со своей асимптотикой – матрицей $\sigma_{3}$, коэффициент $b(\lambda)$ (а вместе с ним и $a(\lambda)$ ) аналитически продолжается на всю комплексную плоскость. При этом
\[
\gamma_{j}=b\left(\lambda_{j}\right), \quad j=1, \ldots, n .
\]
Функция $a(\lambda)$ однозначно определяется по коэффициенту $b(\lambda)$ и нулям $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}$. Соответствующее дисперсионное соотношение имеет вид
\[
a(\lambda)=\omega_{0} \prod_{j=1}^{n} \frac{\lambda-\lambda_{i}}{\lambda-\bar{\lambda}_{j}} \exp \left\{\frac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\ln \left(1-|b(\mu)|^{2}\right)}{\mu-\lambda-i 0} d \mu\right\},
\]
где
\[
\omega_{0}=\prod_{j=1}^{n} \frac{\bar{\lambda}_{j}}{\lambda_{i}} \exp \left\{-\frac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\ln \left(1-|b(\mu)|^{2}\right)}{\mu} d \mu\right\} .
\]
Интеграл в правой части последней формулы сходится абсолютно в силу условия (1.47).
Приведенные выше результаты можно интерпретировать как описание отображения
\[
\mathscr{F}:(S(x)) \mapsto\left(b(\lambda), \bar{b}(\lambda) ; \lambda_{j}, \bar{\lambda}_{j}, \gamma_{j}, \bar{\gamma}_{j}, \quad j=1, \ldots, n\right) .
\]
В следующем параграфе мы убедимся, что отображение $\mathscr{F}$ является обратимым, а в § 3 покажем, что оно определяет каноническое преобразование к переменным типа действие – угол.
