Данный параграф носит вспомогательный характер. Мы исследуем здесь свойства матрицы перехода $T(x, y, \lambda)$ на всей оси — $\infty<x, y<\infty$, считая, что $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ убывают при $|x| \rightarrow \infty$. Более точно, мы будем предполагать, что эти функции абсолютно интегрируемы на $\mathbb{R}^{1}$, т. е. $\psi(x)$ принадлежит $L_{1}(-\infty, \infty)$. Для матрицы $U_{0}(x)$ это означает, что
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \| U_{0}(x) \mid d x<\infty
\]

В дальнейшем пространство всех $2 \times 2$ матриц-функций, удовлетворяющих условию (5.1), будем обозначать через $L_{1}{ }^{(2 \times 2)}(-\infty, \infty)$. Антидиагональная матрица $U_{0}(x)$ является специальным элементом $L_{1}{ }^{(2 \times 2)}(-\infty, \infty)$.

При сделанном предположении мы докажем, что при вещественных $\lambda$ существуют пределы
\[
T_{ \pm}(x, \lambda)=\lim _{y \rightarrow \pm \infty} T(x, y, \lambda) E(y, \lambda),
\]

где матрица $E(x, \lambda)$ введена в § 3 , и исследуем свойства матриц $T_{ \pm}(x, \lambda)$, в частности, получим их асимптотики при больших $x$ и $\lambda$.

Для доказательства будем использовать интегральные представления (3.32) и (3.33). Рассмотрим для определенности случай $y \rightarrow-\infty$ и перепишем (3.32) в виде
\[
T(x, y, \lambda) E(y, \lambda)=E(x, \lambda)+\int_{2 y-x}^{x} \Gamma(x, y, z) E(z, \lambda) d z .
\]

Покажем, что ядро Г абсолютно интегрируемо на интервале $2 y-x \leqslant z \leqslant x$ равномерно по $y$. Для этого рассмотрим функцию
\[
\Phi(x, y)=\int_{2 y-x}^{x}\|\Gamma(x, y, z)\| d z .
\]

Интегрируя уравнение (3.34) по $z$ в указанном интервале и меняя порядок интегрирования, получаем неравенство
\[
\Phi(x, y) \leqslant \int_{y}^{x}\left\|U_{0}(z)\right\| d z+\int_{y}^{x}\left\|U_{0}(s)\right\| \Phi(x, s) \cdot d s .
\]

Итерируя это неравенство, получаем оценку
\[
\Phi(x, y) \leqslant \exp \int_{y}^{x}\left\|U_{0}(z)\right\| d z-1 .
\]

Покажем теперь, что существует предел
\[
\Gamma_{-}(x, z)=\lim _{y \rightarrow \infty} \Gamma(x, y, z),
\]

где $\Gamma_{-}(x, z)$ при фиксированном $x$ принадлежит $L_{1}(-\infty, x)$ и сходимость понимается в смысле $L_{1}$. Для этого достаточно доказать, что представление
\[
\Gamma_{-}(x, z)=\frac{1}{2} U_{0}\left(\frac{x+z}{2}\right)+\int_{-\infty}^{(x+z) / 2} \Gamma(x, s, 2 s-z) U_{0}(s) d s,
\]

получающееся из (3.34) формальным пегеходом к пределу при $y \rightarrow-\infty$, определяет функцию из $L_{1}^{(2 \times 2)}(-\infty, x)$. Последнее сра-

зу следует из оценки (5.6):
\[
\begin{aligned}
\int_{-\infty}^{x}\|\Gamma(x, z)\| d z \leqslant \int_{-\infty}^{x}\left\|U_{0}(z)\right\| d z & +\int_{-\infty}^{x}\left\|U_{0}(s)\right\| \Phi(x, s) d s \leqslant \\
& \leqslant \int_{-\infty}^{x}\left\|U_{0}(z)\right\| d z \exp \int_{-\infty}^{x}\left\|U_{0}(z)\right\| d z .
\end{aligned}
\]

Теперь используя (5.7), получаем, что предел (5.2) при $y \rightarrow-\infty$ действительно существует, и для $T_{-}(x, \lambda)$ имеем интегральное представление
\[
T_{-}(x, \lambda)=E(x, \lambda)+\int_{-\infty}^{x} \Gamma_{-}(x, z) E(z, \lambda) d z .
\]

Аналогичным образом доказывается существование предела (5.2) при $y \rightarrow+\infty$. При этом следует воспользоваться представлением (3.33). Вспоминая, что
\[
T(x, y, \lambda)=T^{-1}(y, x, \lambda),
\]

получаем, что предел существует и имеет место интегральное представление
\[
T_{+}^{-1}(x, \lambda)=E(-x, \lambda)+\int_{x}^{\infty} E(-z, \lambda) \widetilde{\Gamma}_{+}(x, z) d z .
\]

Ядро $\tilde{\Gamma}_{+}$дается формулой
\[
\widetilde{\Gamma}_{+}(x, z)=\lim _{y \rightarrow \infty} \widetilde{\Gamma}(y, x, z)=
\]
\[
=\frac{1}{2} U_{0}\left(\frac{x+z}{2}\right)+\int_{(x+z) / 2}^{\infty} U_{0}(s) \widetilde{\Gamma}(s, x, 2 s-z) d s
\]

и удовлетворяет оценке
\[
\int_{x}^{\infty}\left\|\widetilde{\Gamma}_{+}(x, z)\right\| d z \leqslant \int_{x}^{\infty}\left\|U_{0}(z)\right\| d z \exp \int_{x}^{\infty}\left\|U_{0}(z)\right\| d z .
\]

Нетрудно получить интегральное представление и для самой матрицы $T_{+}(x, \lambda)$. Для этого заметим, что вместе с $T(x, y, \lambda)$ и $E(x, \lambda)$ матрица $T_{+}(x, \lambda)$ также унимодулярна. Используя общую формулу
\[
A^{-1}=\sigma_{2} A^{\tau} \sigma_{2},
\]

справедливую для любой унимодулярной матрицы $2 \times 2$ и связывающую обратную матрицу $A^{-1}$ с транспонированной $A^{\tau}$, получаем для $T_{+}(x, \lambda)$ интегральное представление
\[
T_{+}(x, \lambda)=E(x, \lambda)+\int_{x}^{\infty} \Gamma_{+}(x, z) E(z, \lambda) d z,
\]
где
\[
\Gamma_{+}(x, z)=\sigma_{2} \tilde{\Gamma}_{+}^{\tau}(x, z) \sigma_{2} .
\]

Свойство инволюции (3.39) естественно переносится на матрицы $\Gamma_{ \pm}(x, z)$ :
\[
\bar{\Gamma}_{ \pm}(x, z)=\sigma \Gamma_{ \pm}(x, z) \sigma
\]

и на матрицы $T_{ \pm}(x, \lambda)$ :
\[
\bar{T}_{ \pm}(x, \lambda)=\sigma T_{ \pm}(x, \lambda) \sigma .
\]

В частности, для $\Gamma_{z:}$ имеем представления
\[
\Gamma_{ \pm}=\left(\begin{array}{cc}
\alpha_{ \pm \pm} & \varepsilon \vec{\beta}_{ \pm} \\
\beta_{ \pm} & \bar{\alpha}_{ \pm}
\end{array}\right), \quad \varepsilon=\operatorname{sign} x .
\]

Қак и матрица $T(x, y, \lambda)$, матрицы $T_{ \pm}(x, \lambda)$ удовлетворяют дифференциальному уравнению
\[
\frac{d F}{d x}=U(x, \lambda) F .
\]

Роль начальных условий для них играют асимптотики
\[
T_{ \pm}(x, \lambda)=E(x, \lambda)+o(1) \text { при } x \rightarrow \pm \infty,
\]

которые немедленно следуют из (5.10), (5.16) и оценок (5.9), (5.14).

Здесь уместно сказать несколько слов о связи вышеизложенного с теорией рассеяния. Поскольку спектральный параметр $\lambda$ входит в уравнение (5.21) линейно, его после умножения на $i \sigma_{\text {, }}$ слева можно привести к традицнонному виду задачи на собст венные значения
\[
\mathscr{L} F=\frac{\lambda}{2} F
\]

для матричного дифференциального оператора первого порядка
\[
\mathscr{L}=i \sigma_{3} \frac{d}{d x}+i \sqrt{x}\left(\psi(x) \sigma_{-}-\bar{\psi}(x) \sigma_{+}\right) .
\]

Этот оператор формально самосопряжен при $x>0$. Спектральная задача для оператора $\mathscr{L}$ _о стабилизирующимися при $|x| \rightarrow \infty$ коэффициентами $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ и является предметом теории рассеяния. В частности, решения $T_{ \pm}(x, \lambda)$ играют в ней большую роль и носят название решений Иоста.

Перейдем теперь к изучению аналитических свойств матричных элементов решений $T_{ \pm}(x, \lambda)$ как функций $\lambda$ при фиксированном $x$. Напомним, что матрица $T(x, y, \lambda)$ была целой функцией $\hat{\lambda}$. Однако, поскольку в определении $T_{ \pm}(x, \lambda)$ участвует предельный переход, матрицы $T_{ \pm}(x, \lambda)$ таковыми, вообще говоря,не являются. В то же время из интегральных представлений (5.10) и (5.16) и абсолютной суммируемости ядер $\Gamma_{ \pm}(x, z)$ по $z$ следует, что первый столбец матрицы $T_{-}(x, \lambda)$ и второй столбец матрицы $T_{+}(x, \lambda)$ аналитически продолжаются в верхнюю полуплоскость переменной $\lambda$, а первый столбец матрицы $T_{+}(x, \lambda)$ и второй столбец матрищы $T_{-}(x, \lambda)$ аналитически продолжаются в нижнюю полуплоскость. Действительно, при указанных $\lambda$ экспоненты вида $\exp \{ \pm i \lambda x / 2\}$, участвующие в интегральных представлениях (5.10) и (5.16), убывают, когда переменная интегрирования $z$ уходит на $+\infty$ или $-\infty$ соответственно.

Введем для упомянутых столбцов специальные обозначения $\left.T_{ \pm}^{(1,2}\right)(x, \lambda)$, так что
\[
T_{ \pm}(x, \lambda)=\left(T_{ \pm}^{(1)}(x, \lambda), T_{ \pm}^{(2)}(x, \lambda)\right) .
\]

Из интегральных представлений и леммы Римана — Лебега следует, что при фиксированном $x$ имеют место следуюшие асимптотики:
\[
\begin{array}{c}
e^{i \lambda \cdot x / 2} T_{-}^{(1)}(x, \lambda)=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right)+o(1), \quad \operatorname{Im} \lambda \geqslant 0, \quad|\lambda| \rightarrow \infty, \\
e^{-i \lambda x / 2} T_{+}^{(2)}(x, \lambda)=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right)+o(1)
\end{array}
\]

и
\[
\begin{array}{c}
e^{i \lambda x / 2} T_{+}^{1)}(x, \lambda)=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right)+o(1), \quad \operatorname{Im} \lambda \leqslant 0, \quad|\lambda| \rightarrow \infty, \\
e^{-i \lambda x / 2} T_{-}^{(2)}(x, \lambda)=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right)+o(1) .
\end{array}
\]

Свойство инволюции переносится и на комплексные $\lambda$ и принимает вид
\[
\bar{T}_{+}^{(1)}(x, \bar{\lambda})=\tilde{\sigma} T_{+}^{(2)}(x, \bar{\lambda}),
\]

где $\operatorname{Im} \lambda \geqslant 0$ и
\[
\bar{T}_{-}^{(1)}(x, \lambda)=\tilde{\sigma} T_{-}^{(2)}(x, \bar{\lambda}),
\]

где $\operatorname{Im} \lambda \leqslant 0$ и $\tilde{\sigma}=\sigma_{1}$ при $x>0, \sigma=i \sigma_{2}$ при $x<0$.
В случае, когда функции $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ отличны от нуля лишь в интервале $-q \leqslant x \leqslant q$, матрицы $T_{ \pm}(x, \lambda) E(-x, \lambda)$ являются целыми функциями экспоненциального типа $q$. Действительно, как нетрудно убедиться из (5.8) и (5.13), соответствующие ядра $\Gamma_{+}(x, z)$ и $\Gamma_{-}(x, z)$ исчезают при $z>2 q-x$ и $z<-2 q-x$ соответственно.

Для использования в дальнейшем нам понадобятся формулы, связывающие ядра $\Gamma_{ \pm}(x, z)$ на диагонали $z=x$ с

матрицей $U_{0}(x)$ :
\[
\left[\sigma_{3}, \Gamma_{-}(x, x)\right]=\sigma_{3} U_{0}(x)
\]

и
\[
\left[\sigma_{3}, \Gamma_{+}(x, x)\right]=-\sigma_{3} U_{0}(x) .
\]

Для доказательства (5.32) достаточно заметить, что из интегрального уравнения (3.34) следует равенство
\[
\Gamma(x, y, 2 y-x)=\frac{1}{2} U_{0}(y),
\]

так что из (5.8) получаем
\[
\Gamma_{-}(x, x)=\frac{1}{2}\left(U_{0}(x)+\int_{-\infty}^{x} U_{0}^{2}(s) d s\right) .
\]

Поскольку диагональная матрица $U_{0}^{2}(s)$ коммутирует с $\sigma_{3}$, отсюда получаем (5.32). Формула (5.33) доказывается аналогично.

Заканчивая обсуждение свойств решений Йоста, упомянем, что более традиционный для теории рассеяния метод их исследования основан на интегральных уравнениях
\[
T_{-}(x, \lambda)=E(x, \lambda)+\int_{-\infty}^{x} E(x-z, \lambda) U_{0}(z) T_{-}(z, \lambda) d z
\]

и
\[
T_{+}(x, \lambda)=E(x, \lambda)-\int_{x}^{\infty} E(x-z, \lambda) U_{0}(z) T_{+}(z, \lambda) d z,
\]

которые получаются при вещественных $\lambda$ предельным переходом при $y \rightarrow \pm \infty$ из уравнений (3.26) и (3.27). Использованный нами способ более предпочтителен, поскольку в интегральных представлениях (5.10) и (5.16) вся зависимость от $\lambda$ локализована в элементарных функциях $\exp \{ \pm i \lambda x / 2\}$.

Введем теперь аналог матрицы $T_{L}(\lambda)$ — приведенную матрицу монодромии. ІІри вещественных $\lambda$ она определяется следующим образом:
\[
T(\lambda)=\lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ y \rightarrow \infty}} E(-x, \lambda) T(x, y, \lambda) E(y, \lambda) .
\]

Для доказательства существования предела (5.38) заметим, что матрицу перехода можно представить в виде
\[
T(x, y, \lambda)=T_{+}(x, \lambda) T_{+}^{-1}(y, \lambda)=T_{-}(x, \lambda) T_{-}^{-1}(y, \lambda),
\]

так как правые части в (5.39) удовлетворяют как дифференциальному уравнению (3.5), так и начальному условию (3.6). Из (5.39) видно, что матрица $T_{+}^{-1}(x, \lambda) T_{-}(x, \lambda)$ не зависит от $x$. Покажем, что она совпадает с пределом (5.38).

Действительно, положим
\[
T(\lambda)=T_{+}^{-1}(x, \lambda) T_{-}(x, \lambda)
\]

откуда
\[
T_{-}(x, \lambda)=T_{+}(x, \lambda) T(\lambda) .
\]

Подставляя (5.41) в (5.39), получаем, что
\[
T(x, y, \lambda)=T_{+}(x, \lambda) T(\lambda) T_{-}^{-1}(y, \lambda) .
\]

Отсюда на основании граничных условий (5.22) заключаем, что предел (5.38) существует и совпадает с выражением (5.40).

Положив в (5.38) $x=L$ и $y=-L$, получаем частный случай этой формулы:
\[
T(\lambda)=\lim _{L \rightarrow \infty} E(-L, \lambda) T(L,-L, \lambda) E(-L, \lambda) .
\]

Средний множитель $T(L,-L, \lambda)$ в правой части можно интерпретировать как матрицу монодромии $T_{L}(\lambda)$ периодической задачи с функциями $\dot{\psi}(x), \bar{\psi}(x)$, продолженными с интервала $(-L, L)$ периодическим образом (допуская разрывы). В этом смысле говорят, что матрицу $T(\lambda)$ можно рассматривать как периодическую матрицу монодромин $T_{L}(\lambda)$ в пределе бесконечного периода $L \rightarrow \infty$, сокращенную на тривиальные осциллирующие множители.

Для приведенной матрицы монодромии $T(\lambda)$, как и для мат рицы $T_{L}(\lambda)$, выполняется свойство инволюции
\[
\overline{T(\lambda)}=\sigma T(\lambda) \sigma,
\]

так что она представляется в виде
\[
T(\lambda)=\left(\begin{array}{ll}
a(\lambda) & \varepsilon \bar{b}(\lambda) \\
b(\lambda) & \bar{a}(\lambda)
\end{array}\right), \quad \varepsilon=\operatorname{sign} x .
\]

За функциями $a(\lambda)$ и $b(\lambda)$ мы сохраним название коэффициентов перехода. Они удовлетворяют соотношению нормировки
\[
|a(\lambda)|^{2}-\varepsilon|b(\lambda)|^{2}=1 .
\]

В терминах коэффициентов перехода предельное соотношение (5.43) вместе с его интерпретацией переписывается в виде
\[
a(\lambda)=\lim _{L \rightarrow \infty} e^{i \lambda L} a_{L}(\lambda), \quad b(\lambda)=\lim _{L \rightarrow \infty} b_{L}(\lambda) .
\]

Более тонкие свойства этих коэффициентов будут исследованы в следующем параграфе.