Настоящий параграф практически завершает общее описание гамильтонова подхода к модели HII с быстроубывающими граничными условиями. Мы покажем здесь, что эта модель является вполне интегрируемой. Доказательство будет основано на том, что мы явно предъявим канонические переменные типа действие — угол.

Еще в § I. 7 мы показали, что инволютивные интегралы движения $I_n$ являются функцисналами только от «половины» данных обратной задачи $\{b(\lambda ),\overline{b}(\lambda );{\lambda }_j,{\overline{\lambda }}_j,{\gamma }_j,{\overline{\gamma }}_j,j=1,\dots ,n\}$. Именно, производящая функция $\ln a(\lambda )$ интегралов движения зависит, в силу представления (6.43), только от $|b(\lambda ){|}^2$ и набора ${\lambda }_j,{\overline{\lambda }}_j$. В качестве «второй половины» естественно взять $\arg b(\lambda )$ и набор ${\gamma }_j,{\overline{\gamma }}_j$; скобки Пуассона (6.44) — (6.45) подтверждают эту точку зрения.
. Рассмотрим это подробнее, действуя все еще формально в духе $\mathrm{\S }6$; необходимые пояснения будут даны в конце параграфа. Введем величину
$$\phi (\lambda )=-\arg b(\lambda ),$$

определенную при $|b(\lambda )|eq0$; при этом считаем, что $0⩽\phi (\lambda )<$ $<2\pi$. Покажем, что
$$\{\phi (\lambda ),\phi (\mu )\}=0.$$

Действительно, из (6.17) и (6.44) имеем
$$\begin{array}{l}\{e^{\therefore i(\lambda )},e^{si{\phi }^{\prime }\dot{\mu }}\}=\{\frac{\overrightarrow{b}(\lambda )}{b(\lambda )},\frac{\overline{b}(\mu )}{b(\mu )}\}=\\ =-\frac{\overline{b}(\mu )}{b(\lambda )b^2(\mu )}\{\overline{b}(\lambda ),b(\mu )\}-\frac{\overrightarrow{b}(\lambda )}{b^2(\lambda )b(\mu )}\{b(\lambda ),\overline{b}(\mu )\}=0.\end{array}$$

Найдем теперь величину, канонически сопряженную с $\phi (\lambda )$, которая является функцией от $|b(\lambda ){|}^2$. Для произвольной функции $f(|b(\lambda ){|}^2)$ имеем $\{f(|b(\lambda ){|}^2),\phi (\mu )\}=$
$$\begin{array}{c}=\frac{f^{\prime }(|b(\lambda ){|}^2)}{2i}\{|b(\lambda ){|}^2,\ln \frac{\overline{b}(\mu )}{b(\mu )}\}=\frac{f^{\prime }(|b(\lambda ){|}^2)}{2i}\frac{b(\mu )}{\overline{b}(\mu )}\{|b(\lambda ){|}^2,\frac{\overline{b}(\mu )}{b(\mu )}\}=\\ =\frac{1}{2i}\frac{f^{\prime }(|b(\lambda ){|}^2)b(u)}{\overline{b}(\mu )}(\frac{\overline{b}(\lambda )}{b(\mu )}\{b(\lambda ),\overline{b}(\mu )\}-\frac{b(\lambda )\overline{b}(\mu )}{b^2(\mu )}\{\overline{b}(\lambda ),b(\mu )\})=\\ =2\pi |x|f^{\prime }(|b(\lambda ){|}^2)(1+\epsilon |b(\lambda ){|}^2)\delta (\lambda -\mu ),\end{array}$$

где штрих над $f$ означает производную. Коэффициент при $\delta (\lambda -\mu )$ в правой части (7.4) превращается в 1 , если
$$f(x)=\frac{1}{2\pi x}\ln (1+\epsilon x).$$

Отсюда окончательно получаем, что величины
$$\begin{array}{l}\rho (\lambda )=\frac{1}{2\pi x}\ln (1+\epsilon |b(\lambda ){|}^2),\\ \phi (\lambda )=-\arg b(\lambda ),-\mathrm{\infty }<\lambda <\mathrm{\infty },\end{array}$$

являются канонически сопряженными переменными, т. е. их единственная неисчезающая скобка Пуассона имеет вид
$$\{\rho (\lambda ),\phi (\mu )\}=\delta (\lambda -\mu ).$$

Отметим, что переменная $\rho (\lambda )$ неотрицательна при всех $\lambda$. Действительно, это очевидно при $\epsilon =1$, а при $\epsilon =-1$ это вытекает из неравенства
$$|b(\lambda )|<1$$

справедливого благодаря условию (A) (см. §I.6). Неоднозначности в определении величины $\phi (\lambda )$ можно избежать, если вместо $\rho (\lambda )$ и $\phi (\lambda )$ рассматривать комплекснозначные функции
$$\mathrm{\Phi }(\lambda )=\sqrt{\rho (\lambda )}{e}^{-i\phi .{\lambda }_0)},\overline{\mathrm{\Phi }}(\lambda )=\sqrt{\rho (\lambda )}{e}^{i\phi (\lambda )},$$

которые определены уже при всех $\lambda$ и исчезают, если $b(\lambda )=0$. Қак и $b(\lambda )$, функция $\mathrm{\Phi }(\lambda )$ является функцией типа Шварца, при этом ее гіадкость в случае $x<0$ обеспечивается условием (7.8). Из (7.2) и (7.7) получаем выражения для скобок Пуассона:
$$\begin{array}{l}\{\mathrm{\Phi }(\lambda ),\mathrm{\Phi }(\mu )\}=\{\overline{\mathrm{\Phi }}(\lambda ),\overline{\mathrm{\Phi }}(\mu )\}=0,\\ \{\mathrm{\Phi }(\lambda ),\overline{\mathrm{\Phi }}(\mu )\}=i\delta (\lambda -\mu ),\end{array}$$

которые аналогичны исходным скобкам Пуассона (1.14) для $\psi (x)$ и $\overline{\psi }(x)$.

Далее, как следует из формул в $\mathrm{\S }6$, данные непрерывного спектра $b(\lambda ),\overline{b}(\lambda )$ находятся в инволюции с данными дискретного спектра ${\lambda }_j,{\overline{\lambda }}_j,{\gamma }_j,{\overline{\gamma }}_j$. Среди последних также нетрудно выделить канонические переменные. Именно, перепишем (6.45) в виде
$$\{\ln {\gamma }_i,\frac{1}{x}{\lambda }_k\}={\delta }_{jk}$$

и воспользуемся равенством (6.41)
$$\{\ln {\overline{\gamma }}_i,\frac{1}{x}{\lambda }_k\}=0,j_{2}k=1,\dots ,n.$$

Отделяя в (7.11) —(7.12) вещественную и мнимую части, мы получим, что для переменных
$$\begin{array}{l}{p}_j=-\frac{2}{\mathrm{\%}}\mathrm{Re}{\lambda }_j,q_i=\ln \left|{\gamma }_j\right|,\\ {\rho }_j=-\frac{2}{\mathrm{\%}}\mathrm{Im}{\lambda }_j,{\phi }_j=-\arg {\gamma }_j\end{array}$$

неисчезающие скобки Пуассона имеют вид
$$\{p_j,q_k\}={\delta }_{jk},\{{\rho }_j,{\phi }_k\}={\delta }_{jk},j,k=1,\dots ,n.$$

Переменные $p_j$ и $q_j$ меняются на всей вещественной оси, а ${\rho }_j>0$ (напомним, что $\chi <0$ ) и $0⩽{\phi }_j<2\pi$.

Подведем итог. Полную систему данных обратной задачи составляют вещественнозначные функции $\rho (\lambda ),\phi (\lambda )$ (или комплекснозначные функции $\mathrm{\Phi }(\lambda ),\overline{\mathrm{\Phi }}(\lambda )$ ) и набор вещественных переменных дискретного спектра $p_j,q_j;{\rho }_j,{\phi }_j,j=1,\dots ,n$, образующие канонически сопряженные пары. Производящая функция интегралов движения зависит лищь от инволютивного набора переменных $\rho (\lambda ),p_j$ и ${\rho }_j$. Поэтому, по аналогии с гамильтоновой механикой с конечным числом степеней свободы, их естественно называть переменными типа действие. В частности, гамильтониан нашей модели зависит только от них. Сопряженные переменные $\phi (\lambda ),q_j$ и ${\phi }_j$ являются переленными типа углов. Конечно, следует помнить, что переменная $q_j$, в отличие от $\phi (\lambda )$ и ${\phi }_j$, меняется на всей вещественной оси, а не от 0 до $2\pi$. Преобразование к данным обратной задачи $\mathcal{F}:(\psi (x),\overline{\psi }(x))\mapsto (\rho (\lambda ),\phi (\lambda );p_j,q_j,{\rho }_j,{\phi }_j$, $j=1,\dots ,n)$, так подробно исследованное в главах I-II, является обратимым каноническим преобразованием.

Эти результаты и представляют собой основное утверждение по поводу модели НШ, доказывая ее полную интегрируемость.

В заключение формальной части этого параграфа приведем еще несколько полезных формул. Во-первых, из обратимости преобразования $\mathcal{F}$ следует, что симплектическая форма $\mathrm{\Omega }$ в новых

переменных имеет канонический вид
$$\mathrm{\Omega }={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}d\rho (\lambda )\wedge d\phi (\lambda )d\lambda +\sum _{j=q}^n(d{p}_j\wedge d{q}_j+d{\rho }_j\wedge d{\phi }_j).\text{ (7.15) }$$

Далее, приведем выражения для локальных интегралов движения $I_n$ через переменные $\rho (\lambda ),p_j$ и ${\rho }_j$. Для этого перепишем тождества следов из $\S 1.7$ в новых обозначениях:
$$I_k={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }^{k-1}\rho (\lambda )d\lambda +\frac{(-1{)}^k}{ik\mathrm{\%}}{\left(\frac{{\ddot{r}}^{\prime }}{2}\right)}^k\sum _{j=1}^n({(p_j-i{\rho }_j)}^k-{(p_j+i{\rho }_j)}^k).$$

В частнөсти, для заряда $N$, импульса $P$ и гамильтониана $H$ имеем
$$\begin{array}{c}N={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\rho (\lambda )d\lambda +\sum _{j=1}^n{\rho }_j,\\ P={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\lambda \rho (\lambda )d\lambda -\frac{\gamma }{2}\sum _{j=1}^n{\rho }_j{p}_j\\ H={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }^2\rho (\lambda )d\lambda +\frac{{\varkappa }^2}{4}\sum _{j=1}^n({\rho }_i{p}_i^2-\frac{1}{3}{\rho }_j^3).\end{array}$$

Переход к новым переменным полностью тривиализует динамику модели НШ и воспроизводит ответы из § I.7. Действительно, из (7.7), (7.14) и (7.19) имеем
$$\frac{\partial \rho }{\partial t}(\lambda ,t)=\frac{d{p}_i(t)}{dt}=\frac{d{\rho }_j(t)}{dt}=0$$

и
$$\begin{array}{c}\frac{\partial \phi }{\partial t}(\lambda ,t)=\{H,\phi \}={\lambda }^2,\\ \frac{d{q}_j}{dt}=\{H,q_j\}=\frac{{\varkappa }^2}{2}{\rho }_i{p}_j,\\ \frac{d{\phi }_i}{dt}=\{H,{\phi }_i\}=\frac{{\varkappa }^2}{4}(p_j^0-{\rho }_i^2),\end{array}$$

что эквнвалентно уже известным формулам (I.7.11)
$$\begin{array}{l}b(\lambda ,t)=e^{-i{\lambda }_{2}t}b(\lambda ,0),{\gamma }_j(t)=e^{-i{\lambda }^{2}t}{\gamma }_j(0),\\ {\lambda }_j(t)={\lambda }_i(0),j=1,\dots ,n.\end{array}$$

Конечно, все высшие уравнения НШІ также являются вполне интегрируемыми, и динамика общего уравнения
$$\frac{\partial \psi }{\partial t}=\{I,\psi \},\frac{\partial \overline{\psi }}{\partial t}=\{I,\overline{\psi }\}$$

где
$$I=\sum _k{\alpha }_k{I}_k$$

и коэффициенты ${\alpha }_k$ вещественны, дается формулами
$$\begin{array}{rl}b(\lambda ,t)& =e^{-iJ(\lambda )t}b(\lambda ,0),{\gamma }_i(t)=e^{-i\left({\lambda }_j\right)t}{\gamma }_i(0),\\ {\lambda }_j(t)& ={\lambda }_j(0),j=1,\dots ,n,\end{array}$$
a
$$I(\lambda )=\sum _k{\alpha }_k{\lambda }^{k-1}$$

Приведенные выше рассуждения были проведены на формальном уровне, в частности, мы не обсуждали вопрос о допустимости величин $a(\lambda ),b(\lambda ),{\lambda }_j$ и ${\gamma }_j$ как функционалов на фазовом пространстве ${\mathcal{M}}_0$. Теперь мы сделаем необходимые уточнения и начнем с данных непрерывного спектра.

Рассмотрим для этого поведение вариационных производных $a(\lambda )$ и $b(\lambda )$ по $\psi (x),\overline{\psi }(x)$ при $|x|\to \mathrm{\infty }$. Соответствующие формулы приведены в § 2 — равенства (2.6) — (2.7). Переходя в них к пределу при $L\to \mathrm{\infty }$ и вспоминая определение (6.1) приведенной матрицы монодромии, полунаем
$$\frac{\delta T(\lambda )}{\delta \psi (x)}=\sqrt{x}{T}_{+}^{-1}(x,\lambda ){\sigma }_{-}{T}_{-}(x,\lambda )$$

и
$$\frac{\delta T(\lambda )}{\delta \overline{\psi }(x)}=\sqrt{x}{T}_{+}^{-1}(x,\lambda ){\sigma }_{+}{T}_{-}(x,\lambda ).$$

Отсюда имеем, используя обозначения из $\mathrm{\S }6$ и свойство инволюции (1.5.19):
$$\begin{array}{l}\frac{\delta a(\lambda )}{\delta \psi (x)}=-\sqrt{x}{f}_{+}(x,\lambda )f_{-}(x,\lambda ),\\ \frac{\delta a(\lambda )}{\delta \overline{\psi }(x)\overline{y}}=\sqrt{x}{g}_{+}(x,\lambda )g_{-}(x,\lambda )\end{array}$$

и
$$\begin{array}{l}\frac{\delta b(\lambda )}{\delta \psi (x)}=\sqrt{x{\overline{g}}_{+}}(x,\lambda )f_{-}(x,\lambda ),\\ \frac{\delta b(\lambda )}{\delta \overline{\psi }(x)}=-\epsilon \sqrt{\overline{x}{\overline{f}}_{+}}(x,\lambda )g_{-}(x,\lambda ).\end{array}$$

При этом формулы (7.31)-(7.32) допускают аналитическое продолжение в верхнюю полуплоскость переменной $\lambda$.

Таким образом, вариационные производные функционалов $a(\lambda )$ и $b(\lambda )$ по $\psi (x),\overrightarrow{\psi }(x)$ являются гладкими функциями $x$. Рассмотрим их поведение при $|x|\to \mathrm{\infty }$. Начнем с функционала $a(\lambda )$ при вещественных $\lambda$. Мы имеем следующие асимптотики (см. $ I.5):
$$\begin{array}{rl}{e}^{i,x/2}{f}_{-}(x,\lambda )& =1+o(1)\\ e^{i\lambda x/2}{g}_{-}(x,\lambda )& =o(1)\\ e^{i\lambda x/2}{f}_{+}(x,\lambda )& =-\dot{\epsilon }\overline{b}(\lambda )+o(1)\\ e^{-i,x/2}{g}_{+}(x,\lambda )& =a(\lambda )+o(1)\end{array}$$

при $x\to -\mathrm{\infty }$ и
$$\begin{array}{rl}{e}^{-i\lambda x/2}{f}_{+}(x,\lambda )& =o(1),\\ e^{-i\cdot x/2}{g}_{+}(x,\lambda )& =1+o(1),\\ e^{i\lambda x/2}{f}_{-}(x,\lambda )& =a(\lambda )+o(1),\\ e^{-i\lambda x/2}{g}_{-}(x,\lambda )& =b(\lambda )+o(1)\end{array}$$

при $x\to +\mathrm{\infty }$, где предельные значения принимаются в смысле іШварца. Отсюда следует, что
$$\frac{\delta a(\lambda )}{\delta \psi (x)}=\epsilon \sqrt{x}{e}^{-i\lambda x}(\overline{b}(\lambda )+o(1)),\frac{\delta a(\lambda )}{\delta \overline{\psi }(x)}=0$$

при $x\to -\mathrm{\infty }$ и
$$\frac{\delta a(\lambda )}{\delta \psi (x)}=o(1),\frac{\delta a(\lambda )}{\delta \overline{\psi }(x)}=\sqrt{\overline{x}{e}^{i\lambda x}}(b(\lambda )+o(1))$$

при $x\to +\mathrm{\infty }$. Поэтому при вещественных $\lambda$ функционал $a(\lambda )$ недопустим.

Однако при $\mathrm{Im}\lambda >0$ функционал а ( $\lambda$ ) уже является допустимьім. Действительно, как мы доказали в § II. 2 (см. формулы (II.2.99)-(II.2.100)), при таких $\lambda$ асимптотики (7.35) — (7.36) и (7.38) — (7.41) остаются в силе, а формулы (7.37) и (7.42) заменяются на
$$e^{-i)x/2}{f}_{+}(x,\lambda )=o(1)\text{ при }x\to -\mathrm{\infty }$$

и
$$e^{i\lambda x/2}{g}_{-}(x,\lambda )=o(1)\text{ при }x\to +\mathrm{\infty }.$$

Поэтому для $\mathrm{Im}\lambda >0$ правые части в (7.31)-(7.32) быстро убывают при $|x|\to \mathrm{\infty }$, так что вариационные производные $\frac{\epsilon u(\lambda )}{\delta \psi (x)}$ и $\frac{\delta a(\lambda )}{\delta \overline{\delta }\psi (x)}$ являются функциями типа Шварца. Вещественная анали-
тичность функционала $a(\lambda )$ (а также и $b(\lambda )$ ) — разложение его в ряд по $\psi (x),\overline{\psi }(x)$ вида (1.1.7) — получается из аналогичного разложения для соответствующего матричного элемента матрицы монодромии $T_L(\lambda )$ (см. § 2) предельным перехөдом $L\to -\mathrm{\infty }$. Для функционала $b(\lambda )$ аналогичным образом имеем
$$\begin{array}{l}\frac{\delta b(\lambda )}{\delta \psi (x)}=\{\begin{array}{c}\sqrt{x}{e}^{-i\cdot x}(a(\lambda )+o(1))\text{ при }x\to +\mathrm{\infty },\\ \sqrt{x}{e}^{-i^1\cdot x}(\overline{a}(\lambda )+o(1))\text{ при }x\to -\mathrm{\infty },\end{array}\\ \frac{\delta b(\lambda )}{\delta \overline{\psi }(x)}=o(1)\text{ при }|x|\to \mathrm{\infty }\text{, }\end{array}$$

где предельные значения принимаются в смысле Шварца.
Таким образом, мы показали, что функционалы $a(\lambda )$ и $\overline{a}(\lambda )$ при $\mathrm{Im}\lambda >0$ являются допустимыми на фазовом пространстве ${\mathcal{A}}_0$. Что же касается $b(\lambda )$ и $\overrightarrow{b}(\lambda )$, то в силу (7.47) их следует рассматривать как обобщенные функции по переменной $\lambda$ со значениями в алгебре допустимых функционалов; другими стовами, допустимыми функционалами являются ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\phi }_1(\lambda )b(\lambda )d\lambda и$ ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\phi }_2(\lambda )\overline{b}(\lambda )d\lambda$ для произвольных функций ${\phi }_1(\lambda )$ и ${\phi }_2(\lambda )$ из пространства Шварца. Более того, допустимыми являются и функционалы, задаваемые абсолютно сходяцимися рядами вида
$$\begin{array}{rl}F=c+& \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\dots {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_{nm}({\mu }_1,\dots ,{\mu }_n\mid v_1,\dots ,v_m)\times \\ & \times b\left({\mu }_1\right)\dots b\left({\mu }_n\right)\overline{b}\left(v_1\right)\dots \overline{b}\left(v_m\right)d{\mu }_1\dots d{\mu }_{n}d{v}_1\dots d{v}_m,\end{array}$$

где коэффициентные функции $c_{nm}({\mu }_1,\dots ,{\mu }_n\mid v_1,\dots ,v_m)$ яв.тяются, вообще говоря, обобщенными функциями, а вариационные производные $\frac{\delta F}{\delta b(\lambda )}$ и $\frac{\delta F}{\delta \overline{b}(\lambda )}$ являются функциями типа Шварца (обратим внимание на аналогию с определением в § I.1). Действительно, для таких $F$
$$\frac{\delta F}{\delta \psi (x)}={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(\frac{\delta F}{\delta b(\lambda )}\frac{\delta b(\lambda )}{\delta \psi (x)}+\frac{\delta F}{\delta \overline{b}(\lambda )}\frac{\delta \overline{b}(\lambda )}{\delta \psi (x)})d\lambda$$
n
$$\frac{\delta F}{\delta \overline{\delta \overline{F}(x)}}={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(\frac{\delta F}{\delta b(\lambda )}\frac{\delta b(\lambda )}{\delta \overline{\psi }(x)}+\frac{\delta F}{\delta \overline{b(\lambda )}}\frac{\delta \overline{b}(\lambda )}{\delta \overline{\psi }(x)})d\lambda ,$$

так что, в силу (7.47), вариационные производные $\frac{\delta F}{\delta \psi (x)},\frac{\delta F}{\delta \overline{\psi }(x)}$ являются функциями типа Шварца. Разложение функционала $F$ в ряд по функциям $\psi (x),\overline{\psi }(x)$ вида (I.1.7) получается в результате подстановки в (7.48) ряда по $\overline{\psi }(x),\psi (x)$ для $b(\lambda )$.

Аналогичную интерпретацию в смысле обобщенных функций имеют и $\mathrm{\Phi }(\lambda ),\overline{\mathrm{\Phi }}(\lambda )$. При этом допустимые функционалы вида (7.48) задаются аналогичными рядами по $\mathrm{\Phi }(\lambda )$ и $\overline{\mathrm{\Phi }}(\lambda )$.

При $x>0$ функционалами вида (7.48) практически исчерпывается вся алгебра наблюдаемых. Действительно, формализм обратной задачи задает нам $\psi (x)$ и $\overline{\psi }(x)$ при каждом $x$ как функционаты от $b(\lambda ),\overline{b}(\lambda )$ в виде рядов (7.48), которые абсолютно сходятся при достаточно малых $|b(\lambda )|$ равномерно по $x$. Это следует из того, что при таких $b(\lambda )$ для уравнения Винера — Хопфа (II.2.53) абсолютно сходится ряд из итераций. Вопрос о сходимости рядов для $\psi (x),\overline{\psi }(x)$ при произвольных $b(\lambda )$ выходит за рамки этой книги.
$B$ указанном смысле $\mathrm{\Phi }(\lambda )$ и $\overline{\mathrm{\Phi }}(\lambda )$ (атакже $b(\lambda )$ и $\overline{b}(\lambda )$ ) являются координатами на фазовом пространстве, наподобие $\psi (x)$ $u\overline{\psi }(x)$.

При $x>0$ приведенная картина полностью описывает фазовое пространство ${\mathcal{A}}_0$. Мы имеем на ${\mathcal{M}}_0$ два набора комплексных канонических координат $\psi (x),\overline{\psi }(x)$ и $\mathrm{\Phi }(\lambda ),\overline{\mathrm{\Phi }}(\lambda )$, связанных нелинейным, обратимым и дифференцируемым каноническим преобразованием $\mathcal{F}$. Подчеркнем еще раз, что его обратимость была показана при решении обратной задачи в г.таве II. Что же касается свсйства дифференцируемости, то оно следует из приведенных в этом параграфе вычислений.

В координатах $\mathrm{\Phi }(\lambda ),\overline{\mathrm{\Phi }}(\lambda )$ основные наблюдаемые нашей модели — локальные интегралы движения $I_n$ — выглядят очень просто:
$$I_n={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }^{n-1}|\mathrm{\Phi }(\lambda ){|}^{2}d\lambda ,n=1,2,\dots ,$$

и представляют собой моменты функции $|\mathrm{\Phi }(\lambda ){|}^2$.
Эти формулы имеют естественную волновую интерпретацию. Функшия $|\mathrm{\Phi }(\lambda ){|}^2$ играет роль функции распределения независимых мод в волновом пакете $\psi (x,t)$ — решении уравнения НШ, а ее первье моменты дают заряд (число частиц), импульс и энергию этого пакета. Отображение $\mathcal{F}$ осуществляет переход к независимым модам модели НII. Само существование таких мод для нашей модели является нетривиальным фактом и обусловлено ее полной интегрируемостью. В линейном пределе $x\to 0$ отобра-

жение $\mathcal{F}$ переходит в преобразование Фурье
$$\mathrm{\Phi }(\lambda )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\psi (x)e^{-ix}dx,$$

приводящее линейное уравнение Шредингера к независимым модам (см. также $\mathrm{\S }$ II.3).

При $x<0$, помимо $b(\lambda )$ и $\overline{b}(\lambda )$, мы имеем еще и данные дискретного спектра ${\lambda }_j,{\overline{\lambda }}_j$ и ${\gamma }_j,{\overline{\gamma }}_j,j=1,\dots ,n$. Из допустимости $a(\lambda )$ при $\mathrm{Im}\lambda >0$ следует допустимость функционалов ${\lambda }_j,{\overline{\lambda }}_j$ на фазовом пространстве ${\mathcal{M}}_0$. Действительно, из условия $a\left({\lambda }_{jj}\right)=0$ по правилу дифференцирования сложного функционала получаем, что
$${\epsilon a(\lambda )|}_{{\lambda }_2={\lambda }_j}+\dot{a}\left({\lambda }_j\right)\delta {\lambda }_j=0$$

где точка означает производную по $\lambda$. Отсюда на осюовании (6.30) и аналитически продолженных для $\mathrm{Im}\lambda >0$ формул (7.31) — (7.32) имеем
$$\begin{array}{r}\frac{\delta {\lambda }_j}{\delta \psi (x)}=\sqrt{\overline{x}}\frac{{\gamma }_1}{\dot{a}\left({\lambda }_j\right)}{f}_{+}^2(x,{\lambda }_j),\frac{\delta {\lambda }_j}{\delta \overline{\psi }(x)}=-\sqrt{\overline{x}}\frac{{\gamma }_j}{\dot{a}\left({\lambda }_j\right)}{g}_{+}^2(x,{\lambda }_j),\\ j=1,\dots ,n.(\end{array}$$

Из формул (6.30), (7.35) — (7.36) и (7.39) — (7.40) заключаем, что вариационные производные $\frac{\delta {\lambda }_i}{\delta \psi (x)},\frac{\delta {\lambda }_j}{\delta \overline{\psi }(x)}$ являются функциями типа Шварца. Альтернативный вывод формул (7.54) в духе $\mathrm{\$}6$ состоит в использовании представления (6.23) и рассмотрении вычетов вариационных производных $\frac{\delta \ln a(\lambda )}{\delta \psi (x)}$ и $\frac{\delta \ln a(\lambda )}{\delta \overline{\psi }(x)}$ при $\lambda =$ $={\lambda }_j$.

Рассмотрим теперь функционалы ${\gamma }_j,{\overline{\gamma }}_j$. Для вычистения их вариационных производных воспользуемся формулами (6.30), взяв в них, например, первое равенство
$${\gamma }_j=\frac{f_{-}(z,{\lambda }_j)}{f_{+}(z,{\lambda }_j)},j=1,\dots ,n.$$

Отсюда получаем
$$\begin{array}{l}\frac{\delta {\psi }_j}{\delta \psi (x)}=\frac{1}{f_{+}(z,{\lambda }_j)}\frac{\delta f_{-}(z,{\lambda }_j)}{\delta \psi (x)}+\frac{{\dot{f}}_{-}(z,{\lambda }_j)}{f_{+}(z,{\lambda }_j)}\frac{\delta {\lambda }_j}{\delta {\psi }_i(x)}-\\ -\frac{f_{-}(z,{\lambda }_j)}{f_{+}^2(z,{\lambda }_j)}\frac{\delta f_{+}(z,{\lambda }_j)}{\delta \psi (x)}-\frac{f_{-}(z,{\lambda }_j){\dot{f}}_{+}(z,{\lambda }_j)}{f_{+}^{\prime }(z,{\lambda }_j)}\frac{\delta {\lambda }_j}{\delta \psi (x)}\end{array}$$

и аналогичное выражение для $\frac{\delta {\gamma }_j}{\delta \overline{\psi }(x)}$. Участвующие в этих формулах вариационные производные от $f_{\pm }(z,{\lambda }_j)$ вычисляются на основании равенств (2.6)-(2.7). Именно, переходя в них к пределу при $L\to \mathrm{\infty }$ и вспоминая определение (6.3) решений Иоста, получаем, что при $z>x$
$$\frac{\delta T_{-}(z,\lambda )}{\delta \psi (x)}=\sqrt{x}T(z,x,\lambda ){\sigma }_{-}{T}_{-}(z,\lambda )$$

и при $z<x$
$$\frac{\delta T_{+}(z,\lambda )}{\delta \psi (x)}=-\sqrt{x}T(z,x,\lambda ){\sigma }_{-}{T}_{+}(z,\lambda ),$$

а при $z<x$ и $z>x$ вариационные производные $\frac{\delta T_{-}(z,\lambda )}{\delta \psi (x)}$ н соответственно $\frac{\delta T_{+}(z,\lambda )}{\delta \Downarrow (x)}$ исчезают. Переход к выражениям діля $\frac{\delta T_{-}(z,\lambda )}{\delta \overline{\psi }(x)}$ и $\frac{\delta T_{+}(z,\lambda )}{\delta \overline{\psi }(x)}$ осуществляется заменой матрицы ${\sigma }_{-}$на ${\sigma }_{+}$.

Воспользуемся теперь тем, что левая часть формулы (7.56) не зависит от $z$. Поэтому мы можем в правой части (7.56) перейти к пределу при $z\to x\pm 0$, при котором выражения (7.57) — (7.58) существенно упрощаются. Полагая, например, $z=x+0$, получаем
$$\frac{\delta f_{-}(x+0,\lambda )}{\delta \psi (x)}=\frac{\delta f_{+}(x+0,\lambda )}{\delta \psi (x)}=0,$$

откуда с учетом (7.54) имеем
$$\frac{\delta {\gamma }_j}{\delta \psi (x)}=V\overline{x}\frac{{\gamma }_j}{\dot{a}\left({\lambda }_j\right)}({\dot{f}}_{-}(x,{\lambda }_j)f_{+}(x,{\lambda }_j)-f_{-}(x,{\lambda }_j){\dot{f}}_{+}(x,{\lambda }_j)).$$

Аналогичным образом получаем, что
$$\frac{\delta {\gamma }_j}{\delta \overline{\psi (x)}}=\sqrt{\overline{x}}\frac{{\gamma }_j}{\dot{a}\left({\lambda }_j\right)}({\dot{g}}_{+}(x,{\lambda }_j)g_{-}(x,{\lambda }_j)-g_{+}(x,{\lambda }_j){\dot{g}}_{-}(x,{\lambda }_j)).$$

Отметим, что выражения (7.60)-(7.61) согласованы с формулами $(7.33)-(7.34)$ и равенствами
$${\gamma }_j=b\left({\lambda }_j\right),{\overline{\gamma }}_j=b^{\ast }\left({\overline{\lambda }}_j\right),j=1,\dots ,n,$$

имеющими смысл только для финитных функций $\psi (x),\overline{\psi }(x)$.
Выражения (7.60)-(7.61) показывают, что вариационные производные $\frac{\delta {\gamma }_j}{\delta \psi (x)}$ и $\frac{\delta {\gamma }_j}{\delta \overline{\mathrm{\Psi }}(x)}$ являются гладкими функциями, а из формул (7.35)-(7.36), (7.38)-(7.41) и (7.45)-(7.46) следует,

что они быстро убывают при $|x|\to \mathrm{\infty }$. Таким образом, $\frac{\partial {\gamma }_j}{\delta \psi (x)}$ п $\frac{\delta {\gamma }_i}{\delta \overline{\psi }(x)}$ являются функциями типа Шварца, что означает допустимость функционалов ${\gamma }_j,\overline{{\gamma }_j}$ на фазовом пространстве ${\mathcal{M}}_0.{\mathrm{H}}^{\circ }$ этом мы заканчиваем оправдание формальных вычислений в § 6 и в начале этого параграфа.

Перейдем теперь к описанию фазового пространства ${\mathcal{M}}_0$ в новых координатах в случае $x<0$. Напомним, что при этом отображение $\mathcal{F}$ было построено и изучено нами лишь на открытом подмножестве ${\tilde{\mathcal{M}}}_0$ в ${\mathcal{M}}_0$, образованном парами функций $\psi (x),\overline{\psi (x)}$, удовлетворяющих условию (А), состоящему из неравенства (7.8) и требования простоты нулей ${\lambda }_j$ (см. § I.6). Как мы уже отмечали выше, гладкость функций $\mathrm{\Phi }(\lambda )$ и $\overline{\mathrm{\Phi }}(\lambda )$ эквивалентна условию (7.8). Установленные свойства преобразования $\mathcal{F}$ позволяют утверждать, что ${\tilde{\mathcal{M}}}_0$ представляется в виде несвязного объединения
$${\tilde{\mathcal{M}}}_0=\bigcup _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\mathfrak{M}}_n,$$

где компоненты ${\mathfrak{M}}_n$ представляет собой произведение фазового пространства ${\mathfrak{P}}_{\text{л }}$ с комплексными каноническими координатами $\mathrm{\Phi }(\lambda ),\overline{\mathrm{\Phi }}(\lambda )$ и конечномерного фазового пространства ${\mathbf{\Gamma }}_n$, представляющего собой пространство ${\mathbb{R}}^{4n}$ с каноническими координатами $p_j,q_j$ и ${\rho }_j,{\phi }_j,j=1,\dots ,n$, где $-\mathrm{\infty }<p_j,q_j<\mathrm{\infty }$ и $0⩽{\rho }_j<\mathrm{\infty }$, $0⩽{\phi }_j<2\pi$, из которого выкинуты поверхности ${\rho }_j=0$ и ${(p_j-p_k)}^2+$ $+{({\rho }_j-{\rho }_k)}^2=0,j,k=1,\dots ,n$. В терминах ${\lambda }_j$ эти поверхности задаются уравнениями $\mathrm{Im}{\lambda }_j=0$ и ${\lambda }_j={\lambda }_k$. Действительно, структура произведения ${\mathfrak{M}}_n={\mathfrak{M}}_0\times {\mathbf{\Gamma }}_n$ согласована с пуасоновой структурой, поскольку координаты непрерывного и дискретного спектра находятся в инволюции и скобка Пуассона координат $\mathrm{\Phi }(\lambda ),\mathrm{\Phi }(\lambda )$ (а также и координат $p_j,{\rho }_j;q_j,{\phi }_j$ ) очевидно невырожденна. В частности, конечномерное пространство ${\mathbf{\Gamma }}_n$ можно рассматривать как фазовое пространство, получаемое из ${\mathfrak{M}}_n$ редукцией, задаваемой связью $\mathrm{\Phi }(\lambda )=\mathrm{\Phi }(\lambda )=0$.

Компоненты ${\mathfrak{M}}_n$, а также и фазовые пространства ${\mathbf{\Gamma }}_n$ в отдельности, инвариантны относительно потоков, порожденных высши ми уравнениями НШ. Сужение этих потоков на ${\mathbf{\Gamma }}_n$ описывает динамику солитонов, которую мы подробно обсудим в следующем параграфе.

Алгебра допустимых функционалов на компоненте ${\mathfrak{M}}_n$ порождена произведениями допустимых функционалов вида (7.48), построенных по $\mathrm{\Phi }(\lambda )$ и $\overline{\mathrm{\Phi }}(\lambda )$, и гладких функций на фазовом пространстве ${\mathbf{\Gamma }}_n$. Более точно, допустимые функционалы $F$ на ${\mathfrak{N}}_n$

задаются абсолютно сходящимися рядами по $\mathrm{\Phi }(\lambda ),\overline{\mathrm{\Phi }}(\lambda )$ вида (7.48), где коэффициентные функции $c_{nm}$ гладко зависят от дополнительных переменных $p_j,q_j,{\rho }_j,{\phi }_j;j=1,\dots ,n$. При этом, помимо убывания $\frac{\delta F}{\delta \mathrm{\Phi }(\lambda )}$ и $\frac{\delta F}{\delta \overline{\mathrm{\Phi }}(\lambda )}$ при $|\lambda |\to \mathrm{\infty }$, требуется еше, чтобы ряды, получающиеся из (7.48) многократным дифференцированием по дополнительным переменным, сходились абсолютно.

Продолжение отображения $\mathcal{F}$ на все фазовое пространство ${\mathcal{A}}_0$ (без условия (А)), введение и исследование на нем соответствующих новых координат представляют собой сложную задачу глобального анализа, связанную со «склейкой» многообразий ${\mathfrak{M}}_n$ при появлении кратных нулей ${\lambda }_j$ и при выходе их на вещественную ось. Обсуждение ее выходит за рамки этой книги. К счастью, эта задача не слишком интересна для нашей основной темы исследования динамики солитонов. Так, например, при выходе нуля ${\lambda }_j$ на вещественную ось его вклад в интегралы движения исчезает.

На этом закончим исследование канонического преобразования $\mathcal{F}$.
$B$ заключение этого параграфа покажем, как иерархия пуассоновых структур, введенная в §5, выглядит в новых координатах. Оказывается, что действие оператора $\mathrm{\Lambda }$ сводится к умножению на геременную $\lambda$. Более точно, цля $l$-й структуры $\{$,$\},не-$ исчезающие скобки Пуассона в комплексных координатах на ${\mathfrak{M}}_n$ имеют вид
$$\begin{array}{c}\{\mathrm{\Phi }(\lambda ),\overline{\mathrm{\Phi }}(\mu ){\}}_l={\lambda }^l\delta (\lambda -\mu ),\\ {\{\ln {\gamma }_j,{\lambda }_k\}}_l=x{\lambda }_k^l{\delta }_{jk},j,k=1,\dots ,n.\end{array}$$

В частности, при $l⩾0$ пуассонова структура $\{,{\}}_{\text{l }}$ определена на всей алгебре функционалов вида (7.48). Упомянутый в $\mathrm{\$}5$ аннулятор порождается величинами вида ${\frac{d^k\mathrm{\Phi }(\lambda )}{d{\lambda }^k}|}_{\lambda =0},k=0,\dots$ $\dots ,l-1$. При $l<0$ на допустимые функционалы накладываются дополнительные условия: их вариационные производные по $\mathrm{\Phi }(\lambda )$ и $\overline{\mathrm{\Phi }}(\lambda )$ должны исчезать при $\lambda =0$ вместе с производными по $\lambda$ вплоть до порядка $|l|-1$. Тождество Якоби для пуассоновых структур $\{,{\}}_l$ тривиально следует из формул (7.64)-(7.65).

В справедливости этих формул проще всего убедиться на уравнениях движения. Действительно, $(l+1)$-е уравнение НШ с гамильтонианом $I_{l+1}$ можно переписать в виде
$$\begin{array}{c}\frac{\partial \mathrm{\Phi }(\lambda )}{\partial t}={\{I_1,\mathrm{\Phi }(\lambda )\}}_l,\\ \frac{d{\gamma }_i}{it}={\{I_1,{\gamma }_i\}}_l,i=1,\dots ,n,\end{array}$$

являющемся характеристическим для $l$-й пуассоновой структуры (см. §5).

Конечно, это рассуждение не является строгим. Существует и строгий вывод, основанный на пересчете пуассоновых структур при отображении $\mathcal{F}$, который, однако, мы здесь не приводим.