Приведем несколько удобных представлений для коэффициентов перехода. Во-первых, используя унимодулярность $T_{+}(x, \lambda)$ и представление (5.40), получаем для $a(\lambda)$ и $b(\lambda)$ выражения
\[
\begin{array}{l}
a(\lambda)=\operatorname{det}\left(T_{-}^{(1)}(x, \lambda), T_{+}^{(2)}(x, \lambda)\right), \\
b(\lambda)=\operatorname{det}\left(T_{+}^{(1)}(x, \lambda), T_{-}^{(1)}(x, \lambda)\right),
\end{array}
\]

где мы употребили введенное выше обозначение для матрицы через ее столбцы. Из свойств аналитичности столбцов $T_{-}^{(1)}(x, \lambda)$, $T_{+}^{(2)}(x, \lambda)$ и асимптотик (5.26), (5.27) получаем, что $a(\lambda)$ аналитически продолжается в верхнюю полуплоскость $\operatorname{Im} \lambda \geqslant 0$ и имеет там асимптотику при $|\lambda| \rightarrow \infty$
\[
a(\lambda)=1+o(1) .
\]

Коэффициент $\bar{a}(\hat{\lambda})$ аналитически продолжается в нижнюю полуплоскость; обозначая это продолжение через $a^{*}(\lambda)$, имеем
\[
a^{*}(\lambda)=\bar{a}(\bar{\lambda}), \quad \operatorname{Im} \lambda \leqslant 0 .
\]

Выражение (6.2) и свойства аналитичности столбцов $T_{ \pm}^{(1)}(x, \lambda)$ показывают, что $b(\lambda)$, вообще говоря, не допускает аналитического продолжения в комплексную плоскость. Однако для финитных функций $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ коэффициенты $a(\lambda)$ и $b(\lambda)$ являются целыми функциями.

Приведем теперь интегральные представления для $a(\lambda)$ и $b(\lambda)$, которые получаются предельным переходом в интегральных представлениях (3.46) и (3.47) для $a_{L}(\lambda)$ и $b_{L}(\lambda)$.
Начнем с коэффициента $a_{L}(\lambda)$ и перепишем (3.46) в виде
\[
e^{i \lambda L} a_{L}(\lambda)=1+\int_{\theta}^{i L} \alpha_{L}^{\prime}(x) e^{i \lambda x} d x,
\]

где
\[
\alpha_{L}^{\prime}(x)=\alpha_{L}(L-x)=2 \alpha(L,-L, L-2 x) .
\]

Из интегрального уравнения (3.34) получаем, что
\[
\begin{array}{r}
\alpha(L,-L, L-2 x)=\varepsilon \sqrt{x} \int_{-L}^{L-x} \bar{\beta}(L, s, 2 s+2 x-L) \psi(s) d s= \\
=\varepsilon \sqrt{x} \int_{-L}^{L-x} \overline{\tilde{\beta}}(L, s, s+2 x) \psi(s) d s,
\end{array}
\]

где в последнем равенстве мы воспользовались соотношением (3.42). Вспоминая определения (5.17) ядра $\Gamma_{+}(x, z)$ и оценку

(5.14), из (6.7) заключаем, что при $x \geqslant 0$ существует предел
\[
\alpha(x)=\lim _{L \rightarrow \infty} \alpha_{L}^{\prime}(x)=-2 \varepsilon \sqrt{x} \int_{-\infty}^{\infty} \bar{\beta}_{+}(s, s+2 x) \psi(s) d s
\]

и при этом
\[
\int_{0}^{\infty}|\alpha(x)| d x<\infty
\]

Таким образом, мы получаем для $a(\lambda)$ интегральное представление
\[
a(\lambda)=1+\int_{0}^{\infty} \alpha(x) e^{i \lambda x} d x
\]

где функция $\alpha(x)$ принадлежит $L_{1}(0, \infty)$.
Рассмотрим теперь коэффициент $b_{L}(\lambda)$, для которого имеем представление (3.47):

где
\[
\begin{array}{c}
b_{L}(\lambda)=\int_{-L}^{L} \beta_{L}(x) e^{i \lambda x} d x, \\
\beta_{L}(x)=2 \beta(L,-L, 2 x-L) .
\end{array}
\]

Покажем, что $\beta_{L}(x)$ имеет предел при $L \rightarrow \infty$. Из интегрального уравнения (3.34) и соотношения (3.41) получаем
\[
\begin{array}{l}
\beta(L,-L, 2 x-L)=\frac{\sqrt{x}}{2} \psi(x)+ \\
+\sqrt{\bar{x}} \int_{-L}^{x} \bar{\alpha}(L, s, 2 s-2 x+L) \psi(s) d s=\frac{\sqrt{\bar{x}}}{2} \psi(x)+ \\
+\sqrt{\bar{x}} \int_{-L}^{x} \overline{\tilde{\alpha}}(L, s, 2 x-s) \psi(s) d s .
\end{array}
\]

Отсюда и из оценки (5.14) следует, что существует предел
\[
\beta(x)=\lim _{L \rightarrow \infty} \beta_{L}(x)=\sqrt{x} \psi(x)+2 \sqrt{x} \int_{-\infty}^{x} \alpha_{+}(s, 2 x-s) \psi(s) d s
\]

и при этом
\[
\int_{-\infty}^{\infty}|\beta(x)| d x<\infty
\]

В результате для $b(\lambda)$ получаем искомое представление
\[
b(\lambda)=\int_{-\infty}^{\infty} \beta(x) e^{i \lambda x} d x
\]

где функция $\beta(x)$ принадлежит $L_{1}(-\infty, \infty)$.

Множество всех функций вида
\[
F(\lambda)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{i \lambda x} d x,
\]

где $f(x)$ принадлежит $L_{1}(-\infty, \infty)$, образует известное в литературе полное нормированное кольцо $\mathfrak{R}_{0}$. Тем самым коэффициент $b(\lambda)$ принадлежит $\Re_{0}$ при наших условиях на $\psi(x), \bar{\psi}(x)$. В свою очередь $a(\lambda)$ принадлежит кольцу $\mathfrak{\Re}_{+}$, образованному функциями вида
\[
F_{+}(\lambda)=c+\int_{0}^{\infty} f_{+}(x) e^{i \lambda x} d x
\]

где $f_{+}(x)$ из $L_{1}(0, \infty)$. Функции из $\Re_{+}$аналитически продолжаются в верхнюю полуплоскость и обращаются в $c$ при $|\lambda| \rightarrow \infty$.

Сформулированные выше аналитические свойства коэффициентов перехода $a(\lambda)$ и $b(\lambda)$ также непосредственно следуют и из полученных интегральных представлений. Последние дают полную характеристику коэффициентов перехода в терминах их преобразований Фурье.

В отношении гладкости функции $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ ведут себя ровно так же, как и функции $\psi(x), \bar{\psi}(x)$. Если последние принадлежат пространству Шварца, то такой же будет функция $\beta(x)$ и, следовательно, $b(\lambda)$. Функция же $\alpha(x)$ при этом будет бесконечно дифференцируема и шварцевского типа на $+\infty$.

Обсудим теперь вопрос о нулях коэффициента $a(\lambda)$ в верхней полуплоскости $\operatorname{Im} \lambda \geqslant 0$. ствительно, на вещественной оси $a(\lambda)$ не обращается в нуль в силу соотношения нормировки. Предположим теперь, что $a\left(\lambda_{0}\right)=0$ при $\operatorname{Im} \lambda_{0}>0$. Тогда из (6.1) получаем, что столбцы $T_{-}^{(1)}(x, \lambda)$ и $T_{+}^{(2)}(x, \lambda)$ линейно зависимы. Из интегральных представлений (5.10) и (5.16) следует, что при $\operatorname{Im} \lambda>0$ столбец $T_{-}^{(\mathbf{1})}(x, \lambda)$ экспоненциально убывает при $x \rightarrow-\infty$, а столбец $T_{+}^{(2)}(x, \lambda)$ – при $x \rightarrow+\infty$. Таким образом, мы получаем, что при $\lambda=\lambda_{0}$ уравнение (5.21) имеет столбец-решение, экспоненциально убывающее при $|x| \rightarrow \infty$. Однако (5.21) эквивалентно спектральной задаче (5.23) для формально самосопряженного оператора $\mathscr{L}(5.24)$, для которого $\lambda_{0}$ становится невещественным собственным значением. Полученное противоречие показывает, что $a(\lambda)$ не может иметь комплексных нулей.

При $x<0$ оператор $\mathscr{L}$ не самосопряжен и функция а $(\lambda)$ может иметь нули. Известные нам ее свойства накладывают на эти нули лишь слабые ограничения. Из аналитичности и асимптотики (6.3) следует, что эти нули сосредоточены в конечной

части полуплоскости $\operatorname{Im} \lambda \geqslant 0$ и могут иметь точки сгущения лишь на вешественной оси.

Для упрощения дальнейшего исследования мы предположим, что выполняется следующее условие (A):
$\left(A_{1}\right)$ вещественные нули отсутствуют;
$\left(\mathrm{A}_{2}\right)$ все нули простье.
Отсюда, в частности, следует, что общее число нулей конечно и для $b(\lambda)$ выполняется строгое неравенство
\[
|b(\lambda)|<1 \text {. }
\]

В терминах функций $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ соответствующие достаточные условия сложно сформулировать. Это связано с трудными вопросами спектрального анализа несамосопряженных дифференциальных операторов. Однако для наших целей исследования динамической системы модели НШ это обстоятельство не слишком существенно. Дело в том, что функции $\psi(x), \bar{\psi}(x)$, для которых выполняется условие (А), образуют в некотором естественном смысле открытое всюду плотное множество в фазовом пространстве $\mathscr{M}_{0}$. Ниже в гл. III мы дадим альтернативное описание $\mathscr{A}_{0}$, при котором сделанное утверждение станет более ясным.

Пусть $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}$ – полный набор нулей $a(\lambda), \operatorname{Im} \lambda_{j}>0, \quad j=$ $=1, \ldots, n$. Как уже отмечалось выше, при $\lambda=\lambda_{j}$ столбцы $T_{-}^{(1)}(x, \lambda)$ и $T_{+}^{(2)}(x, \lambda)$ пропорциональны; коэффициент пропорциональности обозначим через $\gamma_{j}, \gamma_{j}
eq 0$ :
\[
T_{-}^{(1)}\left(x, \lambda_{j}\right)=\gamma_{i} T_{+}^{(2)}\left(x, \lambda_{j}\right), \quad j=1, \ldots, n .
\]

Набор комплексных чисел $\gamma_{j}$ является характеристикой вспомогательной линейной задачи и будет играть важную роль в дальнейшем.

Из формулы (6.4) ясно, что функция $a^{*}(\hat{\lambda})$ имеет в нижней полуплоскости нули в точках $\bar{\lambda}_{1}, \ldots, \bar{\lambda}_{n}$. Используя свойство инволюцин, получаем, что
\[
T_{-}^{(2)}\left(x, \bar{\lambda}_{j}\right)=-\bar{\gamma}_{j} T_{+}^{(1)}\left(x, \bar{\lambda}_{j}\right), \quad j=1, \ldots, n .
\]

Для финитных функций $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ формула (5.41), характеризующая приведенную матрицу монодромии, имеет смысл liр!! всех комплексных $\lambda$. Полагая в ней $\lambda=\lambda_{j}$ и $\lambda=\bar{\lambda}_{j}$, получаем для коэффициентов $\gamma_{j}$ и $\bar{\gamma}_{j}$ выражения $\gamma_{j}=b\left(\lambda_{j}\right), \bar{\gamma}_{j}=\bar{b}\left(\lambda_{j}\right), j=1, \ldots, n$.
Подчеркнем, что эти формулы справедливы только для финитных $\psi(x), \bar{\psi}(x)$.

Набор чисел $\lambda_{j}, \bar{\lambda}_{j}, j=1, \ldots, n$, составляет дискретный спектр спектральной задачи (5.23) при $x<0$. Кроме него, при любом $x$

оператор $\mathscr{L}$ имеет двукратный непрерывный спектр, заполняющий всю вещественную ось в соответствии с тем, что при вещественных $\lambda$ уравнение (5.23) имеет два ограниченных по $x$ линейно независимых столбца-решения. Таковыми являются, например, столбцы матрицы $T_{-}(x, \lambda)$ или $T_{+}(x, \lambda)$. В соответствии с этой интерпретацией $a(\lambda)$ и $b(\lambda)$ будем называть коэффициентами перехода непрерывного спектра, а $\gamma_{i}, \bar{\gamma}_{j}, j=1, \ldots, n$, коэффициентами перехода дискретного спектра.

В заключение этого параграфа покажем, что аналитичность $a(\lambda)$ и соотношение нормировки позволяют выразить этот коэффициент через его нули, если таковые есть, и $b(\lambda)$. Именно, при $\operatorname{Im} \lambda>0$ имеют место формулы
\[
a(\lambda)=\exp \left\{\frac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\ln \left(1+|b(\mu)|^{2}\right)}{\mu-\lambda} d \mu\right\},
\]

где $\varkappa>0$, и
\[
a(\lambda)=\exp \left\{\frac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\ln \left(1-|b(\mu)|^{2}\right)}{\mu-\lambda} d \mu\right\} \prod_{i=1}^{n} \frac{\lambda-\lambda_{i}}{\lambda-\bar{\lambda}_{i}},
\]

тде $x<0$. Они допускают переход на вещественную ось по правилу (формула Сохоцкого – Племеля)
\[
\frac{1}{\mu-\lambda} \rightarrow \frac{1}{\mu-\lambda-i 0}=v . p \cdot \frac{1}{\mu-\lambda}+\pi i \delta(\mu-\lambda),
\]

где v. p. означает главное значение.
Для доказательства представления (6.23) рассмотрим аналитическую в верхней полуплоскости функцию
\[
\widetilde{a}(\lambda)=a(\lambda) \prod_{i=1}^{n} \frac{\lambda-\bar{\lambda}_{i}}{\lambda-\lambda_{i}},
\]

которая отличается от $a(\lambda)$ на произведение элементарных множителей Бляшке. Функция $\tilde{a}(\lambda)$ уже не имеет нулей при $\operatorname{Im} \lambda \geqslant 0$ и по-прежнему удовлетворяет при $|\lambda| \rightarrow \infty$ асимптотическому условию (6.3). На вещественной оси
\[
|\tilde{a}(\lambda)|^{2}=|a(\lambda)|^{2}=1-|b(\lambda)|^{2} .
\]

Функция $\eta(\lambda)=\ln \tilde{a}(\lambda)$ также аналитична при $\operatorname{Im} \lambda>0$, исчезает при $|\lambda| \rightarrow \infty$ и непрерывна вплоть до вещественной оси в силу условия ( $\mathrm{A}_{1}$ ). Поэтому ее вещественная и мнимая части при вещественных $\lambda$ связаны соотношением
\[
\operatorname{Im} \eta(\lambda)=-\frac{1}{\pi} \text { v. p. } \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\operatorname{Re} \eta(\mu)}{\mu-\lambda} d \mu,
\]

которое немедленно следует из теоремы Коши. В физической литературе формула ( $6.2 \bar{i}$ ) называется дисперсионным соотношением. Используя формулу (6.24), ее можно переписать в виде
\[
\eta(\lambda)=\frac{1}{\pi i} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\operatorname{Re} \eta(\mu)}{\mu-\lambda} d \mu, \quad \operatorname{Im} \lambda>0 .
\]

Представление (6.23) теперь следует из (6.28) и очевидного соотношения
\[
\operatorname{Re} \eta(\lambda)=\ln |\tilde{a}(\lambda)|=\frac{1}{2} \ln \left(1-|b(\lambda)|^{2}\right) .
\]

Формула (6.22) доказывается аналогично. На этом мы заканчиваем исследование аналитических свойств коэффициентов. перехода.

Подводя итоги $\S 5-7$, мы можем сказать, что в них построено отображение
\[
(\psi(x), \bar{\psi}(x)) \rightarrow\left(b(\lambda), \bar{b}(\lambda) ; \lambda_{j}, \bar{\lambda}_{j}, \gamma_{j}, \bar{\gamma}_{j}\right)
\]

и описан его образ для различных классов функций $\psi(x), \bar{\psi}(x)$. Так, функциям $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ из $L_{1}(-\infty, \infty)$ соответствуют $b(\lambda)$ и $\bar{b}(\lambda)$ из $\mathfrak{R}_{0}$; шварцевским функциям $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ соответствуют шварцевские функции $b(\lambda), \bar{b}(\lambda)$.

Это отображение будет играть важную роль для полного описания динамики нашей модели. Так, в следующем параграфе мы убедимся, что в новых переменных уравнения движения становятся тривиальными, а в следующей главе мы исследуем обратимость отображения (6.30).