В этой главе мы вернемся к гамильтоновой формулировке модели НШ и рассмотрим основное преобразование метода обратной задачи
\[
\mathscr{F}:(\psi(x), \bar{\psi}(x)) \rightarrow\left(b(\lambda), \bar{b}(\lambda) ; \lambda_{j}, \gamma_{j}\right)
\]

с гамильтоновой точки зрения. Мы опишем пуассонову структуру на многообразии коэффициентов перехода и дискретного спектра вспомогательной линейной задачи, порожденную преобразованием $\mathscr{F}$ из исходной пуассоновой структуры, введенной в гл. І. При этом окажется, что модель НШ в случае быстроубывающих граничных условий и в случае конечной плотности является вполне интегрируемой системой, а преобразование $\mathscr{F}$ представляет собой переход к переменным типа действие — угол. В частности, будет показано, что введенные в гл. I интегралы движения находятся в инволюции. Теория рассеяния солитонов в этих терминах сводится к простому каноническому преобразованию.

В этой же главе будет введен важный объект метода обратной задачи — классическая $r$-матрица, универсальная роль которой будет полностью выявлена лишь в части II. Здесь мы убедимся, что $r$-матрица является удобным средством для вычисления и записи скобок Пуассона коэффициентов перехода. Более того, будет показано, что такая запись скобок Пуассона заменяет представление нулевой кривизны.