Главная > Гамильтонов подход в теории солитонов (Л.А. Тахтаджян, Л.Д. Фадеев)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Напомним определение стандартной пуассоновой структуры, ассоциированной с произвольной связной группой Ли G,dimG= =n. Пусть g — ее алгебра Ли и Xa,a=1,,n,- ее генераторы со структурными константами Cab :
[Xa,Xb]=CabcXc.

Здесь и ниже мы принимаем соглашение о суммировании по повторяющимся индексам. В линейном пространстве g, двойственном к g, естественно вводятся координаты ua : если ξ=ξaXa принадлежит g, то u(ξ)=(u,ξ)=uaξa. В алгебре A гладких функций f(u) на g определим скобку {}:,A×AA,
{f1,f2}(u)=Cabcf1uaf2ubuc,

которая, очевидно, антисимметрична и удовлетворяет тождеству Якоби в силу соответствующего тождества Якоби для коммутатора (1.1). Таким образом, скобка (1.2) задает пуассонову структуру на фазовом пространстве g. Для координат ua скобка Пуассона (1.2) принимает вид
{ua,ub}=Cabcuc

и называется скобкой Ли- Пуассона.
Пуассонова структура (1.2), вооще говоря, вырожденна. Ее аннулятор совпадает с алгеброй функций Казимира I( g), состоящей из функций f(u), инвариантных относительно коприсоединенного действия uAdgu группы G на g, задаваемого формулой
Adgu(ξ)=u(g1ξg).

Ограничение скобки Пуассона (1.2) на орбиты этого действия невырожденно, так что пуассоновы подмногообразия в g представляют собой объединения орбит.

Фактически в этих определениях используется лишь алгебра Ли g группы G и ее коприсоединенное действие udηu, задаваемое формулой
adηu(ξ)=u([ξ,η]).

Орбиты действия Ad группы G в g являются интегральными многообразиями для распределений, порожденных векторными полями adη при всех η из g. Поэтому мы будем говорить о лиалгебраической пуассоновой структуре, порожденной скобками Ли.

При описании интегрируемых систем мы будем иметь дело с бесконечномерными алгебрами Ли. Все приведенные выше определения переносятся на них естественным образом.

Рассмотрим алгебру токов C( g), ассоциированную с алгеброй Ли g. Она состоит из формальных рядов Лорана ξ(λ) по переменной λ
ξ(λ)=kξkλk,

где ξk принадлежат g и символ k означает, что ряд по степеням λ1 обрывается. Коммутатор в C(g) задается очевидной

формулой
[ξ(λ),η(λ)]=ki+j=k[ξi,ηj]λk.

В качестве генераторов алгебры C(g) можно взять элементы вида
Xa,k=Xaλk,a=1,,n;k=,,,

где Xa — генераторы алгебры Ли g со структурными константами Cabc. Их коммутатор, очевидно, имеет вид
[Xa,k,Xb,l]=CabcXc,k+l.

Обозначим через ua,k координаты элемента u в двойственном пространстве C( g); в соответствии с (1.6) считаем, что ua,k=0 при достаточно больших положительных k. Соответствующее спаривание имеет вид
u(ξ)=(u,ξ)=kua,kξka

где сумма по k всегда конечна: Скобки Ли — Пуассона для координат ua,k имеют вид
{ua,k,ub,l}=Cabcuc,k+l.

Удобно ввести производящую функцию ua(λ) координат ua,k элемента и из C(g) в виде следующего формального ряда Лорана:
ua(λ)=k=kua,kλk1.

Для спаривания (1.10) имеем красивую формулу
u(ξ)=Resua(λ)ξa(λ)

где символ Res для любого формального ряда Лорана означает его коэффициент при λ1.
Переменная λ вводит в алгебре C( g) градуировку:
C(g)=kgλk=kCk,

где
[Ck,Cl]Ck+l,

которая, в частности, позволяет разложить C(g) в линейную сумму двух подалгебр:
C( g)=C+(g)+C(g),

где
C+(g)=k=0Ck,C(g)=kk=1Ck.

Аналогичное разложение имеет место и для пространства C(g) :
C(g)=C+(g)+C(g),

которое в терминах производящей функции ua(λ) имеет вид
ua(λ)=ua+(λ)+ua(λ)

где
ua+(λ)=k=k=1ua,kλk1,ua(λ)=k=0k<ua,kλk1.

Подпространства C±( g) ортогональны C±(g) в смысле спаривания (1.10) и C±( g)=(C(g)). Скобка Ли — Пуассона (1.11) естественно ограничивается на эти подпространства.

Получающаяся пуассонова структура на C±( g) красиво записывается в терминах производящих функций ua±(λ). Именно, умножим обе части (1.11) на λk1μl1 и просуммируем по k,l< <0 и k,l0. Мы получим, что
{ua±(λ),ub±(μ)}=Cabcuc±(λ)uc±(μ)λμ.

Соответствующая формула для скобки Пуассона {ua+(λ), uq(μ)} уже не столь элегантна. К счастью, она нам и не нужна, поскольку мы сейчас введем на фазовом пространстве C(g) новую пуассонову структуру. Именно, в соответствии с разложением (1.16) введем на векторном пространстве C( g) новую структуру алгебры Ли с коммутатором [ , ], полагая
[ξ+,η+]0=[ξ+,η+],[ξ,η]0=[ξ,η]

и
[ξ+,η]0=0,

где ξ=ξ++ξ,η=η++η- элементы из C(g). Вводя оператор
R=12(P+P),

где P±- проекторы на подпространства C±(g),P+P=PP+=0, соотношения (1.22) — (1.23) можно записать в виде одной формулы
[ξ,η]0=[Rξ,η]+[ξ,Rη].

Описанную бесконечномерную алгебру Ли с коммутатором [,]0 будем обозначать через C0( g). Именно она и будет играть основную роль при классификации интегрируемых моделей.

Соответствующие скобки Ли — Пуассона {,}0 на фазовом пространстве C(g) даются формулами (1.21) без знака ± в правой части и
{ua+(λ),ub(μ)}00.

Теперь объединим (1.21) и (1.26) в одну элегантную формулу, предполагая, что алгебра Ли g допускает симметричную невырожденную билинейную форму <, >, инвариантную относительно присоединенного действия. Например, можно считать алгебру Ли g полупростой и в качестве <, > взять форму Килтинга. Рассмотрим невырожденную матрицу K с матричными элементами
Kab=Xa,Xb.
(В случае, если алгебра Ли g полупроста и реализована как матричная алгебра, то можно считать Kab=trXaXb.) Через Kab будем обозначать матричные элементы обратной матрицы K1. Введем элемент Π из gg и элементы Aa из g по формулам
Π=KajXaXb,Aa=KabXb.

Справедливы соотношения
[Π,AcI]=[Π,IAc]=CabcAaAb,

где символы AI и IA обозначают естественные вложения элемента A из алгебры Ли g в gg. Для доказательства этих формул следует, помимо (1.1), использовать свойство антисимметрии структурных констант: тензор Cabc=KaaKbbCab, полностью антисимметричен, что вытекает из инвариантности формы ,.

Используя введенные объекты П и Aa, определим элемент r(λ) из gg
r(λ)=Π/λ

и формальный ряд Лорана U(λ) с коэффициентами в gg
U(λ)=ua(λ)Aa.

В их терминах скобки Ли — Пуассона (1.21) и (1.26), порожденные алгеброй C0(g), переписываются в виде одной формулы
{U(λ)(U)}0=[r(λμ),U(λ)I+IU(μ)],

где в левой части мы использовали естественное обозначение {}0 (см. § III.1 части I). Формула (1.33) получается из (1.21)

после умножения на AaAb и учета соотношений (1.30). Далее вплоть до § 4 мы будем использовать только скобки Пуассона {,}0, поэтому для упрощения формул будем опускать индекс 0 .

Поучительно сравнить скобки Ли — Пуассона для алгебры Ли C0(g) в форме (1.33) с фундаментальными скобками Пуассона дия непрерывных моделей из § III. 1 части I и § II.3, II. 6 и II.8. Эти формулы практически совпадают по своей записи; формальное отличие состонт в том, что в (1.33) отсутствует пространственная переменная x. Зависимость от x легко ввести в наше изложение, если рассмотреть прямое пронзведение алгебр C(g) по всем x. Более формально, следует использовать алгебру токов C((g)) рядов Лорана ξ(λ,x) с коэффициентами, зависящими от x и удовлетворяющими определенным граничным условиям (например, периодическим нли быстроубывающим). Она порождается генераторами Xa,k(x) с коммутатором
[Xa,k(x),Xb,l(y)]=CabcXc,k+l(x)δ(xy).

Повторяя приведенные выше рассуждения применительно к алгебре C((g)), мы приходим к скобкам Ли- Пуассона на фазовом пространстве C(( g))
{U(x,λ)(y,μ)}=[r(λμ),U(x,λ)I+IU(x,μ)]δ(xy),

которые по своей форме полностью совпадают с фундаментальнымп скобками Пуассона для непрерывных моделей.

Тем не менее, содержание формул (1.35) п, скажем, (II.3.8) все еше различно. Так, в последней формуле мы имеем дело с конкретной матрицей U(x,λ) во вспомогательном пространстве, являющейся рацнональной функцией спектрального параметра λ, в то время как в (1.35) участвует формальный ряд Лорана с коэффициентами в заданной алгебре Ли g. Согласование состоит в том, что фундаментальные скобки Пуассона для конкретных моделей представляют собой реализацию скобок Пуассона (1.35) для конкретного матричного представления данной алгебры Ли g (причем пространство представления играет роль вспомогательного пространства), ограниченную на орбиту соответствующей алгебры C0(( g)) в фазовом пространстве C(( g)). Здесь мы называем для краткости орбитами алгебры Ли упомянутые выше интегральные многообразия для распределений, порожденных коприсоединенным действием. Эти орбиты представляют собой произведение по переменной x орбит коприсоединенного действия алгебры Ли Cθ(g) в C( g). Условие пространственной однородности требует, чтобы эти орбиты при каждом x совпадали. Поэтому ниже мы опять будем опускать зависимость от переменной x.

Для приложения к интегрируемым моделям наибольший интерес представляют конечномерные орбиты алгебры Ли C0(g). (Отметим, что в ситуации общего положения орбиты бесконечномерны.) Для их описания удобно ввести конечномерные пуассоновы подмногообразия в C( g), накладывая на координаты ua,k (или на их производящие функции ua(λ),U(λ) ) ограничения, инвариантные относительно пуассонова действия алгебры Ли C0( g).

Простейшим примером такого пуассонова подмногообразия, очевидно, является линейное подпространство CN,M в C(g), определяемое уравнениями
ua,k=0

при kN и kM1, где N,M0. Действие алгебры C0(g) на подпространстве CN,M редуцируется до действия конечномерной алгебры Ли CN,M(g) с генераторами Xa,k,Mk<N, и коммутатором
[Xa,k,Xb,l]={CabcXc,k+l при k,l0,k+l<N,CabcXc,k+l при k,l<0,M1<k+l,0 в остальных случаях. 

Орбиты этой алгебры в CN,M и образуют искомые фазовые пространства, отвечающие интегрируемым моделям. Более конкретно, координаты в CN,M даются набором ua.k,k=M,,N1; их скобки Ли — Пуассона имеют вид
{ua,k,ub,l}={Cabcuc,k+l при k,l0,k+lN,Cabcuc,k+1 при k,l<0,M1<k+l,0 в остальных случаях ,

и пуассоновы подмногообразия представляют собой объединения орбит алгебры Ли CN,M(g). Задача о выборе этих орбит уже конечномерна и ее можно решать традиционными методами, например, фиксируя значения функций Казимира.

Производящая функция координат ua,k (или ua,k(x) после восстановления зависимости от x ) теперь представляет собой рациональную функцию переменной λ
U(λ)=k=MN1ua,kAaλk1

и при конкретном выборе представления алгебры Ли я есть матрица в пространстве этого представления. Она и представляет собой матрицу U(x,λ) из вспомогательной линейной задачи для рассматриваемых ниже интегрируемых моделей.
Рассмотрим несколько примеров.
 1. N=1,M=0

Соответствующий элемент U(λ) имеет вид
U(λ)=U0λ=SaAaλ,

где Sa — динамические переменные на пространстве C1,0=g со скобками Пуассона
{Sa,Sb}=CabcSc.

В простейшем случае g=su(2) имеем три динамические переменные Sa,a=1,2,3. Рассматривая фундаментальное представление su(2) с генераторами Xa=12iσa, структурными константами Cabc=εabc и матрицами Aa=iσa, имеем
U(λ)=iSaσaλ,r(λ)=12λσaσa.

Соответствующие орбнты выделяются условием
S12+S22+S32= const. 

Динамические переменные Sa, удовлетворяющие соотношению (1.44) и скобкам Пуассона (1.41), использовались нами при описании фазового пространства модели МГ в § I.1. Матрица U(x,λ) вида (1.42) и r-матрица (1.43) переходят в соответствующие объекты из § II.3, после замены λ2/λ, если вспомнить, что матрица перестановки P в C2C2 имеет вид
P=12(II+σaσa),

и опустить несущественное слагаемое, пропорциональное матрице II.

В случае произвольной полупростой алгебры Ли g рассмотренный пример дает интегрируемое обобщение модели МГa-инвариантный магнетик.
2. N=0,M=2.
Соответствующий элемент U(λ) имеет вид
U(λ)=U1+λU2=QaAa+λJaAa,

где Qa,Ja-динамические переменные на фазовом пространстве C0,2 со скобками Пуассона
{Qa,Qb}=CabcJc,{Qa,Jb}={Ja,Jb}=0.

Рассмотрим простейший случай алгебр Ли g=su(2) или g= =su(1,1) в фундаментальном представлении с генераторами Xa=12iσa,a=1,2,3 и X1=12σ3,X2=12σ2,X3=12iσ3 соответственно. Интересующая нас орбита выделяется условиями
J1=J2=0,J3=ε/2,Q3=0,Q1+iQ2=ψ,

где ε=1 для g=su(2) и ε=1 для g=su(1,1); единственная неисчезающая скобка Пуассона имест вид
{ψ,ψ¯}=i.

В результате матрица U(λ) записывается следующим образом:
U(λ)=λ˙2iσ3+ε(0ψ¯ψ0)

и после замены λελ переходит в матрицу U(x,λ) для модели НШ (см. § I. 2 части I), где %=ε. При этой замене матрица r(λ),
r(λ)=1λ(P1I2),

переходит (с точностью до несущественного единичного слагаемого) в r-матрицу модели НUІ из § III. 1 части I.

В случае других алгебр Ли g мы получим векторные и матричные обобщения модели НШ.

Таким образом, изложенная общая схема позволила не только включить два основных примера этой книги, но и дать их содержательное обобщение. При этом мы убедились, что модели НШ и МГ действительно являются простейшими в бесконечной серии примеров: мы можем брать произвольные N и M0, алгебру Ли g и орбиту алгебры Ли CN,M(g). Вспомогательная линейная задача с матрицей U(x,λ) вида (1.39) и r-матрица (1.31) порождают представление нулевой кривизны для соответствующих гамильтоновых уравнений движения. Ли-алгебраическая интерпретация соответствующих гамильтонианов и схема решения уравнений движения будут приведены в $4.

Здесь мы заметим, что приведенные примеры не исчерпывают все интересные конечномерные фазовые пространства (при фиксированном x ). Приведем еще серию содержательных примеров. Начнем со следующего замечания. Скобки Пуассона (1.41) можно вывести из соотношения (1.33), подставляя в него U(λ) в виде (1.40). При этом то, что полюс функции U(λ) расположен в точке λ=0, несущественно. Подстановка
U(λ)=SaAaλc

приводит к тому же результату. Эта функция U(λ) уже принадлежит пространству C+(g) и соответствующие коэффициенты ua,k отличны от нуля при всех k<0 и связаны соотношением
ua,k1=1cua,k

которое вытекает из разложения (λc)1 в геометрическую прогрессию. Последние условия инвариантны относительно коприсоединенного действия алгебры C0( g). Это же верно и для элементов
U(λ)=i=1Nk=0niSa,ki1Aa(λci)k+1.

Таким образом, производящие функции вида (1.55) образуют пуассоново подмногообразие в C( g), параметризованное координатами Sk,a(i). В этих координатах скобки Пуассона (1.33) принимают вид
{Sa,k(i),Sb,l(j)}={CajcδijSc,k+l(i) при k+lni,0 в остальных случаях, 

и представляют собой скобки Ли-Пуассона конечномерной алгебры Ли — прямой суммы алгебр Cni+1,9 (g) по всем полюсам.

С матрицами U(x,λ) вида (1.55) мы уже встречались в § I.6-I. 7 при обсуждении решений общего уравнения нулевой кривизны. Здесь мы пришли к ним, исходя из общих ли-алгебраических соображений, и ввели пуассонову структуру для связанных с ними интегрируемых моделей.

Итак, в этом параграфе мы привели общую схему построения матриц U(x,λ), удовлетворяющих фундаментальным скобкам Пуассона с r-матрицей вида (1.31), и объяснили геометрическое происхождение последних. Повторяя рассуждения из части I, с каждой из матриц U(x,λ) мы можем связать серию интегрируемых моделей. Именно, рассмотрим вспомогательную линейную задачу
dFdx=U(x,λ)F

и ее матрицу монодромии
(где для определенности мы предполагаем периодические граничные условия). Функционалы trT(λ) и другие алгебраические инварианты матрицы T(λ) образуют инволютивное семей-

ство, и гамильтоновы уравнения движения, порождаемые всеми функционалами из этого семейства, допускают представление нулевой кривизны. Геометрический смысл этих конструкций будет объяснен в §4.

1
Оглавление
email@scask.ru