В предыдущих параграфах мы привели обширный список примеров интегрируемых уравнений. После этого естественно возникает вопрос: как по заданному нелинейному эволюционному уравнению узнать, существует ли для него представление нулевой кривизны. К сожалению, ответа на этот вопрос нет и вряд ли он когда-нибудь появится в общем виде. Более реалистический подход состоит в разработке принципов классификации интегрируемых уравнений. Представление нулевой кривизны, которое является общим свойством всех рассмотренных до сих пор примеров, можно положить в основу общей классификационной схемы. Здесь мы дадим ее описание для случая непрерывных моделей. В гл. IV мы приведем более элегантную гамильтонову интерпретацию этой схемы, основанную на ли-алгебраических соображениях.

Характерным свойством рассмотренных в § 1 примеров не-прерывных моделей (исключая модель Л-Л) являются рациональная зависимость матриц $U(x, t, \lambda)$ и $V(x, t, \lambda)$ от спектрального параметра $\lambda$. Такие матрицы представляются в виде разложения на простые дроби:
\[
U(x, t, \lambda)=\sum_{k} \sum_{s=1}^{n_{k}} \frac{U_{k, s}(x, t)}{\left(\lambda-\lambda_{k}\right)^{s}}+\sum_{s=0}^{n_{\infty}} U_{s}(x, t) \lambda^{s}
\]

и
\[
V(x, t, \lambda)=\sum_{l} \sum_{s=1}^{m_{l}} \frac{V_{l, s}(x, t)}{\left(\lambda-\mu_{l}\right)^{s}}+\sum_{s=0}^{m_{\infty}} V_{s}(x, t) \lambda^{s},
\]

где коэффициенты $U_{k, s}(x, t), U_{s}(x, t)$ и $V_{l, s}(x, t), V_{s}(x, t)$ суть матрицы во вспомогательном пространстве $\mathbb{C}^{n}$.
Рассмотрим теперь условие нулевой кривизны
\[
\frac{\partial U}{\partial t}-\frac{\partial V}{\partial x}+[U, V]=0,
\]

произведем в нем разложение на простые дроби и приравняем нулю коэффициенты при всех полюсах. В результате для матриц $U_{k, s}, U_{s}$ и $V_{l, s}, V_{s}$ мы получим систему нелинейных дифференциальных уравнений (и, вообще говоря, алгебраических уравнений). По построению эта система допускает представление нулевой кривизны
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial F}{\partial x}=U(x, t, \lambda) F, \\
\frac{\partial F}{\partial t}=V(x, t, \lambda) F,
\end{array}
\]

где уравнение (3.4) играет роль вспомогательной линейной задачи. Этим заканчивается общее описание общих систем нелинейных уравнений, ассоциированных с условием нулевой кривизны.

Подсчитаем количество неизвестных функций в системе (3.3). Пусть число полюсов матриц-функций $U(x, t, \lambda)$ и $V(x, t, \lambda)$ с учетом их кратностей равно $N_{1}$ и $N_{2}$ соответственно; тогда мы имеем $N_{1}+N_{2}+2$ матричных параметров $U_{k, s}, U_{s}$ и $V_{l, s}, V_{s}$. Система (3.3) содержит $N_{1}+N_{2}+1$ уравнение, так как на постоянные члены $U_{0}$ и $V_{0}$ в разложениях (3.1)-(3.2) возникает всего лишь одно уравнение
\[
\frac{\partial U_{0}}{\partial t}-\frac{\partial V_{0}}{\partial x}+\left[U_{0}, V_{0}\right]=0 .
\]

Таким образом, число матричных неизвестных на 1 больше числа уравнений. Эта недоопределенность системы (3.3) связана с калибровочным произволом в выборе матриц $U(x, t, \lambda)$ и $V(x, t, \lambda)$ :
\[
\begin{array}{c}
U \rightarrow U^{\Omega}=\frac{\partial \Omega}{\partial x} \Omega^{-1}+\Omega U \Omega^{-1}, \\
V \rightarrow V^{\Omega}=\frac{\partial \Omega}{\partial t} \Omega^{-1}+\Omega V \Omega^{-1},
\end{array}
\]

где матрица $\Omega(x, t)$ не зависит от $\lambda$. Это преобразование не меняет систему (3.3) и структуру полюсов (дивизор) функций $U(x, t, \lambda)$ и $V(x, t, \lambda)$ по переменной $\lambda$. Используя калибровочное преобразование, можно фиксировать один из матричных параметров, например, матрицу $U_{0}(x, t)$; тогда число неизвестных в системе (3.3) совпадет с числом уравнений.

Конкретный выбор калибровочного преобразования, фиксирующего вид матриц $U(x, t, \lambda)$ и $V(x, t, \lambda)$, и последующая параметризация их матричных элементов может привести к различным по записи уравнениям, которые, по существу, являются эквивалентными. Такие уравнения называются калибровочно эквивалентными. В следующем параграфе мы приведем интересный пример – покажем, что уравнения НШ в случае $x=-1$ и МГ являются калибровочно эквивалентными.

Описанные только что уравнения, порождаемые системой (3.3), часто называют интегрируемыми, и мы, следуя этой традиции, ввели этот термин в заглавие параграфа. Однако следует подчеркнуть, что доказательство полной интегрируемости в смысле гамильтоновой механики каждого конкретного уравнения является нетривиальной задачей динамики. Часть I, посвященная модели НШ, является примером такого исследования. Тем не менее представление нулевой кривизны является важным начальным этапом в рассмотрении каждого конкретного уравненйя. Поэтому уравнения, допускающие такое представление, будем называть интегрируемыми в кинематическом смысле.

Интегрируемые в кинематическом смысле уравнения, порождаемые описанной выше схемой, имеют весьма общий вид. Қак правило, для содержательных приложений необходимо уменьшить число неизвестных функций. Так конкретные уравнения из $\$ 1$ получаются из общей системы вида (3.3) в результате peдукций – наложения связей на матричные элементы матриц $U(x, t, \lambda)$ и $V(x, t, \lambda)$, совместных с этой системой. Другими словами, вопрос о редукциях сводится к описанию инвариантных подмногообразий системы (3.3).

Уравнения (3.3) содержат коммутаторы, и поэтому очевидной является редукция, задаваемая условием, согласно которому матрицы $U(x, t, \lambda)$ и $V(x, t, \lambda)$ принадлежат произвольному представлению заданной алгебры Ли. Существуют и более нетривиальные редукции, и полное их описание представляет важную задачу классификации интегрируемых уравнений. Гамильтонова интерпретация представления нулевой кривизны в гл. IV приведет нас к весьма содержательным примерам редукций.

Для иллюстрации возможных редуцированных форм матриц $U(x, t, \lambda)$ и $V(x, t, \lambda)$ опишем еще ряд примеров эволюционных уравнений, допускающих представление нулевой кривизны и имеющих интересные приложения. Заодно мы приведем их гамильтонову формулировку. Исторически первой моделью, на которой был отработан метод обратной задачи, является