Приведем несколько удобных представлений для коэффициентов перехода. Во-первых, используя унимодулярность $T_{+}(x,\lambda )$ и представление (5.40), получаем для $a(\lambda )$ и $b(\lambda )$ выражения
$$\begin{array}{l}a(\lambda )=\det (T_{-}^{(1)}(x,\lambda ),T_{+}^{(2)}(x,\lambda )),\\ b(\lambda )=\det (T_{+}^{(1)}(x,\lambda ),T_{-}^{(1)}(x,\lambda )),\end{array}$$

где мы употребили введенное выше обозначение для матрицы через ее столбцы. Из свойств аналитичности столбцов $T_{-}^{(1)}(x,\lambda )$, $T_{+}^{(2)}(x,\lambda )$ и асимптотик (5.26), (5.27) получаем, что $a(\lambda )$ аналитически продолжается в верхнюю полуплоскость $\mathrm{Im}\lambda ⩾0$ и имеет там асимптотику при $|\lambda |\to \mathrm{\infty }$
$$a(\lambda )=1+o(1).$$

Коэффициент $\overline{a}(\hat{\lambda })$ аналитически продолжается в нижнюю полуплоскость; обозначая это продолжение через $a^{\ast }(\lambda )$, имеем
$$a^{\ast }(\lambda )=\overline{a}(\overline{\lambda }),\mathrm{Im}\lambda ⩽0.$$

Выражение (6.2) и свойства аналитичности столбцов $T_{\pm }^{(1)}(x,\lambda )$ показывают, что $b(\lambda )$, вообще говоря, не допускает аналитического продолжения в комплексную плоскость. Однако для финитных функций $\psi (x),\overline{\psi }(x)$ коэффициенты $a(\lambda )$ и $b(\lambda )$ являются целыми функциями.

Приведем теперь интегральные представления для $a(\lambda )$ и $b(\lambda )$, которые получаются предельным переходом в интегральных представлениях (3.46) и (3.47) для $a_L(\lambda )$ и $b_L(\lambda )$.
Начнем с коэффициента $a_L(\lambda )$ и перепишем (3.46) в виде
$$e^{i\lambda L}{a}_L(\lambda )=1+{\int }_{\theta }^{iL}{\alpha }_L^{\prime }(x)e^{i\lambda x}dx,$$

где
$${\alpha }_L^{\prime }(x)={\alpha }_L(L-x)=2\alpha (L,-L,L-2x).$$

Из интегрального уравнения (3.34) получаем, что
$$\begin{array}{r}\alpha (L,-L,L-2x)=\epsilon \sqrt{x}{\int }_{-L}^{L-x}\overline{\beta }(L,s,2s+2x-L)\psi (s)ds=\\ =\epsilon \sqrt{x}{\int }_{-L}^{L-x}\overline{\stackrel{~}{\beta }}(L,s,s+2x)\psi (s)ds,\end{array}$$

где в последнем равенстве мы воспользовались соотношением (3.42). Вспоминая определения (5.17) ядра ${\mathrm{\Gamma }}_{+}(x,z)$ и оценку

(5.14), из (6.7) заключаем, что при $x⩾0$ существует предел
$$\alpha (x)=\underset{L\to \mathrm{\infty }}{lim}{\alpha }_L^{\prime }(x)=-2\epsilon \sqrt{x}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\overline{\beta }}_{+}(s,s+2x)\psi (s)ds$$

и при этом
$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}|\alpha (x)|dx<\mathrm{\infty }$$

Таким образом, мы получаем для $a(\lambda )$ интегральное представление
$$a(\lambda )=1+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\alpha (x)e^{i\lambda x}dx$$

где функция $\alpha (x)$ принадлежит $L_1(0,\mathrm{\infty })$.
Рассмотрим теперь коэффициент $b_L(\lambda )$, для которого имеем представление (3.47):

где
$$\begin{array}{c}{b}_L(\lambda )={\int }_{-L}^L{\beta }_L(x)e^{i\lambda x}dx,\\ {\beta }_L(x)=2\beta (L,-L,2x-L).\end{array}$$

Покажем, что ${\beta }_L(x)$ имеет предел при $L\to \mathrm{\infty }$. Из интегрального уравнения (3.34) и соотношения (3.41) получаем
$$\begin{array}{l}\beta (L,-L,2x-L)=\frac{\sqrt{x}}{2}\psi (x)+\\ +\sqrt{\overline{x}}{\int }_{-L}^x\overline{\alpha }(L,s,2s-2x+L)\psi (s)ds=\frac{\sqrt{\overline{x}}}{2}\psi (x)+\\ +\sqrt{\overline{x}}{\int }_{-L}^x\overline{\stackrel{~}{\alpha }}(L,s,2x-s)\psi (s)ds.\end{array}$$

Отсюда и из оценки (5.14) следует, что существует предел
$$\beta (x)=\underset{L\to \mathrm{\infty }}{lim}{\beta }_L(x)=\sqrt{x}\psi (x)+2\sqrt{x}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^x{\alpha }_{+}(s,2x-s)\psi (s)ds$$

и при этом
$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|\beta (x)|dx<\mathrm{\infty }$$

В результате для $b(\lambda )$ получаем искомое представление
$$b(\lambda )={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\beta (x)e^{i\lambda x}dx$$

где функция $\beta (x)$ принадлежит $L_1(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$.

Множество всех функций вида
$$F(\lambda )={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)e^{i\lambda x}dx,$$

где $f(x)$ принадлежит $L_1(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$, образует известное в литературе полное нормированное кольцо ${\mathfrak{R}}_0$. Тем самым коэффициент $b(\lambda )$ принадлежит ${\mathrm{\Re }}_0$ при наших условиях на $\psi (x),\overline{\psi }(x)$. В свою очередь $a(\lambda )$ принадлежит кольцу ${\mathrm{\Re }}_{+}$, образованному функциями вида
$$F_{+}(\lambda )=c+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{f}_{+}(x)e^{i\lambda x}dx$$

где $f_{+}(x)$ из $L_1(0,\mathrm{\infty })$. Функции из ${\mathrm{\Re }}_{+}$аналитически продолжаются в верхнюю полуплоскость и обращаются в $c$ при $|\lambda |\to \mathrm{\infty }$.

Сформулированные выше аналитические свойства коэффициентов перехода $a(\lambda )$ и $b(\lambda )$ также непосредственно следуют и из полученных интегральных представлений. Последние дают полную характеристику коэффициентов перехода в терминах их преобразований Фурье.

В отношении гладкости функции $\alpha (x)$ и $\beta (x)$ ведут себя ровно так же, как и функции $\psi (x),\overline{\psi }(x)$. Если последние принадлежат пространству Шварца, то такой же будет функция $\beta (x)$ и, следовательно, $b(\lambda )$. Функция же $\alpha (x)$ при этом будет бесконечно дифференцируема и шварцевского типа на $+\mathrm{\infty }$.

Обсудим теперь вопрос о нулях коэффициента $a(\lambda )$ в верхней полуплоскости $\mathrm{Im}\lambda ⩾0$. ствительно, на вещественной оси $a(\lambda )$ не обращается в нуль в силу соотношения нормировки. Предположим теперь, что $a\left({\lambda }_0\right)=0$ при $\mathrm{Im}{\lambda }_0>0$. Тогда из (6.1) получаем, что столбцы $T_{-}^{(1)}(x,\lambda )$ и $T_{+}^{(2)}(x,\lambda )$ линейно зависимы. Из интегральных представлений (5.10) и (5.16) следует, что при $\mathrm{Im}\lambda >0$ столбец $T_{-}^{(\mathbf{1})}(x,\lambda )$ экспоненциально убывает при $x\to -\mathrm{\infty }$, а столбец $T_{+}^{(2)}(x,\lambda )$ — при $x\to +\mathrm{\infty }$. Таким образом, мы получаем, что при $\lambda ={\lambda }_0$ уравнение (5.21) имеет столбец-решение, экспоненциально убывающее при $|x|\to \mathrm{\infty }$. Однако (5.21) эквивалентно спектральной задаче (5.23) для формально самосопряженного оператора $\mathcal{L}(5.24)$, для которого ${\lambda }_0$ становится невещественным собственным значением. Полученное противоречие показывает, что $a(\lambda )$ не может иметь комплексных нулей.

При $x<0$ оператор $\mathcal{L}$ не самосопряжен и функция а $(\lambda )$ может иметь нули. Известные нам ее свойства накладывают на эти нули лишь слабые ограничения. Из аналитичности и асимптотики (6.3) следует, что эти нули сосредоточены в конечной

части полуплоскости $\mathrm{Im}\lambda ⩾0$ и могут иметь точки сгущения лишь на вешественной оси.

Для упрощения дальнейшего исследования мы предположим, что выполняется следующее условие (A):
$\left(A_1\right)$ вещественные нули отсутствуют;
$\left({\mathrm{A}}_2\right)$ все нули простье.
Отсюда, в частности, следует, что общее число нулей конечно и для $b(\lambda )$ выполняется строгое неравенство
$$|b(\lambda )|<1\text{. }$$

В терминах функций $\psi (x),\overline{\psi }(x)$ соответствующие достаточные условия сложно сформулировать. Это связано с трудными вопросами спектрального анализа несамосопряженных дифференциальных операторов. Однако для наших целей исследования динамической системы модели НШ это обстоятельство не слишком существенно. Дело в том, что функции $\psi (x),\overline{\psi }(x)$, для которых выполняется условие (А), образуют в некотором естественном смысле открытое всюду плотное множество в фазовом пространстве ${\mathcal{M}}_0$. Ниже в гл. III мы дадим альтернативное описание ${\mathcal{A}}_0$, при котором сделанное утверждение станет более ясным.

Пусть ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ — полный набор нулей $a(\lambda ),\mathrm{Im}{\lambda }_j>0,j=$ $=1,\dots ,n$. Как уже отмечалось выше, при $\lambda ={\lambda }_j$ столбцы $T_{-}^{(1)}(x,\lambda )$ и $T_{+}^{(2)}(x,\lambda )$ пропорциональны; коэффициент пропорциональности обозначим через ${\gamma }_j,{\gamma }_{j}eq0$ :
$$T_{-}^{(1)}(x,{\lambda }_j)={\gamma }_i{T}_{+}^{(2)}(x,{\lambda }_j),j=1,\dots ,n.$$

Набор комплексных чисел ${\gamma }_j$ является характеристикой вспомогательной линейной задачи и будет играть важную роль в дальнейшем.

Из формулы (6.4) ясно, что функция $a^{\ast }(\hat{\lambda })$ имеет в нижней полуплоскости нули в точках ${\overline{\lambda }}_1,\dots ,{\overline{\lambda }}_n$. Используя свойство инволюцин, получаем, что
$$T_{-}^{(2)}(x,{\overline{\lambda }}_j)=-{\overline{\gamma }}_j{T}_{+}^{(1)}(x,{\overline{\lambda }}_j),j=1,\dots ,n.$$

Для финитных функций $\psi (x),\overline{\psi }(x)$ формула (5.41), характеризующая приведенную матрицу монодромии, имеет смысл liр!! всех комплексных $\lambda$. Полагая в ней $\lambda ={\lambda }_j$ и $\lambda ={\overline{\lambda }}_j$, получаем для коэффициентов ${\gamma }_j$ и ${\overline{\gamma }}_j$ выражения ${\gamma }_j=b\left({\lambda }_j\right),{\overline{\gamma }}_j=\overline{b}\left({\lambda }_j\right),j=1,\dots ,n$.
Подчеркнем, что эти формулы справедливы только для финитных $\psi (x),\overline{\psi }(x)$.

Набор чисел ${\lambda }_j,{\overline{\lambda }}_j,j=1,\dots ,n$, составляет дискретный спектр спектральной задачи (5.23) при $x<0$. Кроме него, при любом $x$

оператор $\mathcal{L}$ имеет двукратный непрерывный спектр, заполняющий всю вещественную ось в соответствии с тем, что при вещественных $\lambda$ уравнение (5.23) имеет два ограниченных по $x$ линейно независимых столбца-решения. Таковыми являются, например, столбцы матрицы $T_{-}(x,\lambda )$ или $T_{+}(x,\lambda )$. В соответствии с этой интерпретацией $a(\lambda )$ и $b(\lambda )$ будем называть коэффициентами перехода непрерывного спектра, а ${\gamma }_i,{\overline{\gamma }}_j,j=1,\dots ,n$, коэффициентами перехода дискретного спектра.

В заключение этого параграфа покажем, что аналитичность $a(\lambda )$ и соотношение нормировки позволяют выразить этот коэффициент через его нули, если таковые есть, и $b(\lambda )$. Именно, при $\mathrm{Im}\lambda >0$ имеют место формулы
$$a(\lambda )=\exp \left\{\frac{1}{2\pi i}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{\ln (1+|b(\mu ){|}^2)}{\mu -\lambda }d\mu \right\},$$

где $\varkappa >0$, и
$$a(\lambda )=\exp \left\{\frac{1}{2\pi i}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{\ln (1-|b(\mu ){|}^2)}{\mu -\lambda }d\mu \right\}\prod _{i=1}^n\frac{\lambda -{\lambda }_i}{\lambda -{\overline{\lambda }}_i},$$

тде $x<0$. Они допускают переход на вещественную ось по правилу (формула Сохоцкого — Племеля)
$$\frac{1}{\mu -\lambda }\to \frac{1}{\mu -\lambda -i0}=v.p\cdot \frac{1}{\mu -\lambda }+\pi i\delta (\mu -\lambda ),$$

где v. p. означает главное значение.
Для доказательства представления (6.23) рассмотрим аналитическую в верхней полуплоскости функцию
$$\tilde{a}(\lambda )=a(\lambda )\prod _{i=1}^n\frac{\lambda -{\overline{\lambda }}_i}{\lambda -{\lambda }_i},$$

которая отличается от $a(\lambda )$ на произведение элементарных множителей Бляшке. Функция $\tilde{a}(\lambda )$ уже не имеет нулей при $\mathrm{Im}\lambda ⩾0$ и по-прежнему удовлетворяет при $|\lambda |\to \mathrm{\infty }$ асимптотическому условию (6.3). На вещественной оси
$$|\tilde{a}(\lambda ){|}^2=|a(\lambda ){|}^2=1-|b(\lambda ){|}^2.$$

Функция $\eta (\lambda )=\ln \tilde{a}(\lambda )$ также аналитична при $\mathrm{Im}\lambda >0$, исчезает при $|\lambda |\to \mathrm{\infty }$ и непрерывна вплоть до вещественной оси в силу условия ( ${\mathrm{A}}_1$ ). Поэтому ее вещественная и мнимая части при вещественных $\lambda$ связаны соотношением
$$\mathrm{Im}\eta (\lambda )=-\frac{1}{\pi }\text{ v. p. }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{Re}\eta (\mu )}{\mu -\lambda }d\mu ,$$

которое немедленно следует из теоремы Коши. В физической литературе формула ( $6.2\overline{i}$ ) называется дисперсионным соотношением. Используя формулу (6.24), ее можно переписать в виде
$$\eta (\lambda )=\frac{1}{\pi i}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{Re}\eta (\mu )}{\mu -\lambda }d\mu ,\mathrm{Im}\lambda >0.$$

Представление (6.23) теперь следует из (6.28) и очевидного соотношения
$$\mathrm{Re}\eta (\lambda )=\ln |\tilde{a}(\lambda )|=\frac{1}{2}\ln (1-|b(\lambda ){|}^2).$$

Формула (6.22) доказывается аналогично. На этом мы заканчиваем исследование аналитических свойств коэффициентов. перехода.

Подводя итоги $\mathrm{\S }5-7$, мы можем сказать, что в них построено отображение
$$(\psi (x),\overline{\psi }(x))\to (b(\lambda ),\overline{b}(\lambda );{\lambda }_j,{\overline{\lambda }}_j,{\gamma }_j,{\overline{\gamma }}_j)$$

и описан его образ для различных классов функций $\psi (x),\overline{\psi }(x)$. Так, функциям $\psi (x),\overline{\psi }(x)$ из $L_1(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ соответствуют $b(\lambda )$ и $\overline{b}(\lambda )$ из ${\mathfrak{R}}_0$; шварцевским функциям $\psi (x),\overline{\psi }(x)$ соответствуют шварцевские функции $b(\lambda ),\overline{b}(\lambda )$.

Это отображение будет играть важную роль для полного описания динамики нашей модели. Так, в следующем параграфе мы убедимся, что в новых переменных уравнения движения становятся тривиальными, а в следующей главе мы исследуем обратимость отображения (6.30).