В предыдущем параграфе мы имели дело с моделями, описываемыми эволюционными уравнениями в частных производных, причем пространственная переменная $x$ являлась одномерной и непрерывно менялась на окружности (конечный интервал с отождествленными концами) или на всей вещественной оси.

Однако в приложениях важную роль играют и модели на решетке, когда пространственная переменная принимает дискретные, скажем целочисленные, значения. Такая ситуация может возникнуть искусственно, при разностном приближении к дифференциальным уравнениям, а также появиться естественно, скажем, при описании колебаний кристаллической решетки в фнзике твердого тела. Ясно, что если решетка конечна (аналог окружности в непрерывном случае), то эволюционная система имеет конечное число степеней свободы и фактически является объектом классической механики.

Итак, будем считать, что «дискретизованная» пространственная переменная $n$ принимает целые значения и пробегает множество всех целых чисел $\mathbb{Z}$ (аналог вещественной оси) или его конечное подмножество; чаще всего мы будем иметь дело с аналогом окружности $-n=1, \ldots, N ; N+1 \equiv 1$, т. е. с периодической решеткой $\mathbb{Z}_{N}=\mathbb{Z} / N \mathbb{Z}$. Временна́я переменная $t$ по-прежнему считается непрерывной и пробегает вещественную ось. ся на случай решеточных моделей. Базой расслоения является дискретизованное пространство-время $\mathbb{Z} \times \mathbb{R}^{1}$ или $\mathbb{Z} \times \mathbb{R}^{1}$, а слоем – вспомогательное пространство $\mathbb{C}^{M}$. Роль ковариантной пронзводной $X_{1}=\frac{\partial}{\partial x}-U(x, t, \lambda)$ (или, точнее, бесконечно малого параллельного переноса вдоль пространственного направления $\Omega_{n}=\exp \int_{\Delta_{n}} U(x, t, \lambda) d x$; см. формулу (I.2.14) части I) играет матрица $L_{n}(t, \lambda)$, осуществляющая перенос из точки решетки с номером $n$ в точку с номером $n+1$. Параллельный перенос по временному направлению по-прежнєму задается ковариантной производной $\frac{\partial}{\partial t}-V_{n}(t, \lambda)$. Уравнения ковариантного постоянства вектора $F_{n}(t, \lambda)$ – формулы (I.2.1) – (I.2.2) части I – при нимают вид
\[
\begin{aligned}
F_{n+1} & =L_{n}(t, \lambda) F_{n}, \\
\frac{d F_{n}}{d t} & =V_{n}(t, \lambda) F_{n} .
\end{aligned}
\]

Условие совместности этой системы выглядит следующим образом:
\[
\frac{d L_{n}(t, \lambda)}{d t}+L_{n}(t, \lambda) V_{n}(t, \lambda)-V_{n+1}(t, \lambda) L_{n}(t, \lambda)=0
\]

и представляет собой условие нулевой кривизны для обхода вдоль элементарного контура на базе с вершинами в точках $(n, t),(n+1, t),(n+1, t+d t)$ и $(n, t+d i)$. Конечно, из (2.3) следует исчезновение кривизны и вдоль произвольного контура.

Поэтому формулы (2.3) и (2.1) – (2.2) будем называть, соогветственно, условием нулевой кривизны и представлением нулевой кривизны для решеточных моделей. Уравнение (2.1) будет играть роль вспомогательной линейной задачи.

После этого общего введения перейдем к перечислению основных примеров.

Наиболее популярным примером, имеющим многочисленные приложения, является