Настоящий параграф практически завершает общее описание гамильтонова подхода к модели HII с быстроубывающими граничными условиями. Мы покажем здесь, что эта модель является вполне интегрируемой. Доказательство будет основано на том, что мы явно предъявим канонические переменные типа действие – угол.

Еще в § I. 7 мы показали, что инволютивные интегралы движения $I_{n}$ являются функцисналами только от «половины» данных обратной задачи $\left\{b(\lambda), \bar{b}(\lambda) ; \lambda_{j}, \bar{\lambda}_{j}, \gamma_{j}, \bar{\gamma}_{j}, j=1, \ldots, n\right\}$. Именно, производящая функция $\ln a(\lambda)$ интегралов движения зависит, в силу представления (6.43), только от $|b(\lambda)|^{2}$ и набора $\lambda_{j}, \bar{\lambda}_{j}$. В качестве «второй половины» естественно взять $\arg b(\lambda)$ и набор $\gamma_{j}, \bar{\gamma}_{j}$; скобки Пуассона (6.44) – (6.45) подтверждают эту точку зрения.
. Рассмотрим это подробнее, действуя все еще формально в духе $\S 6$; необходимые пояснения будут даны в конце параграфа. Введем величину
\[
\varphi(\lambda)=-\arg b(\lambda),
\]

определенную при $|b(\lambda)|
eq 0$; при этом считаем, что $0 \leqslant \varphi(\lambda)<$ $<2 \pi$. Покажем, что
\[
\{\varphi(\lambda), \varphi(\mu)\}=0 .
\]

Действительно, из (6.17) и (6.44) имеем
\[
\begin{array}{l}
\left\{e^{\therefore i(\lambda)}, e^{s i \varphi^{\prime} \dot{\mu}}\right\}=\left\{\frac{\vec{b}(\lambda)}{b(\lambda)}, \frac{\bar{b}(\mu)}{b(\mu)}\right\}= \\
\quad=-\frac{\bar{b}(\mu)}{b(\lambda) b^{2}(\mu)}\{\bar{b}(\lambda), b(\mu)\}-\frac{\vec{b}(\lambda)}{b^{2}(\lambda) b(\mu)}\{b(\lambda), \bar{b}(\mu)\}=0 .
\end{array}
\]

Найдем теперь величину, канонически сопряженную с $\varphi(\lambda)$, которая является функцией от $|b(\lambda)|^{2}$. Для произвольной функции $f\left(|b(\lambda)|^{2}\right)$ имеем $\left\{f\left(|b(\lambda)|^{2}\right), \varphi(\mu)\right\}=$
\[
\begin{array}{c}
=\frac{f^{\prime}\left(|b(\lambda)|^{2}\right)}{2 i}\left\{|b(\lambda)|^{2}, \ln \frac{\bar{b}(\mu)}{b(\mu)}\right\}=\frac{f^{\prime}\left(|b(\lambda)|^{2}\right)}{2 i} \frac{b(\mu)}{\bar{b}(\mu)}\left\{|b(\lambda)|^{2}, \frac{\bar{b}(\mu)}{b(\mu)}\right\}= \\
=\frac{1}{2 i} \frac{f^{\prime}\left(|b(\lambda)|^{2}\right) b(u)}{\bar{b}(\mu)}\left(\frac{\bar{b}(\lambda)}{b(\mu)}\{b(\lambda), \bar{b}(\mu)\}-\frac{b(\lambda) \bar{b}(\mu)}{b^{2}(\mu)}\{\bar{b}(\lambda), b(\mu)\}\right)= \\
=2 \pi|x| f^{\prime}\left(|b(\lambda)|^{2}\right)\left(1+\varepsilon|b(\lambda)|^{2}\right) \delta(\lambda-\mu),
\end{array}
\]

где штрих над $f$ означает производную. Коэффициент при $\delta(\lambda-\mu)$ в правой части (7.4) превращается в 1 , если
\[
f(x)=\frac{1}{2 \pi x} \ln (1+\varepsilon x) .
\]

Отсюда окончательно получаем, что величины
\[
\begin{array}{l}
\rho(\lambda)=\frac{1}{2 \pi x} \ln \left(1+\varepsilon|b(\lambda)|^{2}\right), \\
\varphi(\lambda)=-\arg b(\lambda), \quad-\infty<\lambda<\infty,
\end{array}
\]

являются канонически сопряженными переменными, т. е. их единственная неисчезающая скобка Пуассона имеет вид
\[
\{\rho(\lambda), \varphi(\mu)\}=\delta(\lambda-\mu) .
\]

Отметим, что переменная $\rho(\lambda)$ неотрицательна при всех $\lambda$. Действительно, это очевидно при $\varepsilon=1$, а при $\varepsilon=-1$ это вытекает из неравенства
\[
|b(\lambda)|<1
\]

справедливого благодаря условию (A) (см. §I.6). Неоднозначности в определении величины $\varphi(\lambda)$ можно избежать, если вместо $\rho(\lambda)$ и $\varphi(\lambda)$ рассматривать комплекснозначные функции
\[
\Phi(\lambda)=\sqrt{\rho(\lambda)} e^{\left.-i \varphi . \lambda_{0}\right)}, \quad \bar{\Phi}(\lambda)=\sqrt{\rho(\lambda)} e^{i \varphi(\lambda)},
\]

которые определены уже при всех $\lambda$ и исчезают, если $b(\lambda)=0$. Қак и $b(\lambda)$, функция $\Phi(\lambda)$ является функцией типа Шварца, при этом ее гіадкость в случае $x<0$ обеспечивается условием (7.8). Из (7.2) и (7.7) получаем выражения для скобок Пуассона:
\[
\begin{array}{l}
\{\Phi(\lambda), \Phi(\mu)\}=\{\bar{\Phi}(\lambda), \bar{\Phi}(\mu)\}=0, \\
\{\Phi(\lambda), \bar{\Phi}(\mu)\}=i \delta(\lambda-\mu),
\end{array}
\]

которые аналогичны исходным скобкам Пуассона (1.14) для $\psi(x)$ и $\bar{\psi}(x)$.

Далее, как следует из формул в $\S 6$, данные непрерывного спектра $b(\lambda), \bar{b}(\lambda)$ находятся в инволюции с данными дискретного спектра $\lambda_{j}, \bar{\lambda}_{j}, \gamma_{j}, \bar{\gamma}_{j}$. Среди последних также нетрудно выделить канонические переменные. Именно, перепишем (6.45) в виде
\[
\left\{\ln \gamma_{i}, \frac{1}{x} \lambda_{k}\right\}=\delta_{j k}
\]

и воспользуемся равенством (6.41)
\[
\left\{\ln \bar{\gamma}_{i}, \frac{1}{x} \lambda_{k}\right\}=0, \quad j_{2} k=1, \ldots, n .
\]

Отделяя в (7.11) —(7.12) вещественную и мнимую части, мы получим, что для переменных
\[
\begin{array}{l}
p_{j}=-\frac{2}{\%} \operatorname{Re} \lambda_{j}, \quad q_{i}=\ln \left|\gamma_{j}\right|, \\
\rho_{j}=-\frac{2}{\%} \operatorname{Im} \lambda_{j}, \quad \varphi_{j}=-\arg \gamma_{j}
\end{array}
\]

неисчезающие скобки Пуассона имеют вид
\[
\left\{p_{j}, q_{k}\right\}=\delta_{j k}, \quad\left\{\rho_{j}, \varphi_{k}\right\}=\delta_{j k}, \quad j, k=1, \ldots, n .
\]

Переменные $p_{j}$ и $q_{j}$ меняются на всей вещественной оси, а $\rho_{j}>0$ (напомним, что $\chi<0$ ) и $0 \leqslant \varphi_{j}<2 \pi$.

Подведем итог. Полную систему данных обратной задачи составляют вещественнозначные функции $\rho(\lambda), \varphi(\lambda)$ (или комплекснозначные функции $\Phi(\lambda), \bar{\Phi}(\lambda)$ ) и набор вещественных переменных дискретного спектра $p_{j}, q_{j} ; \rho_{j}, \varphi_{j}, j=1, \ldots, n$, образующие канонически сопряженные пары. Производящая функция интегралов движения зависит лищь от инволютивного набора переменных $\rho(\lambda), p_{j}$ и $\rho_{j}$. Поэтому, по аналогии с гамильтоновой механикой с конечным числом степеней свободы, их естественно называть переменными типа действие. В частности, гамильтониан нашей модели зависит только от них. Сопряженные переменные $\varphi(\lambda), q_{j}$ и $\varphi_{j}$ являются переленными типа углов. Конечно, следует помнить, что переменная $q_{j}$, в отличие от $\varphi(\lambda)$ и $\varphi_{j}$, меняется на всей вещественной оси, а не от 0 до $2 \pi$. Преобразование к данным обратной задачи $\mathscr{F}:(\psi(x), \bar{\psi}(x)) \mapsto\left(\rho(\lambda), \varphi(\lambda) ; p_{j}, q_{j}, \rho_{j}, \varphi_{j}\right.$, $j=1, \ldots, n)$, так подробно исследованное в главах I-II, является обратимым каноническим преобразованием.

Эти результаты и представляют собой основное утверждение по поводу модели НШ, доказывая ее полную интегрируемость.

В заключение формальной части этого параграфа приведем еще несколько полезных формул. Во-первых, из обратимости преобразования $\mathscr{F}$ следует, что симплектическая форма $\Omega$ в новых

переменных имеет канонический вид
\[
\Omega=\int_{-\infty}^{\infty} d \rho(\lambda) \wedge d \varphi(\lambda) d \lambda+\sum_{j=q}^{n}\left(d p_{j} \wedge d q_{j}+d \rho_{j} \wedge d \varphi_{j}\right) . \text { (7.15) }
\]

Далее, приведем выражения для локальных интегралов движения $I_{n}$ через переменные $\rho(\lambda), p_{j}$ и $\rho_{j}$. Для этого перепишем тождества следов из $§ 1.7$ в новых обозначениях:
\[
I_{k}=\int_{-\infty}^{\infty} \lambda^{k-1} \rho(\lambda) d \lambda+\frac{(-1)^{k}}{i k \%}\left(\frac{\ddot{r}^{\prime}}{2}\right)^{k} \sum_{j=1}^{n}\left(\left(p_{j}-i \rho_{j}\right)^{k}-\left(p_{j}+i \rho_{j}\right)^{k}\right) .
\]

В частнөсти, для заряда $N$, импульса $P$ и гамильтониана $H$ имеем
\[
\begin{array}{c}
N=\int_{-\infty}^{\infty} \rho(\lambda) d \lambda+\sum_{j=1}^{n} \rho_{j}, \\
P=\int_{-\infty}^{\infty} \lambda \rho(\lambda) d \lambda-\frac{\gamma}{2} \sum_{j=1}^{n} \rho_{j} p_{j} \\
H=\int_{-\infty}^{\infty} \lambda^{2} \rho(\lambda) d \lambda+\frac{\varkappa^{2}}{4} \sum_{j=1}^{n}\left(\rho_{i} p_{i}^{2}-\frac{1}{3} \rho_{j}^{3}\right) .
\end{array}
\]

Переход к новым переменным полностью тривиализует динамику модели НШ и воспроизводит ответы из § I.7. Действительно, из (7.7), (7.14) и (7.19) имеем
\[
\frac{\partial \rho}{\partial t}(\lambda, t)=\frac{d p_{i}(t)}{d t}=\frac{d \rho_{j}(t)}{d t}=0
\]

и
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial \varphi}{\partial t}(\lambda, t)=\{H, \varphi\}=\lambda^{2}, \\
\frac{d q_{j}}{d t}=\left\{H, q_{j}\right\}=\frac{\varkappa^{2}}{2} \rho_{i} p_{j}, \\
\frac{d \varphi_{i}}{d t}=\left\{H, \varphi_{i}\right\}=\frac{\varkappa^{2}}{4}\left(p_{j}^{0}-\rho_{i}^{2}\right),
\end{array}
\]

что эквнвалентно уже известным формулам (I.7.11)
\[
\begin{array}{l}
b(\lambda, t)=e^{-i \lambda_{2} t} b(\lambda, 0), \quad \gamma_{j}(t)=e^{-i \lambda^{2} t} \gamma_{j}(0), \\
\lambda_{j}(t)=\lambda_{i}(0), \quad j=1, \ldots, n .
\end{array}
\]

Конечно, все высшие уравнения НШІ также являются вполне интегрируемыми, и динамика общего уравнения
\[
\frac{\partial \psi}{\partial t}=\{I, \psi\}, \quad \frac{\partial \bar{\psi}}{\partial t}=\{I, \bar{\psi}\}
\]

где
\[
I=\sum_{k} \alpha_{k} I_{k}
\]

и коэффициенты $\alpha_{k}$ вещественны, дается формулами
\[
\begin{aligned}
b(\lambda, t) & =e^{-i J(\lambda) t} b(\lambda, 0), \quad \gamma_{i}(t)=e^{-i\left(\lambda_{j}\right) t} \gamma_{i}(0), \\
\lambda_{j}(t) & =\lambda_{j}(0), \quad j=1, \ldots, n,
\end{aligned}
\]
a
\[
I(\lambda)=\sum_{k} \alpha_{k} \lambda^{k-1}
\]

Приведенные выше рассуждения были проведены на формальном уровне, в частности, мы не обсуждали вопрос о допустимости величин $a(\lambda), b(\lambda), \lambda_{j}$ и $\gamma_{j}$ как функционалов на фазовом пространстве $\mathscr{M}_{0}$. Теперь мы сделаем необходимые уточнения и начнем с данных непрерывного спектра.

Рассмотрим для этого поведение вариационных производных $a(\lambda)$ и $b(\lambda)$ по $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ при $|x| \rightarrow \infty$. Соответствующие формулы приведены в § 2 – равенства (2.6) – (2.7). Переходя в них к пределу при $L \rightarrow \infty$ и вспоминая определение (6.1) приведенной матрицы монодромии, полунаем
\[
\frac{\delta T(\lambda)}{\delta \psi(x)}=\sqrt{x} T_{+}^{-1}(x, \lambda) \sigma_{-} T_{-}(x, \lambda)
\]

и
\[
\frac{\delta T(\lambda)}{\delta \bar{\psi}(x)}=\sqrt{x} T_{+}^{-1}(x, \lambda) \sigma_{+} T_{-}(x, \lambda) .
\]

Отсюда имеем, используя обозначения из $\S 6$ и свойство инволюции (1.5.19):
\[
\begin{array}{l}
\frac{\delta a(\lambda)}{\delta \psi(x)}=-\sqrt{x} f_{+}(x, \lambda) f_{-}(x, \lambda), \\
\frac{\delta a(\lambda)}{\delta \bar{\psi}(x) \bar{y}}=\sqrt{x} g_{+}(x, \lambda) g_{-}(x, \lambda)
\end{array}
\]

и
\[
\begin{array}{l}
\frac{\delta b(\lambda)}{\delta \psi(x)}=\sqrt{x \bar{g}_{+}}(x, \lambda) f_{-}(x, \lambda), \\
\frac{\delta b(\lambda)}{\delta \bar{\psi}(x)}=-\varepsilon \sqrt{\bar{x} \bar{f}_{+}}(x, \lambda) g_{-}(x, \lambda) .
\end{array}
\]

При этом формулы (7.31)-(7.32) допускают аналитическое продолжение в верхнюю полуплоскость переменной $\lambda$.

Таким образом, вариационные производные функционалов $a(\lambda)$ и $b(\lambda)$ по $\psi(x), \vec{\psi}(x)$ являются гладкими функциями $x$. Рассмотрим их поведение при $|x| \rightarrow \infty$. Начнем с функционала $a(\lambda)$ при вещественных $\lambda$. Мы имеем следующие асимптотики (см. \$ I.5):
\[
\begin{aligned}
e^{i, x / 2} f_{-}(x, \lambda) & =1+o(1) \\
e^{i \lambda x / 2} g_{-}(x, \lambda) & =o(1) \\
e^{i \lambda x / 2} f_{+}(x, \lambda) & =-\dot{\varepsilon} \bar{b}(\lambda)+o(1) \\
e^{-i, x / 2} g_{+}(x, \lambda) & =a(\lambda)+o(1)
\end{aligned}
\]

при $x \rightarrow-\infty$ и
\[
\begin{aligned}
e^{-i \lambda x / 2} f_{+}(x, \lambda) & =o(1), \\
e^{-i \cdot x / 2} g_{+}(x, \lambda) & =1+o(1), \\
e^{i \lambda x / 2} f_{-}(x, \lambda) & =a(\lambda)+o(1), \\
e^{-i \lambda x / 2} g_{-}(x, \lambda) & =b(\lambda)+o(1)
\end{aligned}
\]

при $x \rightarrow+\infty$, где предельные значения принимаются в смысле іШварца. Отсюда следует, что
\[
\frac{\delta a(\lambda)}{\delta \psi(x)}=\varepsilon \sqrt{x} e^{-i \lambda x}(\bar{b}(\lambda)+o(1)), \frac{\delta a(\lambda)}{\delta \bar{\psi}(x)}=0
\]

при $x \rightarrow-\infty$ и
\[
\frac{\delta a(\lambda)}{\delta \psi(x)}=o(1), \quad \frac{\delta a(\lambda)}{\delta \bar{\psi}(x)}=\sqrt{\bar{x} e^{i \lambda x}}(b(\lambda)+o(1))
\]

при $x \rightarrow+\infty$. Поэтому при вещественных $\lambda$ функционал $a(\lambda)$ недопустим.

Однако при $\operatorname{Im} \lambda>0$ функционал а ( $\lambda$ ) уже является допустимьім. Действительно, как мы доказали в § II. 2 (см. формулы (II.2.99)-(II.2.100)), при таких $\lambda$ асимптотики (7.35) – (7.36) и (7.38) – (7.41) остаются в силе, а формулы (7.37) и (7.42) заменяются на
\[
e^{-i) x / 2} f_{+}(x, \lambda)=o(1) \text { при } x \rightarrow-\infty
\]

и
\[
e^{i \lambda x / 2} g_{-}(x, \lambda)=o(1) \text { при } x \rightarrow+\infty .
\]

Поэтому для $\operatorname{Im} \lambda>0$ правые части в (7.31)-(7.32) быстро убывают при $|x| \rightarrow \infty$, так что вариационные производные $\frac{\varepsilon u(\lambda)}{\delta \psi(x)}$ и $\frac{\delta a(\lambda)}{\delta \bar{\delta} \psi(x)}$ являются функциями типа Шварца. Вещественная анали-
тичность функционала $a(\lambda)$ (а также и $b(\lambda)$ ) – разложение его в ряд по $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ вида (1.1.7) – получается из аналогичного разложения для соответствующего матричного элемента матрицы монодромии $T_{L}(\lambda)$ (см. § 2) предельным перехөдом $L \rightarrow-\infty$. Для функционала $b(\lambda)$ аналогичным образом имеем
\[
\begin{array}{l}
\frac{\delta b(\lambda)}{\delta \psi(x)}=\left\{\begin{array}{l}
\sqrt{x} e^{-i \cdot x}(a(\lambda)+o(1)) \text { при } x \rightarrow+\infty, \\
\sqrt{x} e^{-i^{1} \cdot x}(\bar{a}(\lambda)+o(1)) \text { при } x \rightarrow-\infty,
\end{array}\right. \\
\frac{\delta b(\lambda)}{\delta \bar{\psi}(x)}=o(1) \text { при }|x| \rightarrow \infty \text {, } \\
\end{array}
\]

где предельные значения принимаются в смысле Шварца.
Таким образом, мы показали, что функционалы $a(\lambda)$ и $\bar{a}(\lambda)$ при $\operatorname{Im} \lambda>0$ являются допустимыми на фазовом пространстве $\mathscr{A}_{0}$. Что же касается $b(\lambda)$ и $\vec{b}(\lambda)$, то в силу (7.47) их следует рассматривать как обобщенные функции по переменной $\lambda$ со значениями в алгебре допустимых функционалов; другими стовами, допустимыми функционалами являются $\int_{-\infty}^{\infty} \varphi_{1}(\lambda) b(\lambda) d \lambda \quad и$ $\int_{-\infty}^{\infty} \varphi_{2}(\lambda) \bar{b}(\lambda) d \lambda$ для произвольных функций $\varphi_{1}(\lambda)$ и $\varphi_{2}(\lambda)$ из пространства Шварца. Более того, допустимыми являются и функционалы, задаваемые абсолютно сходяцимися рядами вида
\[
\begin{aligned}
F=c+ & \sum_{n=0}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \ldots \int_{-\infty}^{\infty} c_{n m}\left(\mu_{1}, \ldots, \mu_{n} \mid v_{1}, \ldots, v_{m}\right) \times \\
& \times b\left(\mu_{1}\right) \ldots b\left(\mu_{n}\right) \bar{b}\left(v_{1}\right) \ldots \bar{b}\left(v_{m}\right) d \mu_{1} \ldots d \mu_{n} d v_{1} \ldots d v_{m},
\end{aligned}
\]

где коэффициентные функции $c_{n m}\left(\mu_{1}, \ldots, \mu_{n} \mid v_{1}, \ldots, v_{m}\right)$ яв.тяются, вообще говоря, обобщенными функциями, а вариационные производные $\frac{\delta F}{\delta b(\lambda)}$ и $\frac{\delta F}{\delta \bar{b}(\lambda)}$ являются функциями типа Шварца (обратим внимание на аналогию с определением в § I.1). Действительно, для таких $F$
\[
\frac{\delta F}{\delta \psi(x)}=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{\delta F}{\delta b(\lambda)} \frac{\delta b(\lambda)}{\delta \psi(x)}+\frac{\delta F}{\delta \bar{b}(\lambda)} \frac{\delta \bar{b}(\lambda)}{\delta \psi(x)}\right) d \lambda
\]
n
\[
\frac{\delta F}{\delta \overline{\delta \bar{F}(x)}}=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{\delta F}{\delta b(\lambda)} \frac{\delta b(\lambda)}{\delta \bar{\psi}(x)}+\frac{\delta F}{\delta \overline{b(\lambda)}} \frac{\delta \bar{b}(\lambda)}{\delta \bar{\psi}(x)}\right) d \lambda,
\]

так что, в силу (7.47), вариационные производные $\frac{\delta F}{\delta \psi(x)}, \frac{\delta F}{\delta \bar{\psi}(x)}$ являются функциями типа Шварца. Разложение функционала $F$ в ряд по функциям $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ вида (I.1.7) получается в результате подстановки в (7.48) ряда по $\bar{\psi}(x), \psi(x)$ для $b(\lambda)$.

Аналогичную интерпретацию в смысле обобщенных функций имеют и $\Phi(\lambda), \bar{\Phi}(\lambda)$. При этом допустимые функционалы вида (7.48) задаются аналогичными рядами по $\Phi(\lambda)$ и $\bar{\Phi}(\lambda)$.

При $x>0$ функционалами вида (7.48) практически исчерпывается вся алгебра наблюдаемых. Действительно, формализм обратной задачи задает нам $\psi(x)$ и $\bar{\psi}(x)$ при каждом $x$ как функционаты от $b(\lambda), \bar{b}(\lambda)$ в виде рядов (7.48), которые абсолютно сходятся при достаточно малых $|b(\lambda)|$ равномерно по $x$. Это следует из того, что при таких $b(\lambda)$ для уравнения Винера – Хопфа (II.2.53) абсолютно сходится ряд из итераций. Вопрос о сходимости рядов для $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ при произвольных $b(\lambda)$ выходит за рамки этой книги.
$B$ указанном смысле $\Phi(\lambda)$ и $\bar{\Phi}(\lambda)$ (атакже $b(\lambda)$ и $\bar{b}(\lambda)$ ) являются координатами на фазовом пространстве, наподобие $\psi(x)$ $u \bar{\psi}(x)$.

При $x>0$ приведенная картина полностью описывает фазовое пространство $\mathscr{A}_{0}$. Мы имеем на $\mathscr{M}_{0}$ два набора комплексных канонических координат $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ и $\Phi(\lambda), \bar{\Phi}(\lambda)$, связанных нелинейным, обратимым и дифференцируемым каноническим преобразованием $\mathscr{F}$. Подчеркнем еще раз, что его обратимость была показана при решении обратной задачи в г.таве II. Что же касается свсйства дифференцируемости, то оно следует из приведенных в этом параграфе вычислений.

В координатах $\Phi(\lambda), \bar{\Phi}(\lambda)$ основные наблюдаемые нашей модели – локальные интегралы движения $I_{n}$ – выглядят очень просто:
\[
I_{n}=\int_{-\infty}^{\infty} \lambda^{n-1}|\Phi(\lambda)|^{2} d \lambda, \quad n=1,2, \ldots,
\]

и представляют собой моменты функции $|\Phi(\lambda)|^{2}$.
Эти формулы имеют естественную волновую интерпретацию. Функшия $|\Phi(\lambda)|^{2}$ играет роль функции распределения независимых мод в волновом пакете $\psi(x, t)$ – решении уравнения НШ, а ее первье моменты дают заряд (число частиц), импульс и энергию этого пакета. Отображение $\mathscr{F}$ осуществляет переход к независимым модам модели НII. Само существование таких мод для нашей модели является нетривиальным фактом и обусловлено ее полной интегрируемостью. В линейном пределе $x \rightarrow 0$ отобра-

жение $\mathscr{F}$ переходит в преобразование Фурье
\[
\Phi(\lambda)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \psi(x) e^{-i x} d x,
\]

приводящее линейное уравнение Шредингера к независимым модам (см. также $\S$ II.3).

При $x<0$, помимо $b(\lambda)$ и $\bar{b}(\lambda)$, мы имеем еще и данные дискретного спектра $\lambda_{j}, \bar{\lambda}_{j}$ и $\gamma_{j}, \bar{\gamma}_{j}, j=1, \ldots, n$. Из допустимости $a(\lambda)$ при $\operatorname{Im} \lambda>0$ следует допустимость функционалов $\lambda_{j}, \bar{\lambda}_{j}$ на фазовом пространстве $\mathscr{M}_{0}$. Действительно, из условия $a\left(\lambda_{j j}\right)=0$ по правилу дифференцирования сложного функционала получаем, что
\[
\left.\varepsilon a(\lambda)\right|_{\lambda_{2}=\lambda_{j}}+\dot{a}\left(\lambda_{j}\right) \delta \lambda_{j}=0
\]

где точка означает производную по $\lambda$. Отсюда на осюовании (6.30) и аналитически продолженных для $\operatorname{Im} \lambda>0$ формул (7.31) – (7.32) имеем
\[
\begin{array}{r}
\frac{\delta \lambda_{j}}{\delta \psi(x)}=\sqrt{\bar{x}} \frac{\gamma_{1}}{\dot{a}\left(\lambda_{j}\right)} f_{+}^{2}\left(x, \lambda_{j}\right), \quad \frac{\delta \lambda_{j}}{\delta \bar{\psi}(x)}=-\sqrt{\bar{x}} \frac{\gamma_{j}}{\dot{a}\left(\lambda_{j}\right)} g_{+}^{2}\left(x, \lambda_{j}\right), \\
j=1, \ldots, n . \quad(
\end{array}
\]

Из формул (6.30), (7.35) – (7.36) и (7.39) – (7.40) заключаем, что вариационные производные $\frac{\delta \lambda_{i}}{\delta \psi(x)}, \frac{\delta \lambda_{j}}{\delta \bar{\psi}(x)}$ являются функциями типа Шварца. Альтернативный вывод формул (7.54) в духе $\$ 6$ состоит в использовании представления (6.23) и рассмотрении вычетов вариационных производных $\frac{\delta \ln a(\lambda)}{\delta \psi(x)}$ и $\frac{\delta \ln a(\lambda)}{\delta \bar{\psi}(x)}$ при $\lambda=$ $=\lambda_{j}$.

Рассмотрим теперь функционалы $\gamma_{j}, \bar{\gamma}_{j}$. Для вычистения их вариационных производных воспользуемся формулами (6.30), взяв в них, например, первое равенство
\[
\gamma_{j}=\frac{f_{-}\left(z, \lambda_{j}\right)}{f_{+}\left(z, \lambda_{j}\right)}, \quad j=1, \ldots, n .
\]

Отсюда получаем
\[
\begin{array}{l}
\frac{\delta \psi_{j}}{\delta \psi(x)}=\frac{1}{f_{+}\left(z, \lambda_{j}\right)} \frac{\delta f_{-}\left(z, \lambda_{j}\right)}{\delta \psi(x)}+\frac{\dot{f}_{-}\left(z, \lambda_{j}\right)}{f_{+}\left(z, \lambda_{j}\right)} \frac{\delta \lambda_{j}}{\delta \psi_{i}(x)}- \\
-\frac{f_{-}\left(z, \lambda_{j}\right)}{f_{+}^{2}\left(z, \lambda_{j}\right)} \frac{\delta f_{+}\left(z, \lambda_{j}\right)}{\delta \psi(x)}-\frac{f_{-}\left(z, \lambda_{j}\right) \dot{f}_{+}\left(z, \lambda_{j}\right)}{f_{+}^{\prime}\left(z, \lambda_{j}\right)} \frac{\delta \lambda_{j}}{\delta \psi(x)}
\end{array}
\]

и аналогичное выражение для $\frac{\delta \gamma_{j}}{\delta \bar{\psi}(x)}$. Участвующие в этих формулах вариационные производные от $f_{ \pm}\left(z, \lambda_{j}\right)$ вычисляются на основании равенств (2.6)-(2.7). Именно, переходя в них к пределу при $L \rightarrow \infty$ и вспоминая определение (6.3) решений Иоста, получаем, что при $z>x$
\[
\frac{\delta T_{-}(z, \lambda)}{\delta \psi(x)}=\sqrt{x} T(z, x, \lambda) \sigma_{-} T_{-}(z, \lambda)
\]

и при $z<x$
\[
\frac{\delta T_{+}(z, \lambda)}{\delta \psi(x)}=-\sqrt{x} T(z, x, \lambda) \sigma_{-} T_{+}(z, \lambda),
\]

а при $z<x$ и $z>x$ вариационные производные $\frac{\delta T_{-}(z, \lambda)}{\delta \psi(x)}$ н соответственно $\frac{\delta T_{+}(z, \lambda)}{\delta \Downarrow(x)}$ исчезают. Переход к выражениям діля $\frac{\delta T_{-}(z, \lambda)}{\delta \bar{\psi}(x)}$ и $\frac{\delta T_{+}(z, \lambda)}{\delta \bar{\psi}(x)}$ осуществляется заменой матрицы $\sigma_{-}$на $\sigma_{+}$.

Воспользуемся теперь тем, что левая часть формулы (7.56) не зависит от $z$. Поэтому мы можем в правой части (7.56) перейти к пределу при $z \rightarrow x \pm 0$, при котором выражения (7.57) – (7.58) существенно упрощаются. Полагая, например, $z=x+0$, получаем
\[
\frac{\delta f_{-}(x+0, \lambda)}{\delta \psi(x)}=\frac{\delta f_{+}(x+0, \lambda)}{\delta \psi(x)}=0,
\]

откуда с учетом (7.54) имеем
\[
\frac{\delta \gamma_{j}}{\delta \psi(x)}=V \bar{x} \frac{\gamma_{j}}{\dot{a}\left(\lambda_{j}\right)}\left(\dot{f}_{-}\left(x, \lambda_{j}\right) f_{+}\left(x, \lambda_{j}\right)-f_{-}\left(x, \lambda_{j}\right) \dot{f}_{+}\left(x, \lambda_{j}\right)\right) .
\]

Аналогичным образом получаем, что
\[
\frac{\delta \gamma_{j}}{\delta \overline{\psi(x)}}=\sqrt{\bar{x}} \frac{\gamma_{j}}{\dot{a}\left(\lambda_{j}\right)}\left(\dot{g}_{+}\left(x, \lambda_{j}\right) g_{-}\left(x, \lambda_{j}\right)-g_{+}\left(x, \lambda_{j}\right) \dot{g}_{-}\left(x, \lambda_{j}\right)\right) .
\]

Отметим, что выражения (7.60)-(7.61) согласованы с формулами $(7.33)-(7.34)$ и равенствами
\[
\gamma_{j}=b\left(\lambda_{j}\right), \quad \bar{\gamma}_{j}=b^{*}\left(\bar{\lambda}_{j}\right), \quad j=1, \ldots, n,
\]

имеющими смысл только для финитных функций $\psi(x), \bar{\psi}(x)$.
Выражения (7.60)-(7.61) показывают, что вариационные производные $\frac{\delta \gamma_{j}}{\delta \psi(x)}$ и $\frac{\delta \gamma_{j}}{\delta \bar{\Psi}(x)}$ являются гладкими функциями, а из формул (7.35)-(7.36), (7.38)-(7.41) и (7.45)-(7.46) следует,

что они быстро убывают при $|x| \rightarrow \infty$. Таким образом, $\frac{\partial \gamma_{j}}{\delta \psi(x)}$ п $\frac{\delta \gamma_{i}}{\delta \bar{\psi}(x)}$ являются функциями типа Шварца, что означает допустимость функционалов $\gamma_{j}, \overline{\gamma_{j}}$ на фазовом пространстве $\mathscr{M}_{0} . \mathrm{H}^{\circ}$ этом мы заканчиваем оправдание формальных вычислений в § 6 и в начале этого параграфа.

Перейдем теперь к описанию фазового пространства $\mathscr{M}_{0}$ в новых координатах в случае $x<0$. Напомним, что при этом отображение $\mathscr{F}$ было построено и изучено нами лишь на открытом подмножестве $\widetilde{\mathscr{M}}_{0}$ в $\mathscr{M}_{0}$, образованном парами функций $\psi(x), \overline{\psi(x)}$, удовлетворяющих условию (А), состоящему из неравенства (7.8) и требования простоты нулей $\lambda_{j}$ (см. § I.6). Как мы уже отмечали выше, гладкость функций $\Phi(\lambda)$ и $\bar{\Phi}(\lambda)$ эквивалентна условию (7.8). Установленные свойства преобразования $\mathscr{F}$ позволяют утверждать, что $\widetilde{\mathscr{M}}_{0}$ представляется в виде несвязного объединения
\[
\tilde{\mathscr{M}}_{0}=\bigcup_{n=0}^{\infty} \mathfrak{M}_{n},
\]

где компоненты $\mathfrak{M}_{n}$ представляет собой произведение фазового пространства $\mathfrak{P}_{\text {л }}$ с комплексными каноническими координатами $\Phi(\lambda), \bar{\Phi}(\lambda)$ и конечномерного фазового пространства $\boldsymbol{\Gamma}_{n}$, представляющего собой пространство $\mathbb{R}^{4 n}$ с каноническими координатами $p_{j}, q_{j}$ и $\rho_{j}, \varphi_{j}, j=1, \ldots, n$, где $-\infty<p_{j}, q_{j}<\infty$ и $0 \leqslant \rho_{j}<\infty$, $0 \leqslant \varphi_{j}<2 \pi$, из которого выкинуты поверхности $\rho_{j}=0$ и $\left(p_{j}-p_{k}\right)^{2}+$ $+\left(\rho_{j}-\rho_{k}\right)^{2}=0, j, k=1, \ldots, n$. В терминах $\lambda_{j}$ эти поверхности задаются уравнениями $\operatorname{Im} \lambda_{j}=0$ и $\lambda_{j}=\lambda_{k}$. Действительно, структура произведения $\mathfrak{M}_{n}=\mathfrak{M}_{0} \times \boldsymbol{\Gamma}_{n}$ согласована с пуасоновой структурой, поскольку координаты непрерывного и дискретного спектра находятся в инволюции и скобка Пуассона координат $\Phi(\lambda), \Phi(\lambda)$ (а также и координат $p_{j}, \rho_{j} ; q_{j}, \varphi_{j}$ ) очевидно невырожденна. В частности, конечномерное пространство $\boldsymbol{\Gamma}_{n}$ можно рассматривать как фазовое пространство, получаемое из $\mathfrak{M}_{n}$ редукцией, задаваемой связью $\Phi(\lambda)=\Phi(\lambda)=0$.

Компоненты $\mathfrak{M}_{n}$, а также и фазовые пространства $\boldsymbol{\Gamma}_{n}$ в отдельности, инвариантны относительно потоков, порожденных высши ми уравнениями НШ. Сужение этих потоков на $\boldsymbol{\Gamma}_{n}$ описывает динамику солитонов, которую мы подробно обсудим в следующем параграфе.

Алгебра допустимых функционалов на компоненте $\mathfrak{M}_{n}$ порождена произведениями допустимых функционалов вида (7.48), построенных по $\Phi(\lambda)$ и $\bar{\Phi}(\lambda)$, и гладких функций на фазовом пространстве $\boldsymbol{\Gamma}_{n}$. Более точно, допустимые функционалы $F$ на $\mathfrak{N}_{n}$

задаются абсолютно сходящимися рядами по $\Phi(\lambda), \bar{\Phi}(\lambda)$ вида (7.48), где коэффициентные функции $c_{n m}$ гладко зависят от дополнительных переменных $p_{j}, q_{j}, \rho_{j}, \varphi_{j} ; j=1, \ldots, n$. При этом, помимо убывания $\frac{\delta F}{\delta \Phi(\lambda)}$ и $\frac{\delta F}{\delta \bar{\Phi}(\lambda)}$ при $|\lambda| \rightarrow \infty$, требуется еше, чтобы ряды, получающиеся из (7.48) многократным дифференцированием по дополнительным переменным, сходились абсолютно.

Продолжение отображения $\mathscr{F}$ на все фазовое пространство $\mathscr{A}_{0}$ (без условия (А)), введение и исследование на нем соответствующих новых координат представляют собой сложную задачу глобального анализа, связанную со «склейкой» многообразий $\mathfrak{M}_{n}$ при появлении кратных нулей $\lambda_{j}$ и при выходе их на вещественную ось. Обсуждение ее выходит за рамки этой книги. К счастью, эта задача не слишком интересна для нашей основной темы исследования динамики солитонов. Так, например, при выходе нуля $\lambda_{j}$ на вещественную ось его вклад в интегралы движения исчезает.

На этом закончим исследование канонического преобразования $\mathscr{F}$.
$B$ заключение этого параграфа покажем, как иерархия пуассоновых структур, введенная в §5, выглядит в новых координатах. Оказывается, что действие оператора $\Lambda$ сводится к умножению на геременную $\lambda$. Более точно, цля $l$-й структуры $\{$,$\} , не-$ исчезающие скобки Пуассона в комплексных координатах на $\mathfrak{M}_{n}$ имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\{\Phi(\lambda), \bar{\Phi}(\mu)\}_{l}=\lambda^{l} \delta(\lambda-\mu), \\
\left\{\ln \gamma_{j}, \lambda_{k}\right\}_{l}=x \lambda_{k}^{l} \delta_{j k}, \quad j, k=1, \ldots, n .
\end{array}
\]

В частности, при $l \geqslant 0$ пуассонова структура $\{,\}_{\text {l }}$ определена на всей алгебре функционалов вида (7.48). Упомянутый в $\$ 5$ аннулятор порождается величинами вида $\left.\frac{d^{k} \Phi(\lambda)}{d \lambda^{k}}\right|_{\lambda=0}, k=0, \ldots$ $\ldots, l-1$. При $l<0$ на допустимые функционалы накладываются дополнительные условия: их вариационные производные по $\Phi(\lambda)$ и $\bar{\Phi}(\lambda)$ должны исчезать при $\lambda=0$ вместе с производными по $\lambda$ вплоть до порядка $|l|-1$. Тождество Якоби для пуассоновых структур $\{,\}_{l}$ тривиально следует из формул (7.64)-(7.65).

В справедливости этих формул проще всего убедиться на уравнениях движения. Действительно, $(l+1)$-е уравнение НШ с гамильтонианом $I_{l+1}$ можно переписать в виде
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial \Phi(\lambda)}{\partial t}=\left\{I_{1}, \Phi(\lambda)\right\}_{l}, \\
\frac{d \gamma_{i}}{i t}=\left\{I_{1}, \gamma_{i}\right\}_{l}, \quad i=1, \ldots, n,
\end{array}
\]

являющемся характеристическим для $l$-й пуассоновой структуры (см. §5).

Конечно, это рассуждение не является строгим. Существует и строгий вывод, основанный на пересчете пуассоновых структур при отображении $\mathscr{F}$, который, однако, мы здесь не приводим.