Напомним определение стандартной пуассоновой структуры, ассоциированной с произвольной связной группой Ли $G, \operatorname{dim} G=$ $=n$. Пусть $g$ – ее алгебра Ли и $X_{a}, a=1, \ldots, n$,- ее генераторы со структурными константами $C_{a b}$ :
\[
\left[X_{a}, X_{b}\right]=C_{a b}^{c} X_{c} .
\]

Здесь и ниже мы принимаем соглашение о суммировании по повторяющимся индексам. В линейном пространстве $g^{*}$, двойственном к $\mathfrak{g}$, естественно вводятся координаты $u_{a}$ : если $\xi=\xi^{a} X_{a}$ принадлежит $\mathfrak{g}$, то $u(\xi)=(u, \xi)=u_{a} \xi^{a}$. В алгебре $\mathscr{A}$ гладких функций $f(u)$ на $\mathfrak{g}^{*}$ определим скобку $\{\}:, \mathscr{A} \times \mathscr{A} \rightarrow \mathscr{A}$,
\[
\left\{f_{1}, f_{2}\right\}(u)=-C_{a b}^{c} \frac{\partial f_{1}}{\partial u_{a}} \frac{\partial f_{2}}{\partial u_{b}} u_{c},
\]

которая, очевидно, антисимметрична и удовлетворяет тождеству Якоби в силу соответствующего тождества Якоби для коммутатора (1.1). Таким образом, скобка (1.2) задает пуассонову структуру на фазовом пространстве $g^{*}$. Для координат $u_{a}$ скобка Пуассона (1.2) принимает вид
\[
\left\{u_{a}, u_{b}\right\}=-C_{a b}^{c} u_{c}
\]

и называется скобкой Ли- Пуассона.
Пуассонова структура (1.2), вооще говоря, вырожденна. Ее аннулятор совпадает с алгеброй функций Казимира $I(\mathrm{~g})$, состоящей из функций $f(u)$, инвариантных относительно коприсоединенного действия $u \mapsto \mathrm{Ad}^{*} g \cdot u$ группы $G$ на $g^{*}$, задаваемого формулой
\[
\mathrm{Ad}^{*} g \cdot u(\xi)=u\left(g^{-1} \xi g\right) .
\]

Ограничение скобки Пуассона (1.2) на орбиты этого действия невырожденно, так что пуассоновы подмногообразия в $g^{*}$ представляют собой объединения орбит.

Фактически в этих определениях используется лишь алгебра Ли $g$ группы $G$ и ее коприсоединенное действие $u \mapsto \mathrm{d}{ }^{*} \eta \cdot u$, задаваемое формулой
\[
\operatorname{ad}^{*} \eta \cdot u(\xi)=u([\xi, \eta]) .
\]

Орбиты действия $\mathrm{Ad}^{*}$ группы $G$ в $\mathrm{g}^{*}$ являются интегральными многообразиями для распределений, порожденных векторными полями $\operatorname{ad}^{*} \eta$ при всех $\eta$ из g. Поэтому мы будем говорить о лиалгебраической пуассоновой структуре, порожденной скобками Ли.

При описании интегрируемых систем мы будем иметь дело с бесконечномерными алгебрами Ли. Все приведенные выше определения переносятся на них естественным образом.

Рассмотрим алгебру токов $C(\mathrm{~g})$, ассоциированную с алгеброй Ли g. Она состоит из формальных рядов Лорана $\xi(\lambda)$ по переменной $\lambda$
\[
\xi(\lambda)=\sum_{k \gg-\infty}^{\infty} \xi_{k} \lambda^{k},
\]

где $\xi_{k}$ принадлежат $g$ и символ $k \gg-\infty$ означает, что ряд по степеням $\lambda^{-1}$ обрывается. Коммутатор в $C(g)$ задается очевидной

формулой
\[
[\xi(\lambda), \eta(\lambda)]=\sum_{k \gg-\infty}^{\infty} \sum_{i+j=k}\left[\xi_{i}, \eta_{j}\right] \lambda^{k} .
\]

В качестве генераторов алгебры $C(\mathfrak{g})$ можно взять элементы вида
\[
X_{a, k}=X_{a} \lambda^{k}, \quad a=1, \ldots, n ; \quad k=-\infty, \ldots, \infty,
\]

где $X_{a}$ – генераторы алгебры Ли g со структурными константами $C_{a b}^{c}$. Их коммутатор, очевидно, имеет вид
\[
\left[X_{a, k}, X_{b, l}\right]=C_{a b}^{c} X_{c, k+l} .
\]

Обозначим через $u_{a, k}$ координаты элемента $u$ в двойственном пространстве $C^{*}(\mathrm{~g})$; в соответствии с (1.6) считаем, что $u_{a, k}=0$ при достаточно больших положительных $k$. Соответствующее спаривание имеет вид
\[
u(\xi)=(u, \xi)=\sum_{k} u_{a, k} \xi_{k}^{a}
\]

где сумма по $k$ всегда конечна: Скобки Ли – Пуассона для координат $u_{a, k}$ имеют вид
\[
\left\{u_{a, k}, u_{b, l}\right\}=-C_{a b}^{c} u_{c, k+l} .
\]

Удобно ввести производящую функцию $u_{a}(\lambda)$ координат $u_{a, k}$ элемента $и$ из $C^{*}(g)$ в виде следующего формального ряда Лорана:
\[
u_{a}(\lambda)=\sum_{k=-\infty}^{k \rightleftarrows \infty} u_{a, k} \lambda^{-k-1} .
\]

Для спаривания (1.10) имеем красивую формулу
\[
u(\xi)=\operatorname{Res} u_{a}(\lambda) \xi^{a}(\lambda)
\]

где символ Res для любого формального ряда Лорана означает его коэффициент при $\lambda^{-1}$.
Переменная $\lambda$ вводит в алгебре $C(\mathrm{~g})$ градуировку:
\[
C(\mathfrak{g})=\sum_{k \gg-\infty}^{\infty} \mathfrak{g} \lambda^{k}=\sum_{k \gg-\infty}^{\infty} C_{k},
\]

где
\[
\left[C_{k}, C_{l}\right] \subset C_{k+l},
\]

которая, в частности, позволяет разложить $C(g)$ в линейную сумму двух подалгебр:
\[
C(\mathrm{~g})=C_{+}(\mathrm{g})+C_{-}(\mathrm{g}),
\]

где
\[
C_{+}(\mathfrak{g})=\sum_{k=0}^{\infty} C_{k}, \quad C_{-}(\mathfrak{g})=\sum_{k \gg-\infty}^{k=-1} C_{k} .
\]

Аналогичное разложение имеет место и для пространства $C^{*}(\mathfrak{g})$ :
\[
C^{*}(\mathfrak{g})=C_{+}^{*}(\mathfrak{g})+C_{-}^{*}(\mathfrak{g}),
\]

которое в терминах производящей функции $u_{a}(\lambda)$ имеет вид
\[
u_{a}(\lambda)=u_{a}^{+}(\lambda)+u_{a}^{-}(\lambda)
\]

где
\[
u_{a}^{+}(\lambda)=\sum_{k=-\infty}^{k=-1} u_{a, k} \lambda^{-k-1}, \quad u_{a}^{-}(\lambda)=\sum_{k=0}^{k<\infty} u_{a, k} \lambda^{-k-1} .
\]

Подпространства $C_{ \pm}^{*}(\mathrm{~g})$ ортогональны $C_{ \pm}(\mathrm{g})$ в смысле спаривания (1.10) и $C_{ \pm}^{*}(\mathrm{~g})=\left(C_{\mp}(\mathrm{g})\right)^{*}$. Скобка Ли – Пуассона (1.11) естественно ограничивается на эти подпространства.

Получающаяся пуассонова структура на $C_{ \pm}^{*}(\mathrm{~g})$ красиво записывается в терминах производящих функций $u_{a}^{ \pm}(\lambda)$. Именно, умножим обе части (1.11) на $\lambda^{-k-1} \mu^{-l-1}$ и просуммируем по $k, l<$ $<0$ и $k, l \geqslant 0$. Мы получим, что
\[
\left\{u_{a}^{ \pm}(\lambda), u_{b}^{ \pm}(\mu)\right\}=\mp C_{a b}^{c} \frac{u_{c}^{ \pm}(\lambda)-u_{c}^{ \pm}(\mu)}{\lambda-\mu} .
\]

Соответствующая формула для скобки Пуассона $\left\{u_{a}^{+}(\lambda)\right.$, $\left.u_{q}^{-}(\mu)\right\}$ уже не столь элегантна. К счастью, она нам и не нужна, поскольку мы сейчас введем на фазовом пространстве $C^{*}(\mathfrak{g})$ новую пуассонову структуру. Именно, в соответствии с разложением (1.16) введем на векторном пространстве $C(\mathrm{~g})$ новую структуру алгебры Ли с коммутатором [ , ], полагая
\[
\left[\xi_{+}, \eta_{+}\right]_{0}=\left[\xi_{+}, \eta_{+}\right], \quad\left[\xi_{-}, \eta_{-}\right]_{0}=-\left[\xi_{-}, \eta_{-}\right]
\]

и
\[
\left[\xi_{+}, \eta_{-}\right]_{0}=0,
\]

где $\xi=\xi_{+}+\xi_{-}, \eta=\eta_{+}+\eta_{-}$- элементы из $C(\mathfrak{g})$. Вводя оператор
\[
R=\frac{1}{2}\left(P_{+}-P_{-}\right),
\]

где $P_{ \pm}$- проекторы на подпространства $C_{ \pm}(\mathrm{g}), P_{+} P_{-}=P_{-} P_{+}=0$, соотношения (1.22) – (1.23) можно записать в виде одной формулы
\[
[\xi, \eta]_{0}=[R \xi, \eta]+[\xi, R \eta] .
\]

Описанную бесконечномерную алгебру Ли с коммутатором $[,]_{0}$ будем обозначать через $C_{0}(\mathrm{~g})$. Именно она и будет играть основную роль при классификации интегрируемых моделей.

Соответствующие скобки Ли – Пуассона $\{,\}_{0}$ на фазовом пространстве $C^{*}(\mathfrak{g})$ даются формулами (1.21) без знака $\pm$ в правой части и
\[
\left\{u_{a}^{+}(\lambda), u_{b}^{-}(\mu)\right\}_{0} \leftrightharpoons 0 .
\]

Теперь объединим (1.21) и (1.26) в одну элегантную формулу, предполагая, что алгебра Ли g допускает симметричную невырожденную билинейную форму <, >, инвариантную относительно присоединенного действия. Например, можно считать алгебру Ли g полупростой и в качестве <, > взять форму Килтинга. Рассмотрим невырожденную матрицу $K$ с матричными элементами
\[
K_{a b}=\left\langle X_{a}, X_{b}\right\rangle .
\]
(В случае, если алгебра Ли g полупроста и реализована как матричная алгебра, то можно считать $K_{a b}=\operatorname{tr} X_{a} X_{b}$.) Через $K^{a b}$ будем обозначать матричные элементы обратной матрицы $K^{-1}$. Введем элемент $\Pi$ из $g \circ g$ и элементы $A^{a}$ из $g$ по формулам
\[
\begin{array}{l}
\Pi=K^{a j} X_{a} \otimes X_{b}, \\
A^{a}=K^{a b} X_{b} .
\end{array}
\]

Справедливы соотношения
\[
\left[\Pi, A^{c} \otimes I\right]=-\left[\Pi, I \otimes A^{c}\right]=C_{a b}^{c} A^{a} \otimes A^{b},
\]

где символы $A \otimes I$ и $I \otimes A$ обозначают естественные вложения элемента $A$ из алгебры Ли g в $\mathfrak{g} \otimes \mathfrak{g}$. Для доказательства этих формул следует, помимо (1.1), использовать свойство антисимметрии структурных констант: тензор $C^{a b c}=K^{a a^{\prime}} K^{b b^{\prime}} C_{a^{\prime} b^{\prime}}$, полностью антисимметричен, что вытекает из инвариантности формы $\langle$,$\rangle .$

Используя введенные объекты П и $A^{a}$, определим элемент $r(\lambda)$ из $\mathfrak{g} \otimes \mathfrak{g}$
\[
r(\lambda)=\Pi / \lambda
\]

и формальный ряд Лорана $U(\lambda)$ с коэффициентами в $\mathrm{g}^{*} \otimes \mathrm{g}$
\[
U(\lambda)=u_{a}(\lambda) A^{a} .
\]

В их терминах скобки Ли – Пуассона (1.21) и (1.26), порожденные алгеброй $C_{0}(\mathfrak{g})$, переписываются в виде одной формулы
\[
\{U(\lambda) \otimes(U)\}_{0}=[r(\lambda-\mu), U(\lambda) \otimes I+I \otimes U(\mu)],
\]

где в левой части мы использовали естественное обозначение $\{\otimes\}_{0}$ (см. § III.1 части I). Формула (1.33) получается из (1.21)

после умножения на $A^{a} \otimes A^{b}$ и учета соотношений (1.30). Далее вплоть до § 4 мы будем использовать только скобки Пуассона $\{,\}_{0}$, поэтому для упрощения формул будем опускать индекс 0 .

Поучительно сравнить скобки Ли – Пуассона для алгебры Ли $C_{0}(\mathfrak{g})$ в форме (1.33) с фундаментальными скобками Пуассона дия непрерывных моделей из § III. 1 части I и § II.3, II. 6 и II.8. Эти формулы практически совпадают по своей записи; формальное отличие состонт в том, что в (1.33) отсутствует пространственная переменная $x$. Зависимость от $x$ легко ввести в наше изложение, если рассмотреть прямое пронзведение алгебр $C(g)$ по всем $x$. Более формально, следует использовать алгебру токов $\mathscr{C}((g))$ рядов Лорана $\xi(\lambda, x)$ с коэффициентами, зависящими от $x$ и удовлетворяющими определенным граничным условиям (например, периодическим нли быстроубывающим). Она порождается генераторами $X_{a, k}(x)$ с коммутатором
\[
\left[X_{a, k}(x), X_{b, l}(y)\right]=C_{a b}^{c} X_{c, k+l}(x) \delta(x-y) .
\]

Повторяя приведенные выше рассуждения применительно к алгебре $\mathscr{C}((\mathrm{g}))$, мы приходим к скобкам Ли- Пуассона на фазовом пространстве $\mathscr{C}^{*}((\mathrm{~g}))$
\[
\{U(x, \lambda) \otimes(y, \mu)\}=[r(\lambda-\mu), U(x, \lambda) \oslash I+I \otimes U(x, \mu)] \delta(x-y),
\]

которые по своей форме полностью совпадают с фундаментальнымп скобками Пуассона для непрерывных моделей.

Тем не менее, содержание формул (1.35) п, скажем, (II.3.8) все еше различно. Так, в последней формуле мы имеем дело с конкретной матрицей $U(x, \lambda)$ во вспомогательном пространстве, являющейся рацнональной функцией спектрального параметра $\lambda$, в то время как в (1.35) участвует формальный ряд Лорана с коэффициентами в заданной алгебре Ли g. Согласование состоит в том, что фундаментальные скобки Пуассона для конкретных моделей представляют собой реализацию скобок Пуассона (1.35) для конкретного матричного представления данной алгебры Ли $g$ (причем пространство представления играет роль вспомогательного пространства), ограниченную на орбиту соответствующей алгебры $\mathscr{C}_{0}((\mathrm{~g}))$ в фазовом пространстве $\mathscr{C}^{*}((\mathrm{~g}))$. Здесь мы называем для краткости орбитами алгебры Ли упомянутые выше интегральные многообразия для распределений, порожденных коприсоединенным действием. Эти орбиты представляют собой произведение по переменной $x$ орбит коприсоединенного действия алгебры Ли $C_{\theta}(\mathrm{g})$ в $C^{*}(\mathrm{~g})$. Условие пространственной однородности требует, чтобы эти орбиты при каждом $x$ совпадали. Поэтому ниже мы опять будем опускать зависимость от переменной $x$.

Для приложения к интегрируемым моделям наибольший интерес представляют конечномерные орбиты алгебры Ли $C_{0}(g)$. (Отметим, что в ситуации общего положения орбиты бесконечномерны.) Для их описания удобно ввести конечномерные пуассоновы подмногообразия в $C^{*}(\mathrm{~g})$, накладывая на координаты $u_{a, k}$ (или на их производящие функции $u_{a}(\lambda), U(\lambda)$ ) ограничения, инвариантные относительно пуассонова действия алгебры Ли $C_{0}(\mathrm{~g})$.

Простейшим примером такого пуассонова подмногообразия, очевидно, является линейное подпространство $C_{N, M}^{*}$ в $C^{*}(\mathfrak{g})$, определяемое уравнениями
\[
u_{a, k}=0
\]

при $k \geqslant N$ и $k \leqslant-M-1$, где $N, M \geqslant 0$. Действие алгебры $C_{0}(g)$ на подпространстве $C_{N, M}^{*}$ редуцируется до действия конечномерной алгебры Ли $C_{N, M}(g)$ с генераторами $X_{a, k},-M \leqslant k<N$, и коммутатором
\[
\left[X_{a, k}, X_{b, l}\right]=\left\{\begin{array}{c}
C_{a b}^{c} X_{c, k+l} \text { при } k, l \geqslant 0, k+l<N, \\
-C_{a b}^{c} X_{c, k+l} \text { при } k, l<0,-M-1<k+l, \\
0 \text { в остальных случаях. }
\end{array}\right.
\]

Орбиты этой алгебры в $C_{N, M}^{*}$ и образуют искомые фазовые пространства, отвечающие интегрируемым моделям. Более конкретно, координаты в $C_{N, M}^{*}$ даются набором $u_{a . k}, k=-M, \ldots, N-1$; их скобки Ли – Пуассона имеют вид
\[
\left\{u_{a, k}, u_{b, l}\right\}=\left\{\begin{array}{l}
-C_{a b}^{c} u_{c, k+l} \text { при } k, l \geqslant 0, k+l \leqslant N, \\
C_{a b}^{c} u_{c, k+1} \text { при } k, l<0,-M-1<k+l, \\
0 \quad \text { в остальных случаях },
\end{array}\right.
\]

и пуассоновы подмногообразия представляют собой объединения орбит алгебры Ли $C_{N, M}(\mathfrak{g})$. Задача о выборе этих орбит уже конечномерна и ее можно решать традиционными методами, например, фиксируя значения функций Казимира.

Производящая функция координат $u_{a, k}$ (или $u_{a, k}(x)$ после восстановления зависимости от $x$ ) теперь представляет собой рациональную функцию переменной $\lambda$
\[
U(\lambda)=\sum_{k=-M}^{N-1} u_{a, k} A^{a} \lambda^{-k-1}
\]

и при конкретном выборе представления алгебры Ли я есть матрица в пространстве этого представления. Она и представляет собой матрицу $U(x, \lambda)$ из вспомогательной линейной задачи для рассматриваемых ниже интегрируемых моделей.
Рассмотрим несколько примеров.
\[
\text { 1. } N=1, M=0 \text {. }
\]

Соответствующий элемент $U(\lambda)$ имеет вид
\[
U(\lambda)=\frac{U_{0}}{\lambda}=\frac{S_{a} A^{a}}{\lambda},
\]

где $S_{a}$ – динамические переменные на пространстве $C_{1,0}^{*}=g^{*}$ со скобками Пуассона
\[
\left\{S_{a}, S_{b}\right\}=-C_{a b}^{c} S_{c} .
\]

В простейшем случае $g=\operatorname{su}(2)$ имеем три динамические переменные $S_{a}, a=1,2,3$. Рассматривая фундаментальное представление $\operatorname{su(2)}$ с генераторами $X_{a}=\frac{1}{2 i} \sigma_{a}$, структурными константами $C_{a b c}=\varepsilon_{a b c}$ и матрицами $A^{a}=i \sigma_{a}$, имеем
\[
\begin{array}{l}
U(\lambda)=\frac{i S_{a} \sigma_{a}}{\lambda}, \\
r(\lambda)=\frac{1}{2 \lambda} \sigma_{a} \otimes \sigma_{a} .
\end{array}
\]

Соответствующие орбнты выделяются условием
\[
S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}=\text { const. }
\]

Динамические переменные $S_{a}$, удовлетворяющие соотношению (1.44) и скобкам Пуассона (1.41), использовались нами при описании фазового пространства модели МГ в § I.1. Матрица $U(x, \lambda)$ вида (1.42) и $r$-матрица (1.43) переходят в соответствующие объекты из § II.3, после замены $\lambda \rightarrow-2 / \lambda$, если вспомнить, что матрица перестановки $P$ в $\mathbb{C}^{2} \otimes \mathbb{C}^{2}$ имеет вид
\[
P=\frac{1}{2}\left(I \otimes I+\sigma_{a} \otimes \sigma_{a}\right),
\]

и опустить несущественное слагаемое, пропорциональное матрице $I \otimes I$.

В случае произвольной полупростой алгебры Ли g рассмотренный пример дает интегрируемое обобщение модели МГa-инвариантный магнетик.
2. $N=0, M=2$.
Соответствующий элемент $U(\lambda)$ имеет вид
\[
U(\lambda)=U_{-1}+\lambda U_{-2}=Q_{a} A^{a}+\lambda J_{a} A^{a},
\]

где $Q_{a}, J_{a}$-динамические переменные на фазовом пространстве $C_{0,2}^{*}$ со скобками Пуассона
\[
\begin{array}{l}
\left\{Q_{a}, Q_{b}\right\}=C_{a b}^{c} J_{c}, \\
\left\{Q_{a}, J_{b}\right\}=\left\{J_{a}, J_{b}\right\}=0 .
\end{array}
\]

Рассмотрим простейший случай алгебр Ли $\mathrm{g}=\operatorname{su}(2)$ или $\mathrm{g}=$ $=\mathrm{su}(1,1)$ в фундаментальном представлении с генераторами $X_{a}=\frac{1}{2 i} \sigma_{a}, a=1,2,3$ и $X_{1}=\frac{1}{2} \sigma_{3}, X_{2}=\frac{1}{2} \sigma_{2}, X_{3}=\frac{1}{2 i} \sigma_{3}$ соответственно. Интересующая нас орбита выделяется условиями
\[
\begin{array}{l}
J_{1}=J_{2}=0, J_{3}=\varepsilon / 2, \\
Q_{3}=0, Q_{1}+i Q_{2}=\psi,
\end{array}
\]

где $\varepsilon=-1$ для $\mathrm{g}=\mathrm{su}(2)$ и $\varepsilon=1$ для $\mathrm{g}=\mathrm{su}(1,1)$; единственная неисчезающая скобка Пуассона имест вид
\[
\{\psi, \bar{\psi}\}=i .
\]

В результате матрица $U(\lambda)$ записывается следующим образом:
\[
U(\lambda)=-\frac{\dot{\lambda}}{2 i} \sigma_{3}+\sqrt{\varepsilon}\left(\begin{array}{ll}
0 & \bar{\psi} \\
\psi & 0
\end{array}\right)
\]

и после замены $\lambda \mapsto-\varepsilon \lambda$ переходит в матрицу $U(x, \lambda)$ для модели НШ (см. § I. 2 части I), где $\%=\varepsilon$. При этой замене матрица $r(\lambda)$,
\[
r(\lambda)=\frac{1}{\lambda}\left(P-\frac{1 \otimes I}{2}\right),
\]

переходит (с точностью до несущественного единичного слагаемого) в $r$-матрицу модели НUІ из $\S$ III. 1 части I.

В случае других алгебр Ли g мы получим векторные и матричные обобщения модели НШ.

Таким образом, изложенная общая схема позволила не только включить два основных примера этой книги, но и дать их содержательное обобщение. При этом мы убедились, что модели НШ и МГ действительно являются простейшими в бесконечной серии примеров: мы можем брать произвольные $N$ и $M \geqslant 0$, алгебру Ли g и орбиту алгебры Ли $C_{N, M}(\mathfrak{g})$. Вспомогательная линейная задача с матрицей $U(x, \lambda)$ вида (1.39) и $r$-матрица (1.31) порождают представление нулевой кривизны для соответствующих гамильтоновых уравнений движения. Ли-алгебраическая интерпретация соответствующих гамильтонианов и схема решения уравнений движения будут приведены в $\$ 4$.

Здесь мы заметим, что приведенные примеры не исчерпывают все интересные конечномерные фазовые пространства (при фиксированном $x$ ). Приведем еще серию содержательных примеров. Начнем со следующего замечания. Скобки Пуассона (1.41) можно вывести из соотношения (1.33), подставляя в него $U(\lambda)$ в виде (1.40). При этом то, что полюс функции $U(\lambda)$ расположен в точке $\lambda=0$, несущественно. Подстановка
\[
U(\lambda)=\frac{S_{a} A^{a}}{\lambda-c}
\]

приводит к тому же результату. Эта функция $U(\lambda)$ уже принадлежит пространству $C_{+}^{*}(g)$ и соответствующие коэффициенты $u_{a, k}$ отличны от нуля при всех $k<0$ и связаны соотношением
\[
u_{a, k-1}=\frac{1}{c} u_{a, k} \text {, }
\]

которое вытекает из разложения $(\lambda-c)^{-1}$ в геометрическую прогрессию. Последние условия инвариантны относительно коприсоединенного действия алгебры $C_{0}(\mathrm{~g})$. Это же верно и для элементов
\[
U(\lambda)=\sum_{i=1}^{N} \sum_{k=0}^{n_{i}} \frac{S_{a, k}^{i 1} A^{a}}{\left(\lambda-c_{i}\right)^{k+1}} .
\]

Таким образом, производящие функции вида (1.55) образуют пуассоново подмногообразие в $C^{*}(\mathrm{~g})$, параметризованное координатами $S_{k, a}^{(i)}$. В этих координатах скобки Пуассона (1.33) принимают вид
\[
\left\{S_{a, k}^{(i)}, S_{b, l}^{(j)}\right\}=\left\{\begin{array}{c}
-C_{a j}^{c} \delta^{i j} S_{c, k+l}^{(i)} \text { при } k+l \leqslant n_{i}, \\
0 \text { в остальных случаях, }
\end{array}\right.
\]

и представляют собой скобки Ли-Пуассона конечномерной алгебры Ли – прямой суммы алгебр $C_{n_{i+1,9}}$ (g) по всем полюсам.

С матрицами $U(x, \lambda)$ вида (1.55) мы уже встречались в § I.6-I. 7 при обсуждении решений общего уравнения нулевой кривизны. Здесь мы пришли к ним, исходя из общих ли-алгебраических соображений, и ввели пуассонову структуру для связанных с ними интегрируемых моделей.

Итак, в этом параграфе мы привели общую схему построения матриц $U(x, \lambda)$, удовлетворяющих фундаментальным скобкам Пуассона с $r$-матрицей вида (1.31), и объяснили геометрическое происхождение последних. Повторяя рассуждения из части $\mathrm{I}$, с каждой из матриц $U(x, \lambda)$ мы можем связать серию интегрируемых моделей. Именно, рассмотрим вспомогательную линейную задачу
\[
\frac{d F}{d x}=U(x, \lambda) F
\]

и ее матрицу монодромии
(где для определенности мы предполагаем периодические граничные условия). Функционалы $\operatorname{tr} T(\lambda)$ и другие алгебраические инварианты матрицы $T(\lambda)$ образуют инволютивное семей-

ство, и гамильтоновы уравнения движения, порождаемые всеми функционалами из этого семейства, допускают представление нулевой кривизны. Геометрический смысл этих конструкций будет объяснен в $\S 4$.