Здесь мы продолжим начатое в $\$ 3$ обсуждение общих свойств уравнений, представимых в виде условия нулевой кривизны
\[
\frac{\partial U(\lambda)}{\partial t}-\frac{\partial V(\lambda)}{\partial x}+[U(\lambda), V(\lambda)]=0,
\]

где $U(x, t, \lambda)$ и $V(x, t, \lambda)$ являются рациональными матрицамифункциями спектрального параметра $\lambda$ :
\[
\begin{array}{l}
U(x, t, \lambda)=\sum_{i=1}^{m} \sum_{r=1}^{n_{i}} \frac{U_{i, r}(x, t)}{\left(\lambda-\lambda_{i}\right)^{r}}+\sum_{k=0}^{n_{\infty}} \lambda^{k} U_{k}(x, t), \\
V(x, t, \lambda)=\sum_{j=1}^{\tilde{m}} \sum_{s=1}^{\widetilde{n_{j}}} \frac{V_{i, s}(x, t)}{\left(\lambda-\mu_{j}\right)^{s}}+\sum_{l=0}^{n_{\infty}} \lambda^{l} V_{l}(x, t) .
\end{array}
\]

В $\S 3$ мы убедились, что уравнение (6.1) представляет собой нелинейную систему уравнений на матричные коэффициенты $U_{i, r}(x, t), U_{k}(x, t)$ и $V_{j, s}(x, t), V_{l}(x, t)$. В общем положении вид этой системы зависит лишь от дивизоров полюсов $\mathfrak{U}=\left\{\left(\lambda_{i}, n_{i}\right)\right.$, $\left.i=1, \ldots, m ;\left(\infty, n_{\infty}\right)\right\}$ и $\mathfrak{B}=\left\{\left(\mu_{j}, \tilde{n}_{j}\right), j=1, \ldots, \widetilde{m} ;\left(\infty, \tilde{n}_{\infty}\right)\right\}$ матриц $U(x, t, \lambda)$ и $V(x, t, \lambda)$. Более специальные системы получаются при редукциях – априорных предположениях о структуре матричных коэффициентов матриц $U(x, t, \lambda)$ и $V(x, t, \lambda)$, совместных с уравнением (6.1). В этом параграфе мы рассмотрим задачу о построении по возможности наиболее широкого класса частных решений общего уравнения (6.1) с данными дивизорами $\mathfrak{U}$ и $\mathfrak{B}$. Мы убедимся, что кинематическая интегрируемость нелинейных уравнений позволяет строить богатый класс точных решений этих уравнений.

Предположим, что нам задано какое-то решение уравнения (6.1) – матрицы $U_{0}(x, t, \lambda)$ и $V_{0}(x, t, \lambda)$ с дивизорами полюсов $\mathfrak{u}$ и $\mathfrak{B}$ соответственно. Например, можно иметь в виду «тривиальное» решение, задаваемое матрицами

где
\[
U_{0}(x, t, \lambda)=U_{0}(x, \lambda), \quad V_{0}(x, t, \lambda)=V_{0}(t, \lambda),
\]
\[
\left[U_{0}(x, \lambda), V_{0}(t, \lambda)\right]=0 .
\]

Через $F_{0}(x, t, \lambda)$ обозначим невырожденное матричное решение совместной системы уравнений
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial F_{0}}{\partial x}=U_{0}(x, t, \lambda) F_{0}, \\
\frac{\partial F_{0}}{\partial t}=V_{0}(x, t, \lambda) F_{0} .
\end{array}
\]

Покажем, что по заданным матрицам $U_{0}(x, t, \lambda) u V_{0}(x, t, \lambda)$ можно построить целое семейство локальных решений уравнения (6.1), заданных в некоторой области $\mathscr{D}$ переменных х и $t$ на плоскости $\mathbb{R}^{2}$. Оно параметризуется замкнутым ориентированным контуром $\Gamma$ на расширенной комплексной плоскости $\overline{\mathbb{C}}=$ $=\mathbb{C} \bigcup\{\infty\}$ и заданной на нем гладкой, ограниченной и невырожденной матрицей $G(\lambda)$. Если дивизор іл или $\mathfrak{B}$ пересекает контур

$\Gamma$, то потребуем, чтобы
\[
G(\lambda)=I+O\left(\left|\lambda-\lambda_{0}\right|^{n_{0}}\right),
\]

где $\lambda$ лежит в окрестности точки $\left(\lambda_{0}, n_{0}\right)$ из $\mathfrak{U}$ или $\mathfrak{B}$. Для построения по этим данным решения уравнения (6.1) рассмотрим регулярную задачу Римана на $\Gamma$
\[
G(x, t, \lambda)=G_{+}(x, t, \lambda) G_{-}(x, t, \lambda),
\]

где
\[
G(x, t, \lambda)=F_{0}(x, t, \lambda) G(\lambda) F_{0}^{-1}(x, t, \lambda),
\]

а матрицы-функции $G_{+}(\lambda)$ и $G_{-}(\lambda)$ допускают аналитическое продолжение на внутренность и внешность контура $\Gamma$ и невырожденны там. Переменные $x$ и $t$ играют роль параметров этой задачи. Предположим, что эта задача Римана разрешима для значений параметров из некоторой области $\mathscr{D}$.

Продифференцируем уравнение (6.9) по $x$. Используя (6.6) и (6.10) получим, что для $\lambda$ из $\Gamma$
\[
\frac{\partial G_{+}}{\partial x} G_{-}+G_{+} \frac{\partial G_{-}}{\partial x}=U_{0} G_{+} G_{-}-G_{+} G_{-} U_{0},
\]

или
\[
U(x, t, \lambda)=-G_{+}^{-1}\left(\frac{\partial G_{+}}{\partial x}-U_{0} G_{+}\right)=\left(\frac{\partial G_{-}}{\partial x}+G_{-} U_{0}\right) G_{-}^{-1} .
\]

Здесь и ниже для сокращения записи мы иногда опускаем зависимость от $x$ и $t$. Из (6.12) следует, что определенная этой формулой матрица $U(x, t, \lambda)$ допускает аналитическое продолжение на $\overline{\mathbb{C}} \backslash \mathfrak{U}$. Убедимся, что на самом деле $U(x, t, \lambda)$ для $x, t$ из об. ласти $\mathscr{D}$ является рациональной функцией $\lambda$ с дивизором полюсэв $\mathfrak{1}$.

Действительно, если точка ( $\lambda_{0}, n_{0}$ ) из $\mathfrak{U}$ не лежит на контуре $\Gamma$, то, очевидно, $U(x, t, \lambda)$ имеет в точке $\lambda=\lambda_{0}$ полюс того же порядка $n_{0}$, что и $U_{0}(x, t, \lambda)$. Если же $\lambda_{0}$ принадлежит контуру $\Gamma$, то функция $F_{0}(x, t, \lambda)$ имеет существенную особенность на Г. Однако условие (6.8) гарантирует регулярность как функций $G(x, t, \lambda), G_{ \pm}(x, t, \lambda)$, так и функций $\frac{\partial G_{ \pm}}{\partial x}(x, t, \lambda)$ при $\lambda=\lambda_{0}$. Таким образом, и в этом случае $U(x, t, \lambda)$ имеет при $\lambda=\lambda_{0}$ полюс порядка $n_{0}$. Для завершения доказательства достаточно воспользоваться теоремой Лиувилля.

Аналогичным образом, дифференцируя уравнение (6.9) по $t$, получаем, что матрица
\[
V(x, t, \lambda)=-G_{+}^{-1}\left(\frac{\partial G_{+}}{\partial t}-V_{0} G_{+}\right)=\left(\frac{\partial G_{-}}{\partial t}+G_{-} V_{0}\right) G_{-}^{-1}
\]

для $x, t$ из области $\mathscr{D}$ является рациональной функцией $\lambda$ с дивизором полюсов $\mathfrak{B}$.

Из (6.12)-(6.13) следует, что матрицы-функции $F_{ \pm}(x, t, \lambda)$
\[
F_{+}=G_{+}^{-1} F_{0}, \quad F_{-}=G_{-} F_{0}
\]

для указанных значений $x$ и $t$ удовлетворяют системе уравнений
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial F_{ \pm}}{\partial x}=U(x, t, \lambda) F_{ \pm}, \\
\frac{\partial F_{ \pm}}{\partial t}=V(x, t, \lambda) F_{ \pm},
\end{array}
\]

которая, таким образом, является совместной. Отсюда заключаем, что матрицы $U(x, t, \lambda)$ и $V(x, t, \lambda)$, определяемые формулами (6.12)-(6.13), дают для $x$, $t$ из области $\mathscr{D}$ решение уравнения (6.1) с заданными дивизорами полюсов $\mathfrak{U}$ и

Описанная конструкция построения решений уравнения нулевой кривизны носит жаргонное название процедуры «одевания затравочного решения» $U_{0}(x, t, \lambda)$ и $V_{0}(x, t, \lambda)$. В ее основе лежит способ построения представления нулевой кривизны при помощи матричной задачи Римана, уже введенной в части I на примере модели НШ. Задача о принадлежности решений уравнения нулевой кривизны, построенных при помощи процедуры одевания, к заданным функциональным классам (т. е. вопрос о выборе затравочных матриц $U_{0}(x, t, \lambda), V_{0}(x, t, \lambda)$, контура $\Gamma$ и матрицы $G(\lambda)$ ) является нетривиальной и в каждом случае требует специального исследования. Результаты гл. II первой части можно интерпретировать как решение этой задачи для модели НШ в случае граничных условий быстрого убывания и конечной плотности.

Решение задачи Римана (6.9) не единственно – вместе с матрицами $G_{+}(x, t, \lambda), G_{-}(x, t, \lambda)$ уравнению (6.9) удовлетворяют также и матрицы $G_{+}(x, t, \lambda) \Omega^{-1}(x, t), \quad \Omega(x, t) G_{-}(x, t, \lambda)$, где $\Omega(x, t)$ – произвольная невырожденная матрица, не зависящая от $\lambda$. При этом решение уравнения нулевой кривизны подвергается калибровочному преобразованию с матрицей $\Omega(x, t)$ – вместо решений $U(x, t, \lambda)$ и $V(x, t, \lambda)$ мы получим $U^{\alpha}(x, t, \lambda)$ и $V^{2}(x, t, \lambda)$. Этот произвол устраняется нормировкой задачи Римана, т. е. заданием значения одной из матриц $G_{ \pm}(x, t, \lambda)$ в какой-нибудь точке, например, при $\lambda=\infty$. При этом сама задача Римана решается однозначно. В частности, полагая $G_{ \pm}(\infty)=$ $=G(\infty)=I$, мы имеем, как принято говорить, единичную нормировку, которая уже встречалась при исследовании модели HШ. В общем случае в качестве точки нормировки обычно удобно выбирать одну из точек дивизоров $\mathfrak{U}$ или $\mathfrak{B}$. С конкретными примерами различных нормировок задачи Римана мы познакомимся в двух последующих главах.

Помимо регулярной задачи Римана, в процедуре одевания можно использовать и задачу Римана с нулями, когда матрицы

$G_{ \pm}(x, t, \lambda)$ могут иметь в своих областях аналитичности конечное число нулей – точек вырождения $\lambda=\lambda_{i}^{ \pm)}, j=1, \ldots, N_{ \pm}$, которые не зависят от $x$ и $t$ и не принадлежат дивизорам $\mathfrak{U}$ и $\mathfrak{B}$. В случае простых нулей (т. е. когда матрицы $G_{ \pm}^{-1}(x, t, \lambda)$ имеют при $\lambda=\lambda_{i}^{( \pm)}$простые полюса), которым мы здесь и ограничимся, к данным задачи Римана следует добавить набор подпространств
\[
\begin{array}{r}
N_{j}^{(+)}(x, t)=\operatorname{Im} G_{+}\left(x, t, \lambda_{j}^{(+)}\right), \quad N_{j}^{(-)}(x, t)=\operatorname{Ker} G_{-}\left(x, t, \lambda_{j}^{(-)}\right), \\
j=1, \ldots, N_{ \pm},
\end{array}
\]

которые вместе с нормировкой обеспечивают единственность задачи Римана с нулями. При условии, что зависимость подпространств $N_{j}^{( \pm)}(x, t)$ от $x$ и $t$ согласована с уравнениями (6.6)-(6.7)
\[
N_{j}^{( \pm)}(x, t)=F_{0}\left(x, t, \lambda_{j}^{( \pm)}\right) N_{j}^{( \pm)}, \quad j=1, \ldots, N_{ \pm},
\]

где $N_{j}^{( \pm)}$не зависят от $x$ и $t$, матрицы $U(x, t, \lambda)$ и $V(x, t, \lambda)$ из (6.12)-(6.13) не приобретут лишних полюсов в точках $\lambda=\lambda_{j}^{( \pm)}$ и по-прежнему в качестве дивизоров полюсов будут иметь $\mathfrak{U}$ и $\mathfrak{B}$. В случае, когда $G(\lambda)=I$, задача Римана с нулями сводится к системе линейных алгебраических уравнений и решается явно. Таким образом получается богатый набор решений уравнения (6.1), в который входят солитонные решения.

С частным случаем этой конструкции мы уже встречались при обсуждении модели НШ. Приведенные там доказательства по существу не использовали специфику модели и пригодны для рассматриваемого здесь общего уравнения нулевой кривизны.

Описанная конструкция процедуры одевания приспособлена для общего уравнения нулевой кривизны (6.1). Если же мы имеем дело с редуцированной системой (6.1) (например, считаем, что $U(\lambda)$ и $V(\lambda)$ принадлежат некоторой комплексной алгебре Ли), то контур $\Gamma$, матрицу $G(\lambda)$ и другие характеристики следу. ет выбирать согласованными с данной редукцией. В случае модели НШ такие редукционные ограничения осуществлялись при помощи условий инволюции. С другими примерами мы познакомимся в следующих главах.

Заканчивая обсуждение процедуры одевания, укажем, что изложенная схема дословно переносится на случай решеточного уравнения нулевой кривизны
\[
\frac{d L_{n}(\lambda)}{d t}=V_{n+1}(\lambda) L_{n}(\lambda)-L_{n}^{\prime}(\lambda) V_{n}(\lambda),
\]

введенного в $\$ 2$. Именно, в основе схемы по-прежнему лежит задача Римана
\[
G(n, t, \lambda)=G_{+}(n, t, \lambda) G_{-}(n, t, \lambda)
\]

с параметрами $n$ и $t$, где
\[
G(n, t, \lambda)=F_{0}(n, t, \lambda) G(\lambda) F_{0}^{-1}(n, t, \lambda),
\]

а матрица $F_{0}(n, t, \lambda)$ определяется по затравочному решению $L_{n}^{0}(t, \lambda), V_{n}^{0}(t, \lambda)$ уравнения (6.19):
\[
\begin{aligned}
F_{0}(n+1, t, \lambda) & =L_{n}^{0}(t, \lambda) F_{0}(n, t, \lambda), \\
\frac{d F_{0}}{d t}(n, t, \lambda) & =V_{n}^{\prime}(t, \lambda) F_{0}(n, t, \lambda) .
\end{aligned}
\]

При этом матрицы $F_{ \pm}(n, t, \lambda)$
\[
F_{+}=G_{+}^{-1} F_{0}, \quad F_{-}=G_{-} F_{0}
\]

удовлетворяют системе уравнений
\[
\begin{array}{c}
F_{ \pm}(n+1, t, \lambda)=L_{n}(t, \lambda) F_{ \pm}(n, t, \lambda), \\
\frac{d F_{ \pm}}{d t}(n, t, \lambda)=V_{n}(t, \lambda) F_{ \pm}(n, t, \lambda),
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{r}
L_{n}(t, \lambda)=G_{+}^{-1}(n+1) L_{n}^{0} G_{+}(n)=G_{-}(n+1) L_{n}^{0} G_{-}^{-1}(n), \quad(6.27), \\
V_{n}(t, \lambda)=-G_{+}(n)\left(\frac{d G_{+}(n)}{d t}-V_{n}^{0} G_{+}(n)\right)=\left(\frac{d G_{-}(n)}{d t}+G_{-}(n) V_{n}^{0}\right) G_{-}^{-1}(n)
\end{array}
\]
(сравни с формулами (6.12)-(6.13)).
Вывод дифференциального уравнения по $t$ идентичен выводу: соответствующего уравнения (6.16) для непрерывного случая. Для вывода же разностного уравнения следует сравнить задачи Римана (6.20) для значений $n$ и $n+1$ и исключить из них матрицу $G(\lambda)$ (аналог дифференцирования по $x$ в непрерывном случае).

Таким образом, построенные матрицы $L_{n}(t, \lambda)$ и $V_{n}(t, \lambda)$ удовлетворяют уравнению (6.19) и имеют те же дивизоры полюсов, что и $L_{n}^{0}(t, \lambda)$ и $V_{n}^{0}(t, \lambda)$.