1) Метод обратной задачи для модели МГ был развит в работе [2.57]. Полная интегрируемость этой модели в быстроубывающем случае была установлена в работах [2.20], [2.47]; в частности, в [2.47] были приведены канонические переменные типа действие – угол. Связь пуассоновых структур моделей МГ и НШ при калибровочном преобразовании отмечалась в [2.27].
2) Метод обратной задачи для модели SG в лабораторных координатах был сформулирован в работах [2.18], [2.36]. В [2.36-2.37] была доказана полная интегрируемость модели, приведены канонические переменные типа действие – угол и интерпретация спектра возбуждений в терминах релятивистской теории поля. Выражение для генератора лоренцевых вращений $K$ через переменные действие – угол было дано в работе [2.44].
3) Модель SG в координатах светового конуса была проинтегрирована с помощью метода обратной задачи в работах [2.35], [2.43]. Установлению связей моделей SG в лабораторных координатах и координатах светового конуса посвящены работы [2.38], [2.49]. Формулировка связей (7.8) и доказательство эквивалентности гамильтоновых картин для этих моделей приведены в [2.38].

4) Уравнение SG в координатах светового конуса, записанное в эволюционном внде по отношению к параметру $\eta$ :
\[
\frac{\partial \chi}{\partial \eta}=-\frac{m^{2}}{\beta} \int_{-\infty}^{\xi} \sin \beta \chi\left(\xi^{\prime}\right) d \xi^{\prime},
\]

является нелокальным. Поэтому класс быстроубывающих начальных данных не сохраняется в динамике. Полная система связей из $\S 7$ выделяет из этого класса начальных данных подмножество, инвариантное по отношению к динамике для всех высших уравнений $\mathrm{SG}$
\[
\frac{\partial \chi}{\partial \eta}=-\frac{2 m}{\beta^{2}} \int_{-\infty}^{\xi} \frac{\delta I_{-n}}{\delta \chi\left(\xi^{\prime}\right)} d_{\xi^{\prime}}, \quad n=1,2, \ldots
\]

Эти связи определяются процедурой, аналогичной изложенной в $\S 7$.
5) Для плотностей интегралов движения $J_{n}^{(\mathbf{1})}$ модели SG в лабораторных координатах, вычисленных па решеннях уравнений движения, выполняются соотношения
\[
\frac{\partial J_{n}^{(1)}}{\partial t}=\frac{\partial J_{n}^{(n)}}{\partial x}, \quad n=-\infty, \ldots, \infty, \quad n \equiv 1(\bmod 2) .
\]

Здесь $f_{n}^{\prime 0)}(x, t)$ п полиномы от функций $\varphi(x, t), \pi(x, t)$ и их производных по $x$, просто определяемые из представления нулевой кривизны (см., например, [2.14]). Из (9.3) имеем
\[
\frac{\partial}{\partial \eta}\left(J_{n}^{(0)}+J_{n}^{\prime} \mathbf{1}^{\prime}\right)=\frac{\partial}{\partial \xi}\left(J_{n}^{(0)}-J_{n}^{(\mathbf{1})}\right)
\]

и поэтому (см. §7)
\[
\left.\int_{-\infty}^{\infty} J_{n}^{(1)}\right|_{t=0} d x=\int_{-\infty}^{\infty}\left(J_{n}^{(0)}+\left.J_{n}^{\left(\mathbf{1}^{2}\right)}\right|_{\eta=0} d \xi .\right.
\]

Выражения $J_{n}^{(+)}(\chi)=J_{n}^{\prime 0}(\pi, \varphi)+J_{n}^{(1)}(\pi, \varphi)$ локальны по $\chi$ и $\frac{\partial \chi}{\partial \eta}$; нелокальность интегралов движения $f_{n}^{\prime+1}(\chi)$ модели SG в координатах светового конуса при $n<-1$ объясняется тем, что для таких $n$ из $\left.J_{n}^{(0)}(\pi, \varphi)+J_{n}^{\prime}{ }^{1}\right)(\pi, \varphi)$ приходится исключать функцию $\frac{\partial \chi}{\partial \eta}$ при помощи уравнения (9.1).
6) Описанная в § 7 связь гамильтоновых картин для модели SG в лабораторных координатах и координатах светового конуса является весьма общей; в частности, она имеет место для моделей главного кирального поля и $\vec{n}$-поля.
7) Уравнение
\[
\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial t^{2}}-\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x^{2}}+\frac{m^{2}}{\beta} \operatorname{sh} \beta \varphi=0
\]

в быстроубывающем случае исследуется буквально аналогично уравнению SG после замены $\beta \rightarrow i \beta$ во вспомогательной линейной задаче (4.1). При этом последняя становится формально самосопряженной и коэффициент $a(\lambda)$ не имеет нулей. Тем самым модель, описываемая уравнением (9.6), не имеет солитонов. В этом смысле взаимоотношение моделей (9.6) и SG такое же, как и моделей НШ в быстроубывающем случае при $x>0$ и $x<0$ соответственно.

8) В некотором смысле аналогами солитонов модели SG являются сингулярные решения уравнения (9.6). По поводу общего подхода к сингулярным решениям и их частицеподобной интерпретации см. обзор [2.54]. Вариант метода обратной задачи для построения сингулярных решений нелинейных уравнений изложен в работах [2.1-2.3].
9) Асимптотики решений уравнения SG при $t \rightarrow \pm \infty$ в лабораторных координатах и $\eta \rightarrow \pm \infty$ в координатах светового конуса были получены в работах [2.19], [2.22]. Соответствующие асимптотики для двумеризованной модели Тода, включающие, в частности, уравнение (9.6), были получены в работе [2.34].
10) Қак и для модели НШ, для моделей МГ и SG можно определить иерархии пуассоновых структур. Порождающие их $\Lambda$-операторы приведены в работах [2.52], [2.48] и [2.50], соответственно.
11) Представление нулевой кривизны для модели Л-Л было получено в работах [2.11] и [2.56]. В [2.56] была исследована вспомогательная линейная задача для быстроубывающих граничных условий и введены переменные типа действие – угол. Подчеркнем, что в работе [2.56] на примере модели Л-Л впервые появилось понятие (классической) $r$-матрицы.
12) По поводу обозначений и свойств эллиптических функций Якоби см., например, [2.39].
13) Обратная задача для модели Л-Л как матричная задача Римана на эллиптической кривой была сформулирована и исследована в работах [2.53], [2.55], в которых были описаны и $n$-солитонные решения.

В $[2.55]$ также обсуждалась матричная задача Римана на произвольной алгебраической кривой (компактной римановой поверхностй).
14) Конструкция солитонных решений уравнения Л-Л при помощи процедуры одевания приведена в работах [2.6], [2.8], [2.10].
15) Конечнозонные решения уравнения SG как в лабораторных координатах, так и в координатах светового конуса были получены в работах [2.21], [2.23]. Алгебро-геометрическое решение проблемы вещественности было приведено в [2.41], а в терминах явных тэта-функциональных формул – в работах [2.4] (двузонный случай) и [2.15] (общий случай). По поводу общей проблемы вещественности в конечнозонном интегрировании см. работу [2.33].
16) Общее алгебро-геометрическое описание конечнозонных решений уравнения Л-Л приведено в [2.42]. Явная конструкция, выражающая эти решения в терминах тэта-функций, была дана в работах [2.5], [2.7] для частично анизотропной модели МГ, а в работах [2.9], [2.45] – для уравнения $Л-Л$. Уравнение Л-Л выделено с точки зрения конечнозонного интегрирования тем, что участвующая в этом методе алгебраическая кривая $\Gamma$ является двулистным накрытием эллиптической кривой, а не комплексной плоскости, как это было для моделей с рациональной зависимостью от спектрального параметра. Поэтому вместо тэта-функций Римана в окончательных формулах для конечнозонных решений появляются тэта-функции Прима [2.9], [2.46].
17) По поводу конструкции конечнозонных решений общего уравнения нулевой кривизны с рациональной зависимостью от спектрального параметра, помимо упомянутых выше работ, см. также обзоры [2.16], [2.24-2.25].
18) Уравнение Л-Л связано с интегрируемыми системами классической механики. В работе [2.13] показано, что стационарные (т. е. не зависящие от $t$ ) решения уравнения Л-Л являются решениями задачи Неймана о движении частицы на двумерной сфере, а решения, зависящие только от комбинации $x-v t$, отвечают интегрируемому случаю задачи Клебша о движении твердого тела в жидкости. Явные формулы для этих решений в терминах тэта-функций Прима приведены в [2.9].
19) Полная интегрируемость перечисленных в гл. II моделей: модели КдФ, векторной модели НШ, модели $N$-волн и $S O(N)$-модели SG (для характерного случая $N=3$ ) с быстроубывающими граничными условиями была доказана, соответственно, в работах [2.17], [2.30], [2.31] и [2.12], где и были введены канонические переменные типа действие – угол.

20) В векторной модели НШ солитоны имеют поляризацию, которая, вообще говоря, меняется в процессе взаимодействия [2.32]. Однако теория рассеяния солитонов по-прежнему является факторизованной [2.26], [2.29].
21) Модели, приведенные в § I.2, допускают $r$-матричную формулировку:
\[
\{U(x, \lambda) \otimes U(x, \mu)\}=[r(\lambda, \mu), U(x, \lambda) \otimes I+I \otimes U(x, \mu)] \delta(x-y) ;
\]

здесь для векторной модели НШ с $n$ цветами п модели $N=\frac{n(n-1)}{2} \cdot$ волн $r(\lambda, \mu)=r(\lambda-\mu)$, где
\[
r(\lambda)=-x \frac{P}{\lambda}
\]
n
\[
r(\lambda)=\frac{P}{\lambda}
\]

соответственно, а $P$ – матрица перестановки в $\mathbb{C}^{n} \otimes \mathbb{C}^{n}$ (см. [2.28]). Для двумеризованной модели Тода имеем
\[
r(\lambda, \mu)=-\frac{\lambda^{n}+\mu^{n}}{2\left(\lambda^{n}-\mu^{n}\right)} \sum_{i=1}^{n-1} H_{i} \otimes H_{i}-\frac{1}{\lambda^{n}-\mu^{n}} \sum_{\alpha} \lambda^{p(\alpha)} \mu^{n-p(\alpha)} E_{\alpha} \otimes E_{-\alpha}
\]
(см. [2.51]). Здесь $\alpha$ пробегает все корни алгебры Ли $A_{n-1}, p(\alpha)=1, \ldots$ $\ldots, n-1$ – высота корня $\alpha$ по $\bmod n$, а $H_{i}, E_{\alpha}$ – базис Картана – Вейля алгебры Ли $A_{n-1}$.
22) Основные скобки Пуассона (I.3.15) модели КдФ содержат производную $\delta$-функции (неультралокальный случай), поэтому скобки Пуассона $\{U(x, \lambda) \otimes U(y, \mu)\}$ не представляются в виде (9.7). Последнее относится и к модели SG в координатах светового конуса. Однако скобки Пуассона для матриц перехода этих моделей уже представляются в привычном виде:
\[
\{T(x, y, \lambda) \otimes T(x, y, \mu)\}=[r(\lambda, \mu), T(x, y, \lambda) \otimes T(x, y, \mu)], \quad y \leqslant x
\]
(см. [2.40]), где для модели КдФ
\[
r(\lambda, \mu)=\frac{2}{\lambda^{2}-\mu^{2}} P,
\]
a $r$-матрицы моделей SG в лабораторных координатах й координатах светового конуса совпадают.